輪軌耦合高速電梯導軌振動特性分析

張青，楊玉虎，仉碩華，張瑞軍

（1.天津大學 機械工程學院，天津300072；2.山東建筑大學 機電工程學院，山東 濟南250101）

0 引言

電梯的振動主要分為垂直和水平2個方向振動［1］。相較于垂直振動，人體對水平振動更為敏感，而電梯的水平振動與電梯運行速度成正比。目前電梯正朝著高速度、高行程方向發展，對高速狀態下電梯水平振動的研究勢在必行［2-4］。導向系統是對電梯水平振動起決定性作用的子系統，導軌作為導向系統的重要組成部分，能夠限制電梯轎廂系統（包含轎廂、轎廂架）的水平位移與振動，然而導軌自身的振動及其制造精度、安裝工藝等方面的缺陷又加劇了電梯轎廂系統的水平位移與振動。長期以來，人們只是將導軌作為激勵源［5-6］研究轎廂的振動響應，而在電梯實際運行過程中轎廂系統和導軌之間是相互作用、相互影響的，在這種耦合狀態下轎廂系統的振動會反過來引起導軌的振動、變形，特別是在高速狀態下，這一現象更為顯著。導軌振動與變形不僅影響到電梯舒適性，如果其長時間存在振動與變形，還會引起導軌固定螺栓松動、軌道面不鉛直，甚至轎廂變形、卡死等問題，嚴重時還會造成緊急情況下電梯安全裝置失靈等后果［7］。因此，研究耦合狀態下高速電梯導軌的振動響應具有重要的現實意義。

由于人們對電梯導軌自身的振動缺乏足夠重視，導軌振動方面的文獻鮮有涉及。在將導軌看做激勵源施加于轎廂系統方面，李立京首次將導靴系統簡化為彈簧—阻尼系統，建立了2自由度電梯轎廂水平振動模型，并在對電梯導軌激勵進行分析的基礎上對振動模型進行了仿真，為電梯水平振動分析提供了一種有效地模擬方法［8］；傅武軍利用局部坐標系和整體坐標系之間的轉換得到了電梯水平振動微分方程，討論了電梯導軌的擾動模型，并比較了電梯在導軌正弦、三角、脈沖和階躍擾動下電梯的加速度響應，得出導軌的階躍擾動會引起較大水平振動的結論［3］；馮永慧建立了電梯水平振動的空間動力學模型并將實測導軌激勵作為輸入信號對轎廂系統振動模型進行了仿真［9］；梅德慶考慮了滾動導靴橡膠靴襯的非線性率相關特性建立了滾動導靴—導軌的三維滾動接觸模型，并在考慮滾動導靴不圓度偏差和導軌廓形偏差的基礎上擬合出滾動導靴—導軌不平順激勵的數學模型［10］；尹紀財將影響轎廂水平振動的導軌表面不平度、導軌的彎曲與導靴自身缺陷等因素轉化為導軌對導靴的作用力，進而對高速電梯轎廂水平振動進行了分析［11］。上述研究都將導軌作為外激勵對轎廂的水平振動進行分析，均未考慮導軌與轎廂系統間的耦合作用。而在考慮導軌與轎廂系統間的耦合作用方面，李丹達從輪軌接觸剛度出發，建立了包含電梯框架、滾輪和導軌在內的耦合動力學模型，但未考慮輪軌間的接觸阻尼和滾輪與轎廂間的接觸剛度［12］；郭克尖建立了電梯的轎廂—導靴—導軌動力學耦合模型，并考慮了導靴與導軌間的非線性因素［13］。這些研究雖涉及了耦合作用，但對導軌的振動響應卻未做出研究。此外，上述研究都是針對電梯在固定接觸參數及電梯在預緊力和導軌表面不平度等接觸參數為定值下的振動響應分析，缺乏電梯系統接觸參數與電梯導軌振動響應之間基本規律的系統研究。隨著電梯的不斷提速，轎廂系統與導軌間的相互作用更加劇烈［14］，導軌自身的振動也更加明顯，再將導軌僅看做某種激勵與工程實際不符；值得注意的是，高速狀態下電梯導軌振動響應對電梯系統接觸參數的靈敏度更高。因此，有必要在考慮轎廂—滾輪—導軌系統之間相互耦合作用的基礎上，系統地分析研究高速條件下電梯接觸參數對電梯導軌振動響應的影響規律。

文章在考慮導軌與滾輪間接觸剛度與接觸阻尼以及滾輪與轎廂間連接剛度與連接阻尼的基礎上，建立了電梯轎廂—滾輪—導軌耦合（輪軌耦合）系統模型，并運用此模型分析了輪軌預緊力和導軌表面不平度2個接觸參數對導軌振動響應的影響規律。進一步發展了目前高速電梯領域在考慮輪軌耦合作用下對導軌振動響應的研究，滿足高速電梯開發中需解決的關于有效地預測和控制高速電梯動力學特性和運動規律這一關鍵技術問題的需求［3］。

1 電梯輪軌耦合系統模型的構建及求解

1.1 模型建立的假定與簡化

電梯作為一個復雜的機電系統，通常將其分為8大子系統，轎廂系統和導向系統是其中最重要的2個子系統，轎廂系統簡稱轎廂，由轎廂體和轎廂架組成，導向系統由導軌、導靴和導軌架組成。安裝在轎架上的4個導靴引導電梯沿著固定于建筑物上的導軌上下運動，此外，導靴還具有一定的減振作用。針對高速電梯的結構和運動規律以及理論研究的方便，做如下假定與簡化：

（1）轎廂體與轎架為剛性連接；

（2）轎廂質心與其幾何中心重合；

（3）因為在軌道面法向上轎廂相對滾輪、滾輪相對于導軌的位移均較小，轎廂和滾輪需簡化為質量彈簧阻尼系統；

（4）各滾輪的結構和參數完全相同；

（5）一側多根導軌簡化為多跨細長等直連續梁［12］。

引起電梯系統水平振動的原因是多方面的，包括導軌制造和安裝誤差、滾動導靴導輪不圓度偏差、轎廂的靜平衡狀態以及井道內氣流影響和乘客負載變動等。而相關研究表明，對于提升速度＜5 m／s的電梯，水平振動主要來自導軌不平度。其中，導軌垂直度與導軌接頭縫隙和臺階均屬于導軌安裝質量問題，文章旨在研究由導軌制造階段所決定的導軌表明輪廓粗糙度對電梯系統振動的影響。因此，導軌表面不平度均指導軌表面粗糙度。

電梯系統水平振動包含橫向振動（y方向）和前后振動（z方向），而兩者力學模型相似，且模態頻率比較接近，因此，僅對高速電梯橫向振動力進行研究。如前文所述，導軌—導靴—轎廂系統耦合狀態下，導軌的振動對電梯系統振動具有重要影響。因此，文章主要研究接觸參數對導軌水平（橫向）振動的影響規律，所建立的轎廂—滾輪—導軌耦合系統水平振動模型如圖1所示。其中，l為相鄰兩導軌支架的間距，m；h為上、下滾輪間的垂直距離，m；yi（x，t）為t時刻第i列導軌的彈性變形，i＝1，2；ywj為滾輪j的水平位移，j＝1，2，3，4，m；yc為轎廂水平位移，m；θ為轎廂轉角位移，rad；m0為導軌單位長度的質量，kg／m；m為滾輪質量，kg；k1為滾輪與導軌間的接觸剛度，N·m2；c1為滾輪與導軌間的接觸阻尼，m／Ns；k2為滾輪與轎廂系統間的連接剛度，N·m2；c2為滾輪與轎廂系統間的連接阻尼，m／Ns；mc為轎廂系統質量，kg；jc為轎廂系統轉動慣量，kg·m2；F為輪軌間的預緊力，N；r［s（t）］為t時刻滾輪與導軌接觸處導軌表面不平度，m。

圖1 轎廂—滾輪—導軌耦合系統水平振動模型示意圖

1.2 輪軌耦合系統方程建立

由于導軌的撓度與其長度相比要小很多，因此假定導軌橫截面沿y軸方向作平移而不發生轉動，即導軌為 Euler梁［13］。設導軌恒載質量均勻分布（m0為常數），阻尼為粘滯阻尼c0；導軌的彎曲剛度為EI；t時刻轎廂下部滾輪的瞬時位置為s1（t）、轎廂上部滾輪的瞬時位置為s2（t）；4個滾輪與導軌間的接觸力分別為f1（x，t）、f2（x，t）、f3（x，t）、f4（x，t）；δ為Dirac函數且導軌的運動符合小變形理論并在彈性范圍內。則根據Bernoulli-Euler理論，考慮輪軌耦合作用下導軌1和2的強迫振動微分方程［15］由式（1）、（2）表示為

對轎廂及滾輪而言，導軌表面的不平度是引發其振動的重要激勵源，而在考慮輪軌耦合作用下，導軌表面的不平度又會對導軌自身的振動產生影響，表現為對滾輪與導軌間接觸力的變化。為了更加方便地研究導軌表面不平度與導軌振動的關系，文章假定同一提升高度處導軌1、2表面不平度值相同，設下滾輪與導軌1、2接觸點處的導軌表面不平度值為r［s1（t）］，上滾輪與導軌 1、2接觸點處的導軌表面不平度值為r［s2（t）］。滾輪在預緊力作用下與導軌始終保持接觸，則考慮輪軌耦合作用下輪軌間的接觸力由式（3）～（6）表示為

根據上述假定，轎廂與滾輪均為質量彈簧阻尼系統。轎廂與滾輪相互耦合，兩者之間的阻尼力由轎廂的瞬時水平速度、旋轉角速度和滾輪的瞬時水平速度共同決定；同樣，兩者間的彈性力由轎廂系統的瞬時水平位移、旋轉角位移和滾輪的瞬時位移共同決定。考慮轎廂—滾輪—導軌的耦合作用，分別建立4個滾輪的運動方程，由式（7）～（10）表示為

將轎廂系統看做一剛體，則其水平運動包含沿y軸的平動及繞質心的轉動。運用達朗貝爾原理建立考慮轎廂系統與滾輪耦合作用下轎廂系統整體平動及轉動位移的微分運動方程，由式（11）、（12）表示為

1.3 基于新型二步積分法的輪軌耦合系統方程求解

（1）偏微分方程的處理

結構的任一合理位移都可以由此結構具有響應振幅的各個振型的疊加來表示［15］。運用振型分解法將式（1）、（2）化為常微分方程，由式（13）表示為

式中：qij（t）為導軌的廣義振型坐標；αi（x）＝為導軌的振型函數，nl為導軌總長度值，m。

將式（13）代入 式（1）和（2）中，方程兩邊同乘以αi（x）并在［0，l］區間上積分，利用振型的正交特性，可得到第j列導軌的第i階振型的廣義坐標運動方程，由式（14）表示為

式中：k0為導軌在廣義坐標下的計算剛度；fij為第j列導軌的廣義載荷向量。

將考慮耦合作用下導軌的廣義坐標運動方程（14）與轎廂及滾輪的運動方程（3）～（12）聯立，經整理，可得系統的耦合動力學方程，由式（15）表示為

式中：｛Y｝＝［yc，θ，y1，y2，y3，y4，q1，q2］T為系統廣義位移向量；｛F（t）｝為考慮輪軌預緊力下系統的廣義荷載向量。

（2）數值積分方法的選用

對于式（15）的動力學方程組，其系數隨著滾輪在導軌上位置的變化而不斷變化，使系統動力學方程組變為一個時變系數的二階微分方程組。對于這樣的時變系數微分方程組一般采用逐步積分的數值方法求解［16］。

受隱式積分法中Newmark-β法的啟發，翟等在車輛—軌道耦合相互作用領域首次提出一類新型顯式二步數值積分法-Newmark顯式算法［17-18］。此算法既有顯式法所具有的計算簡捷的特點又具有隱式法的穩定性，近十年來，在國際上稱之為“翟方法”，受到廣泛關注與重視［19］。文章用此方法得到導軌任一時刻在廣義坐標下的振動響應，再根據式（14）乘相應時刻的各階振型函數，再疊加，從而得到對應時刻滾輪接觸點處導軌的振動響應。

2 輪軌耦合高速電梯導軌振動特性仿真分析

2.1 工況描述

為了研究導軌表面不平度以及輪軌預緊力對導軌振動響應的影響規律，設計計算工況，分為導軌表面不平度對導軌振動響應的影響和預緊力大小對導軌振動響應的影響2種工況。分別將導軌表面不平度和輪軌預緊力設置為離散參數，每種工況下只針對一種參數進行變化從而分別得出導軌表面不平度和輪軌預緊力2個接觸參數對導軌振動響應的影響規律。

2.2 導軌表面不平度參數化

導軌表面不平度樣本本質上是期望為零的平穩隨機過程，服從正態分布［20］。文章以服從正態分布的隨機數模擬導軌表面不平度值。在討論導軌表面不平整度對導軌振動響應的影響時，表面不平度的大小通過改變服從正態分布的隨機數的標準差來實現。

2.3 模擬仿真

基于上述轎廂—滾輪—導軌耦合系統動力學模型，編制Matlab計算程序，計算流程如圖2所示。以山東富士制御電梯有限公司某額定運行速度為4 m／s的高速電梯為研究對象進行模擬仿真，模擬仿真主要輸入參數見表1，將變量離散思想與新型二步積分法結合，分別得出導軌隨表面不平度變化的時程曲線和導軌隨預緊力變化的時程曲線，進而分析考慮輪軌耦合狀態下電梯導軌表面不平度和輪軌預緊力對導軌振動。

圖2 仿真計算流程圖

2.4 仿真結果分析與討論

2.4.1 導軌表面不平度對導軌振動響應的影響

（1）仿真結果分析

在輪軌預緊力F為40 N條件下，分別取服從正態分布的導軌表面不平度隨機數的標準差分別為0、5×10-6、1×10-5和 1.5×10-5m，分析其表面不平度對導軌振動響應的影響，結果如圖3所示。

表1 模擬仿真主要輸入參數表

圖3 不同表面不平度下滾輪1接觸點處導軌振動響應圖

由圖3可以看出，理想情況即光滑表面（表面不平度為零）下導軌僅有振動撓度（即導軌彎曲），表現為光滑的位移曲線；而無震蕩（將由表面不平度引起的導軌某質點相對于光滑曲線某對應平衡點的微量位移稱之為震蕩）。模擬導軌表面不平度標準差由5×10-6m增大到5×10-5m，導軌振動曲線走勢相同，撓度峰值基本相同，但是導軌震蕩從無到有、由弱變強，說明導軌表面不平度主要影響導軌震蕩。

（2）結果驗證

取導軌各跨 0、0.5、1、1.5、2、2.5、3、3.4 m處為觀測點，模擬導軌表面不平度標準差分別為5×10-6、1×10-5、1.5×10-5m時，導軌各跨在觀測點處的震蕩幅值，其模擬結果見表2。由表2可知，各跨震蕩峰值（表2中斜體數據）大都出現在跨中位置附近，且隨著導軌表面不平度的增大，各跨震蕩峰值總體上呈現增大趨勢。

此外，由表2可知，導軌表面不平度標準差為1×10-5m時，導軌在2、3跨處的震蕩峰值（表2中下劃線數據）并不滿足導軌震蕩峰值隨導軌表面不平度增大而增大的結論，其震蕩峰值較小，其原因主要為

①觀測點為導軌上的固定點，所取觀測點并未取到導軌震蕩峰值點，可能是振蕩值較小處的點。

②所模擬的導軌表面不平度整體上符合正態分布，但對于個別點來說具有一定的隨機性，不能排除觀測點處所模擬出的導軌表面不平度值較小的可能性。

表2 不同不平度下導軌各跨固定點處震蕩幅值表

2.4.2 預緊力大小對導軌振動響應的影響

模擬導軌表面不平度標準差為5×10-6m的情況下，改變預緊力大小，研究導軌表面不平度對電梯導軌振動響應的影響。圖4的預緊力F分別取10、20、40 N時導軌的振動響應，圖5為無預緊力的情況下導軌的振動響應。

圖4 不同預緊力下與滾輪1接觸點處導軌振動響應圖

圖5 無預緊力下與滾輪1接觸點處導軌振動響應圖

如圖4所示，預緊力主要影響導軌振動撓度，且隨著預緊力的增大導軌振動撓度逐漸增大。此外，隨著預緊力的增大導軌震蕩幅值有一定程度的減小。由圖5可知，在無預緊力的情況下，雖然導軌的彎曲撓度下降，但是導軌震蕩的幅值有所增加，這種情況下，必然會間接引起轎廂振動響應的加劇，降低電梯舒適度。可見，預緊力的存在，會使導軌的振動撓度有所增大，但同時也在一定程度上抑制了導軌的震蕩。

3 結論

通過上述研究表明：

（1）對于高速電梯，導軌的水平振動響應不可忽略，表現出振動撓度和震蕩2種形式。這種水平振動通過轎廂系統與導軌間的耦合作用傳遞到轎廂，進而降低乘客的乘坐舒適度。

（2）導軌表面不平度主要影響導軌震蕩，且導軌震蕩幅值隨表面不平度增大而增大；光滑導軌僅存在導軌振動撓度而無震蕩。

（3）輪軌預緊力對導軌振動撓度和震蕩均有顯著影響。預緊力分別為10、20、40 N時，導軌振動撓度幅值分別為1.9×10-5、3.4×10-5、6.8×10-5m，振動撓度近似成倍數增加，而導軌的震蕩幅值逐漸減小。當輪軌間沒有預緊力時，導軌的振動撓度較小，但表現出了強烈的震蕩現象。因此，在減小預緊力以降低導軌振動撓度的同時，還應防止預緊力過小而導致的導軌震蕩加劇。

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