小學數學教材中作圖內容的對比與溝通

邵文敏 邵亞飛

摘要：作圖是“圖形與幾何”學習的重要組成部分，小學階段的作圖是與圖形的認識相結合的。筆者試圖追“根”溯“源”，采用對比與溝通的思路，整體把握小學數學教材中的作圖內容，為分階段的作圖教學實踐做指導。

關鍵詞： 作圖體系；分析；反思

利用直尺、三角尺、量角器和圓規等工具進行幾何作圖，是小學數學圖形與幾何學習領域的一個重要的學習板塊，并貫穿于整個圖形與幾何學習領域。如何才能更好地指導學生進行作圖學習？筆者基于教材從作圖工具、作圖知識到作圖學習特點等方面進行反思，尋找學生作圖知識結構與作圖方法之間的聯系，讓學生作圖不僅僅停留在簡單的操作中，而是具有整體的認識。

一、作圖工具對比與溝通

刻度尺，充分體現了“平直”的特點，為學生畫指定長度的線段提供幫助。三角板，在此基礎上，又增加了角。學生既可以用三角板來度量長度，又可以利用三角板來畫特殊度數的角，尤其是直角。量角器是可以畫出任意度數的角。

而這幾種工具的產生與使用，其實經歷了一個“單位”創造與確定的過程。測量就是用“單位”量，例如測量長度的本質，就是確定一段長度里包含了多少個長度單位，所以測量長度必須要有長度單位。長度單位是人類經過曲折的探索過程才建構起來的。人們先是使用日常的單位。如右圖所示，人們使用身體上的一部分作為長度單位進行測量。由于測量單位不統一，導致測得的結果不一致。在實際生活中人們感到非常不便，因而統一長度單位就十分必要，由此刻度尺才作為統一測量長度的工具產生。尺子上的“厘米”、“毫米”、“分米”、“米”就是人們統一規定的長度單位。觀察左圖，我們也可以看到，量角器度量角的大小也正是應用統一角度單位這一原理制作而成。

可見，工具的產生正是因為人們認識到統一單位的必要性，教師在教學時應該讓學生親身經歷類似的創造、統一單位的過程，從而幫助學生深入體會作圖工具產生與使用的重要意義。具體來看，這幾種測量工具具有以下幾方面的共同點：

1.都有刻度。不管是刻度尺還是量角器上都均勻地分布著許多刻度線，這些刻度

線就是用來衡量物體長度或角度的。

2.都有0刻度線。刻度尺畫線段要從0刻度線開始畫起，量角器進行畫角也要將

所畫的一條射線對齊0刻度線，這是因為0刻度線代表起點。

3.都要確立一個刻度的標準。我們可以發現其實刻度尺上刻度的分布十分講究，

毫米、厘米、分米、米，這些單位按照計數單位的十進制原則規定，溝通了數學知識間的聯系，體現著人們統一單位長度標準的智慧。

4.都要“點對點”“邊對邊”。學生只有找到對應點和對應邊并對齊，這樣才能把圖畫標準和規范，不致于出現盲目或憑感覺作圖的現象。

教師在教學生學習刻度尺、三角板與量角器的基本結構與作圖方法時，可以進行“求同”對比設計，引導學生將不同的作圖工具的相關知識進行必要的溝通，讓學生對作圖工具的學習不僅只停留于直觀感知和簡單操作，而是對相關的作圖工具的作圖方法與內在結構有了整體的認識。

二、作圖內容的對比與溝通

有效地組織學生作圖學習的前提是深刻地理解作圖內容的知識結構和內在聯系。作圖的教學絕非簡單照搬教參上的教學建議，而是要置于對知識體系連貫一致的認識中加以把握，顧及學生已經學過什么、將要學什么、前后知識間有哪些聯系等問題。

1. 畫直角、畫垂線與畫高步步為營

在二年級學習角的初步認識時，學生用三角板來畫直角，這其實就是“垂直”概念學習的起點。兩條相交的直線是否垂直，學生可以用手上的三角板上的直角進行驗證。

通過對比發現，用三角尺畫垂線與畫直角在方法上有許多相同之處。

（1）先是讓三角尺的一條直角邊與已知的線段進行重合。

（2）接著，讓三角尺沿著線段移動，使三角尺的直角頂點和線段上的一個端點重合。

（3）從直角的頂點起沿三角尺的另一條直角邊畫一條直線。

（4）在垂足處標出垂直符號。

學生用三角板畫直角僅僅是對直角的初步感知，但是學生在畫垂線學習的過程中，卻有個關鍵的知識，就是理解“點到直線的距離”：從直線外一點到這條直線所畫的線段中垂線段最短，這是后續學生學習圖形中作高的知識基礎。

如上圖所示，人教版小學數學教材中教學此三類圖形中作高。作高其實就是作垂線段，所以方法上與畫垂線的步驟是一樣的，只是學生認識并會正確畫出相應平面圖形的“高”。

因此，學生對“高”的表象積累特別重要，例如讓學生畫平行線之間的垂線段，再通過度量后發現畫出的所有垂線段的長度都是相等的，這是認識高的起點。教師重視提供“非標準圖形”有利于幫助學生形成對高的充分認識。

2.畫垂線為畫對稱做好孕伏

如圖所示，畫對稱圖形的本質就是找到相應點的對應點，而對稱軸兩側的對應點到對稱軸的垂線段長度相等，表現在格子圖上就是格子數量相同。從圖中，我們可以發現，對稱軸與對應點之間的連線互相垂直，對稱軸兩側的對應點到對稱軸距離相等。所以說，學生“畫垂線”知識的習得為四年級下冊學習作對稱圖形設好了鋪墊。

3.畫角與畫旋轉彼此相輔相成

畫角其實是一條射線繞其端點旋轉一定角度而形成的圖形。如圖所示：畫一個60度的角，就是把線段OA繞著O點旋轉60度所形成的圖形。

而平面圖形旋轉的過程中又體現著畫角的過程。例如，把三角形OAB繞點O順時針旋轉90度，其實就是把線段OA和線段OB分別繞著O點順時針旋轉90度，得到對應位置的新線段，然后再連接即可。由此可見，這兩種作圖本質上是互通的。

三、學生作圖學習特點探索

建構主義指出，“學習”不僅僅是簡單的信息積累的過程，而是新舊知識與經驗的相互作用，及由此而產生的認知結構的重新組合，而小學生總是以特定的方式建構新知的。為此，我們對學生作圖學習特點進行了分析。

1.學生先進行識圖再作圖

通過梳理，我們發現，學生有關圖形知識的學習具體可以分為識圖和作圖，識圖是頭腦中的操作，而作圖是行為中的操作，教材在編排上采用先讓學生識圖再讓學生作圖的方式進行。

如右圖所示：學生先是認識和理解“互相垂直”和“垂線”概念，然后要會畫垂線。在實踐過程中我們也觀察到，當已知直線不是水平放置時，學生的畫圖工具往往在本子上無所適從，這是因為他們對“相互垂直”的概念往往習慣于“豎著”理解，因而教師在設計作圖學習任務時不僅要提供標準范式，還要變換材料的非本質屬性，提供充分的變式讓學生感知、比較。

從教材的編排中可以發現，作圖技能對概念的形成有著不可低估的作用，學生通過畫直觀圖的過程感悟各概念的特征，即學生通過“認識圖形、畫圖形”達到“以圖識性”的目的。

2.學生工具操作上逐步復雜化

低年級學生的作圖工具比較簡單，就是直尺和三角板，作圖的內容也直觀易操作，線段，角都處于初步感知階段，只需利用“平”或“直”兩方面就可以完成了。而從四年級開始，量角器和三角板成為教學中重要的作圖工具，學生作圖工具操作比較復雜。

如右圖，量角器它復雜的構造，就讓一些學生困難重重，不管是量角器的擺放上，還是利用內外圈正確讀出角的度數，都需要學生按照思維的連續性去整體把握。學生在用量角器時，不論角的一邊對的是哪一圈的“0”刻度線，他們往往習慣看的是外圈的度數，即使學生外圈內圈看對了，但是在讀刻度的時候，有時會把四十幾讀成五十幾，從哪邊讀過來在學生的頭腦中容易出現錯誤。

再比如圖形里畫高，隨著邊位置的變化，學生要找到三角尺擺放的相應位置才能準確作圖，這都需要學生兼顧整體，找準目標，無疑是對學生的作圖學習的挑戰。

3.學生從直觀感知到直觀操作

我們發現，第一學段學生的作圖學習，只是直觀感知圖形的特征，例如通過借助刻度以及方格中的“平”“直”等直觀概念畫一些常見的簡單圖形：線段，角，長方形，正方形等。第二學段學生的作圖學習有了理論的提升，學生作圖時需要理解作圖的原理，例如直線、射線、角、平行、垂直、平行四邊形、梯形、三角形、底、高、腰等概念教學的高密度集中呈現，學生的作圖學習有了理論的提升，就處于直觀形象的操作階段，畫圖時需要理解畫圖的原理。

如右圖所示，在人教版小學數學三年級上冊教材中，學生認識長方形和正方形后，只要求學生根據對長方形和正方形特征的直觀認識，在方格紙和點子圖上“描畫”。但到了四年級學習了平行和垂直后，要求學生用直尺和三角尺來畫。由此可見，學生對一些作圖知識的理解和掌握需要有逐步深化、提高的過程。

總之，讓學生學會作圖，使之成為翹起數學學習一個重要的支點，不是一朝一夕能夠解決的問題，利用幾節課或者專門訓練學生作圖是不可取的，而且也肯定是不行的。因此，我們在平常的教學中要盡量多的“滲透”作圖指導，細水長流，久而久之，學生就能逐步掌握。

參考文獻：

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