梳理歷史文化，豐富數學知識

摘要：對數學歷史文化的體驗能提升數學教師的學科知識水平，幫助他們體驗數學知識的人文背景，增加對數學知識以及之間關聯的認知和掌握，感受數學思想與方法的應用價值，從而更好地設計和實施教學。梳理“橢圓”的歷史文化，可以豐富數學的經驗知識，還原知識的獲得過程，溝通知識之間的關聯，體驗巧妙的數學方法，形成結構完備、內涵豐富、“知情意”有機融合的橢圓文化圖式。

關鍵詞：橢圓 經驗知識 獲得過程 知識關聯 數學方法

歷史是時間的累積，文化是歷史的沉淀。歷史文化體現出來的是人類的愛好、想法以及作為。對數學知識的認識不能僅僅是概念、定理的堆砌，也不能僅僅是解題、證明的應用，而應當是浸潤著歷史文化的結晶、散發著人文精神的載體，是承載著人類智慧和追求的“文物”。數學的歷史文化是數學不可分割的部分，可以提升我們對數學知識的理解。對數學歷史文化的梳理能提升數學教師的學科知識水平，幫助他們體驗數學知識的人文背景，增加對數學知識以及之間關聯的認知和掌握，感受數學思想與方法的應用價值，從而更好地設計和實施教學，給學生帶去更多的智慧與快樂。

下面以“橢圓”知識為例，梳理歷史文化，形成結構完備、內涵豐富（不只是概念定義、標準方程及解題應用）、“知情意”有機融合的橢圓文化圖式。

一、豐富數學的經驗知識

經驗知識是研究學習的起點。客觀知識要變為個體知識，首要需要獲得豐富的經驗知識。歷史文化中，人類對橢圓的經驗知識相當豐富。古希臘人有直觀的橢圓經驗——截圓錐得橢圓，橢圓知識由此豐富。伽利略認為，行星依橢圓軌道運行，行星的橢圓運動模型很好地詮釋了天體運動規律。又如，人類把可塑的圓進行適當的壓縮，就能得到橢圓。事實上，生活中也大量存在橢圓的痕跡：斜射陽光下球影的邊界呈現橢圓形狀，圓柱、圓臺或圓錐形燈罩罩著的點光源光束射在墻上的邊界可能呈現橢圓形狀，圓柱斜截面的邊界呈現橢圓形狀，裝著有色液體的圓柱水瓶傾斜時水面呈現橢圓形狀。

二、還原知識的獲得過程

知識要接地氣、有人氣，其價值才會容易被感知。在數學知識的學習過程中展現數學家思維的故事，是饒有趣味的，也是十分美妙的。提到某個數學知識，與其相關的不同國籍、不同時代的數學家以及相應的發明、發現、獲得知識過程中的點滴故事（包括經歷的艱難困苦）就應該發生聯結，被聯想到。

從“橢圓是一種圓錐曲線”這一陳述性知識中，可以聯想到古希臘數學家對橢圓及圓錐的斜截面所做的深入研究。如，歐幾里得發現，不只是圓錐，圓柱的斜截面也是橢圓；稍后的阿波羅尼斯發現，對于頂角為直角的圓錐，當平面與圓錐母線從頂點指向底面的方向所成的角θ為鈍角、直角、銳角時，平面截圓錐得到橢圓、拋物線和雙曲線（如圖1）；阿波羅尼斯還發現，橢圓的焦半徑之和為定值。公元前的數學家們已有如此發現，令人肅然起敬。

數學家們并不滿足于用立體的圓錐獲得（定義）平面的橢圓這種方式。16世紀意大利數學家蒙特進一步利用拉線作圖作出橢圓，提出概念。如圖2，固定一條定長的細繩的兩端點A、B，細繩上動點P的軌跡就是橢圓。蒙特由此稱定點A、B為橢圓的焦點，將橢圓定義為到兩焦點的距離之和為定長的點的軌跡。蒙特天才的發現、獨到的想法，令人拍案叫絕。

橢圓的獲得（定義）過程（方式）無不體現著人類對客觀事實的觀察認識，敘述、展現著知識的意義與價值。不難體會，事實性知識不是詞典的條目，更不是天外來客，它有著豐富的文化內涵，來自人類的數學活動。

三、溝通知識之間的關聯

正如人的意義是通過一定的社會關系體現的，知識的意義也要在關聯中才能被充分認識、深入解讀。數學史上有很多經典的案例簡潔明了地闡述了知識點之間的各種關系，勝過千言萬語。

丹德林雙球是溝通橢圓的兩種獲得（定義）過程（方式）之間關系的經典模型，可以幫助我們充分認識、深入解讀橢圓，并且體驗到數學家高超的智慧。1822年，比利時數學家丹德林通過圓錐內部、斜截面兩側的與圓錐及斜截面都相切的兩個球（如圖3），來溝通橢圓的兩種獲得（定義）過程（方式）之間的關系。設兩球與圓錐的切線分別為圓O₁、圓O₂，與斜截面的切點分別為E、F，在橢圓上任取一點A，連接AE、AF；過點A作圓錐的母線，與兩球分別切于點B、C。可知AB=AF，AC=AE，可得AF+AE=AB+AC=BC。而BC為圓臺的母線長，為定值。所以在平面內，到兩個定點F₁、F₂的距離之和等于常數（大于|F₁F₂|）的點P的軌跡是橢圓。

橢圓的截線定義與軌跡定義是相互獨立的，聯結兩者的橋梁就是丹德林雙球。要在純粹幾何中認識橢圓的本質，截線定義是不可替代的；要在解析幾何中得出橢圓方程，軌跡定義是不可替代的。而聯結兩種定義時，丹德林雙球同樣是不可替代的，它把兩者之間的鴻溝填平了，并且直接在圓錐上得到了橢圓的焦半徑。

四、體驗巧妙的數學方法

數學與其說是知識，倒不如說是思想方法。知識只是思想方法的載體，思想方法才是數學的精髓。