基于混沌系統與改進Zig-Zag變換的圖像加密方案

安守楠，呂　翔

(1.中北大學軟件學院，山西 太原 030051；2.山西中醫藥大學)

0　引言

為了保證數字圖像在傳輸中的安全性，對圖像加密十分重要。最常用的加密都是采用置亂-擴散的方法。數字置亂是通過特定的技術打亂原圖中的像素位置，使其在視覺上變得雜亂無章可循，而擴散則是不改變像素的位置，對像素值進行改變，達到加密的目的。常見的置亂方法有Arnold變換[1]、幻方變換[8]、仿射變換等，但是其實現都較為復雜，安全性較低。

本文采用Zig-Zag變換[15]圖像加密方案，有實現簡單，復雜度低，密鑰周期大的特點，Zig-Zag變換廣泛運用于圖像加密方案中。

混沌系統的初值與參數極端敏感性、非周期性和長期演化軌道不可預測性等特性與圖像加密系統的密鑰敏感性、密文呈噪聲特性和明文敏感性相對應。文獻[3]對Logistic混沌加密系統進行改進，引進兩個與明文相關的密鑰，提高了安全性。文獻[4]對圖像從里到外不同范圍的各層進行Arnold變換，使得層與層之間的置亂相互干擾，達到打亂Arnold周期性的目的，然后采用斜帳篷映射，對像素值進行擴散。文獻[15]利用Zig-Zag變換對彩色圖像進行預處理，增強加密效果；在此基礎上，利用Zig-Zag變換對預處理后的3個通道進行像素位置的置亂；對三維Logistic混沌序列進行多次處理，實現多次擴散，提高了加密效率和安全性。

基于以上的分析，在對標準Zig-Zag變換改進的基礎上，提出Logistic混沌與改進Zig-Zag變換的圖像加密方案。首先將標準Zig-Zag進行改進，利用改進后的Zig-Zag[10]變換對圖像進行置亂，然后采用Logistic混沌系統[3]產生混沌序列，轉化為混沌矩陣，為了達到更好的效果，最后將置亂矩陣與混沌矩陣進行像素值融合，最終得到加密圖像。

1　相關知識介紹

1.1　Zig-Zag變換

Zig-Zag[15]是一種掃描置亂的方法。標準的Zig-Zag變換是從圖像的左上角元素開始掃描，使其按照“Z”字形向下掃描，獲得一維序列，并按照一定方式轉換成二維矩陣。但標準Zig-Zag變換僅限于方陣中，而且有些元素位置始終不變，適用性不強，所以對其進行改進。如圖1所示。從圖1可以看出，1,2,15,16的位置沒有發生改變，為了達到更好的置亂效果，對其進行改進，改進后的Zig-Zag變換從右下角開始掃描，按照“Z”字形向上掃描，可以使每個元素的位置發生改變，不僅適合于方陣，還適合于矩陣。如圖2所示。從圖2可以看出，所有元素的位置都發生了改變。

圖1　標準Zig-Zag

圖2　改進后的Zig-Zag

在ZigZag變換過程中，由于矩陣中元素個數有限確定，所以經過有限次Zig-Zag變換后一定可以回到原始狀態，即Zig-Zag變換具有周期性。不同維數方陣的Zig-Zag如表1所示，由表 1中可見，Zig-Zag變換擁有更大的密鑰周期。

表1　不同維數矩陣Zig-Zag變換周期

1.2　Logistic混沌系統

一維Logistic[16]是目前研究最為廣泛的一種混沌映射，其表達式如式⑴所示：

式中x(0)∈(0,1)為初始值，μ∈(3.5699,4]時，系統處于混沌狀態。

2　算法描述

2.1　圖像加密

設原始圖像I的大小為M*N，G(x,y)表示圖像I在點(x，y)處的像素灰度值，G'(x,y)表示為加密后的圖像在點(x，y)處的像素灰度值。

步驟1將原始圖像I進行Zig-Zag變換，次數為p，得到一維序列L，將其按照行優先的順序轉換成二維矩陣A，A的大小為M*N；

步驟2計算圖像的像素值總和sum，進行式⑵的處理，給定參數μ，將x(0)和u作為Logistic混沌系統的初始值，迭代式⑴產生混沌序列長度為M*N的混沌序列c(i)，迭代次數為q，對混沌序列中的每個元素進行式⑶的處理，使序列內的每個元素都取值于0-255之間。得到序列c'(i)。

步驟3將序列c'(i)按照行優先的順序轉換成二維矩陣N，矩陣N的大小為M*N。

步驟4將二維矩陣A和二維矩陣N對應位置按照式⑷進行像素值的融合運算，得到加密矩陣I'，即為加密圖像。

加密過程如圖3所示：

圖3　加密過程

2.2　圖像解密

圖像解密即為加密的逆過程，過程如圖4所示。

圖4　解密過程

解密過程首先根據密鑰x(0),μ將式⑴迭代q次，產生混沌序列，對混沌序列進行式⑵⑶的處理得到混沌矩陣，將密文矩陣與混沌矩陣進行像素值的融合，得到變換絕陣，對變換矩陣進行p次的Zig-Zag反變換，得到原始圖像。

3　實驗結果與性能分析

本文選取了大量的大小為256*256的灰度圖像進行測試，這里給出經典圖像lena的加密結果作為代表，本次實驗環境是Inter(R)Core(TM)i3CPU,內存為2GB,64位windows7操作系統的PC機，MATLAB2014a，取u=3.7,p=2,q=500，x(0)由計算所得,圖5(a)表示原始圖像，圖5(b)表示加密圖像。

圖5　實驗結果

3.1　密鑰空間

具備足夠大的密鑰空間是一個機密系統加密性能強大的必備條件，本文的密鑰有sun,μ,p,q，計算精度按10-15計算，則密鑰空間 k=1015*4=1060≈2180，能夠有效抵抗窮舉攻擊。

3.2　密文統計特性

3.2.1　圖像直方圖

密文特性通常通過直方圖表示出來，圖像直方圖越均勻，表示密文統計特性越好，加密效果越好，實驗結果如圖6所示。圖6(a)表示原始圖像直方圖，圖6(b)表示加密圖像直方圖。

圖6

3.2.2　相關性分析

明文圖像由于其畫面連貫性強，相鄰像素的像素值一般比較接近或者相同，存在很強的相關性。攻擊者將此作為一個重要的突破口，所以加密后的圖像相關性越低說明加密效果越好。本文隨機選取明文圖像和密文圖像相鄰的2000對像素灰度值進行比較，計算公式如⑸所示，其中x,y表示相鄰像素的灰度值，Rxy為相鄰兩個像素相關系數。其相關系數表述如表⑵所示。

由公式⑸可以得出表⑵中的數據，說明加密能夠破壞其相關性。

表2　相關系數

3.3　信息熵分析

信息熵反映了圖像信息的不確定性，一般認為，信息熵越大，不確定性越大（信息量越大），可視信息越少。信息熵的計算公式如下所示：

這里，L為圖像的灰度等級數，p(i)表示灰度值i出現的概率。對于L=256的灰度值圖像，信息熵的理論值為8。通過計算得到本文加密圖像的信息熵值為7.999383，接近于理論值（即8），而明文圖像的信息熵與理論值有明顯差別。

4　結束語

本文在對已有的標準Zig-Zag變換的基礎上，對其進行改進，提出了基于混沌序列與改進Zig-Zag變換的圖像加密算法，算法基于置亂-擴散的思想，首先將標準Zig-Zag進行改進，利用改進后的Zig-Zag變換對圖像進行置亂，然后采用Logistic混沌系統產生混沌序列，轉化為混沌矩陣，為了達到更好的效果，最后將置亂矩陣與混沌矩陣進行像素值融合，得到加密圖像，實驗證明效果良好。

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