廣義系統(tǒng)的有限頻域故障估計(jì)器設(shè)計(jì)

王振華　沈毅

故障診斷技術(shù)為提高系統(tǒng)安全性和可靠性提供了一條有效的途徑,在過(guò)去的幾十年里得到了國(guó)內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注.故障診斷的主要任務(wù)可以分為故障檢測(cè)、故障分離和故障估計(jì).由于故障的幅值信息是后續(xù)容錯(cuò)處理的重要基礎(chǔ),近年來(lái),故障估計(jì)問(wèn)題得到了一定的重視,文獻(xiàn)中出現(xiàn)了自適應(yīng)故障診斷觀測(cè)器[1?2]、滑模故障估計(jì)[3]、基于狀態(tài)增廣的故障估計(jì)[4]等諸多故障估計(jì)方法.另一方面,考慮到廣義系統(tǒng)比常見(jiàn)的狀態(tài)空間系統(tǒng)更具有一般性,一些學(xué)者們對(duì)廣義系統(tǒng)的故障診斷問(wèn)題展開(kāi)了研究[5?9].在廣義系統(tǒng)的故障估計(jì)方面,文獻(xiàn)[5]提出了基于高增益觀測(cè)器的故障估計(jì)方法,文獻(xiàn)[7]利用比例積分觀測(cè)器進(jìn)行故障估計(jì),文獻(xiàn)[8]和文獻(xiàn)[9]分別提出了自適應(yīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)觀測(cè)器和自適應(yīng)觀測(cè)器,用于廣義系統(tǒng)的故障估計(jì).

近年來(lái),有些學(xué)者考慮到故障通常處于有限頻域范圍內(nèi),并利用這一特點(diǎn)研究了一系列有限頻域故障診斷方法[10?14].由于有限頻域設(shè)計(jì)能夠有效降低故障診斷算法的設(shè)計(jì)保守性,該設(shè)計(jì)思想在Takagi-Sugeno(T-S)模糊系統(tǒng)、網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)等復(fù)雜系統(tǒng)的故障診斷中得到了進(jìn)一步的推廣應(yīng)用與深入研究[15?17].文獻(xiàn)[18]針對(duì)線性時(shí)滯系統(tǒng)提出了一種基于狀態(tài)觀測(cè)器的故障估計(jì)器,文獻(xiàn)[19]進(jìn)一步研究了故障處于有限頻域范圍時(shí)的故障估計(jì)與容錯(cuò)處理問(wèn)題.與一些其他故障估計(jì)方法(例如高增益觀測(cè)器[5]、自適應(yīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)觀測(cè)器[8])相比,這種方法的優(yōu)點(diǎn)是結(jié)構(gòu)更加簡(jiǎn)單且運(yùn)算量更小.但是文獻(xiàn)[19]只研究了常規(guī)狀態(tài)空間系統(tǒng)的情況.雖然有限頻域故障診斷方法在常義系統(tǒng)中得到了深入研究,但是在廣義系統(tǒng)的有限頻域故障估計(jì)方面的研究還非常少見(jiàn),目前只有文獻(xiàn)[20]利用有限頻域設(shè)計(jì)法研究了廣義系統(tǒng)的故障估計(jì)問(wèn)題,但是文獻(xiàn)[20]研究的是存在有限頻域擾動(dòng)時(shí)的故障估計(jì)問(wèn)題,并且需要假設(shè)故障的高階導(dǎo)數(shù)為零.受文獻(xiàn)[19]的啟發(fā),本文將基于觀測(cè)器的故障估計(jì)器設(shè)計(jì)思想推廣到廣義系統(tǒng),提出了一種非奇異形式的故障估計(jì)器,并基于廣義Kalman-Yakubovich-Popov(KYP)引理推導(dǎo)了一種新的魯棒性設(shè)計(jì)條件,以抑制故障和擾動(dòng)對(duì)故障估計(jì)誤差的影響.需要指出的是,本文研究的是故障處于有限頻域范圍內(nèi)時(shí)的故障估計(jì)方法,對(duì)故障的具體動(dòng)態(tài)并無(wú)要求,也不要求擾動(dòng)處于有限頻域范圍內(nèi).

1　問(wèn)題描述

考慮如下描述系統(tǒng)

另外,假設(shè)故障的頻率范圍是已知的,即

這表明故障處于低頻范圍內(nèi).

注1.需要說(shuō)明的是,系統(tǒng)(1)中的d(t)集成了系統(tǒng)中的不確定性,它可以是既包含過(guò)程擾動(dòng)又包含測(cè)量噪聲的.例如,如果所考慮的系統(tǒng)本來(lái)具有如下形式

則可通過(guò)令

將其寫(xiě)成式(1)的形式,其中

對(duì)于系統(tǒng)(1),提出如下形式的故障估計(jì)器

其中,In表示n×n維的單位矩陣.

本文的目標(biāo)是使故障估計(jì)盡可能地近似真實(shí)故障.為了分析故障估計(jì)的準(zhǔn)確程度,定義狀態(tài)估計(jì)誤差e(t)和故障估計(jì)誤差(t)如下

由式(1),式(7)和式(8)可得

根據(jù)式(11)和式(12),可以得到如下的誤差系統(tǒng)代入式(10)可得

現(xiàn)在我們可以將故障估計(jì)器的設(shè)計(jì)問(wèn)題描述為設(shè)計(jì)矩陣T,N,L和V(其中T和N滿足條件(8))使得誤差系統(tǒng)(14)穩(wěn)定,且滿足如下性能指標(biāo)

2　故障估計(jì)器設(shè)計(jì)

本節(jié)介紹故障估計(jì)器(7)的設(shè)計(jì)方法.首先,設(shè)計(jì)T和N使之滿足等式約束(8).由文獻(xiàn)[21]可知,滿足式(8)的T和N可由下式確定

其中,S∈Rn×(n+m)是可以任意選取的矩陣,矩陣Θ∈R(n+m)×n,αT∈R(n+m)×n,αN∈R(n+m)×m為

得到滿足式(8)的T和N之后,可以基于誤差系統(tǒng)(14)分析故障估計(jì)器(7)滿足穩(wěn)定性及性能指標(biāo)(15)和(16)要求的條件.

在給出本文的主要結(jié)果之前,先給出下面的有用引理.

引理1(廣義KYP引理)[22].對(duì)于傳遞函數(shù)G(s)=C(sI?A)?1B+D和給定一個(gè)對(duì)稱矩陣Π,下面的兩個(gè)條件是等價(jià)的:

1)下面的有限頻域不等式成立

其中,?由表1給出.

表1　不同頻率范圍的?和ΞTable 1　? and Ξ corresponding to different frequency ranges

2)存在共軛對(duì)稱矩陣P和Q,Q＞0滿足

其中,Ξ由表1給出,且?c=(?1+?2)/2.

引理2(Finsler引理)[23].對(duì)于Q∈Ra×a,U∈Ra×b,下面的兩個(gè)條件是等價(jià)的:

1)矩陣不等式

成立,其中U⊥是任意滿足U⊥U=0的矩陣.

2)存在一個(gè)矩陣Y∈Rb×a,使得

引理3[24].連續(xù)狀態(tài)空間系統(tǒng)

是穩(wěn)定的,并且其傳遞函數(shù)

滿足‖G(s)‖∞＜γ的充分必要條件是存在一個(gè)對(duì)稱矩陣P＞0,使得如下矩陣不等式成立

引理1是廣義KYP引理,它是有限頻域設(shè)計(jì)的重要基礎(chǔ).引理3則是著名的有界實(shí)引理,是全頻域H∞分析與設(shè)計(jì)的重要工具.若令Q=0,Π=diag｛I,?γ2I｝,P＞0,則廣義KYP引理退化為有界實(shí)引理.所以,有界實(shí)引理是廣義KYP引理在全頻域條件下的特殊形式.

為了保證性能指標(biāo)(15),本文基于引理1和引理2給出如下定理.

定理1.對(duì)于傳遞函數(shù)G(s)=C(sI?A)?1B+D和一個(gè)給定的對(duì)稱矩陣Π,我們有如下結(jié)果:1)G(s)滿足如下有限頻域不等式

的充分必要條件是存在共軛對(duì)稱矩陣P和Q,Q＞0以及具有適當(dāng)維數(shù)的矩陣M1,M2,G,使得如下矩陣不等式成立

其中

2)G(s)滿足如下有限頻域不等式

的充分必要條件是存在共軛對(duì)稱矩陣P和Q,Q＞0以及具有適當(dāng)維數(shù)的矩陣M1,M2,G,使得如下矩陣不等式成立

3)G(s)滿足有限頻域不等式

的充分必要條件是存在具有適當(dāng)維數(shù)的共軛對(duì)稱矩陣P和Q,Q＞0以及矩陣M1,M2,G,使得

證明.根據(jù)引理1,頻域不等式(18)在低頻范圍內(nèi)成立等價(jià)于

易知式(32)可以寫(xiě)成如下形式

取

則有

此時(shí),矩陣不等式(33)可以表示為

根據(jù)引理2,式(35)成立的充分必要條件是存在一個(gè)矩陣Y,使得

成立.

令

并將式(34)和式(37)代入式(36),即可得到式(24).

利用相同的原理,可以證明中頻范圍和高頻范圍內(nèi)的結(jié)論.此處從略.□

注2.定理1基于廣義Kalman-Yakubovich-Popov引理和Finsler引理,給出了廣義KYP引理的一種等價(jià)形式,為有限頻域設(shè)計(jì)過(guò)程中的參數(shù)選取提供了更方便、更直觀的條件.這一結(jié)果不僅可以用于故障診斷觀測(cè)器設(shè)計(jì),也可用于其他有限頻域設(shè)計(jì),例如有限頻域H∞濾波和有限頻域魯棒控制器設(shè)計(jì).因此,定理1是本文的主要貢獻(xiàn)之一.

基于定理1,我們提出下面的定理,用于設(shè)計(jì)故障估計(jì)器使其滿足性能指標(biāo)(15).

定理2.給定γf＞0,故障估計(jì)器(7)使得誤差系統(tǒng)(14)滿足有限頻域性能指標(biāo)(15)的充分條件是存在對(duì)稱矩陣P1∈Rn×n,Q∈Rn×n,Q＞0,以及矩陣G∈Rn×n,V∈Rq×m,L∈Rn×m,使得矩陣不等式(38)成立.

其中,

這里的α1∈R和V1∈Rn×q是事先確定的設(shè)計(jì)參數(shù).在本文中,為了形式更加緊湊,我們用?表示矩陣中可由對(duì)稱性得到的項(xiàng),用He{M}表示M+MT.

證明.若將式(18)中的Π取為

則有限頻域不等式(18)即可成為式(15).由定理1可知,式(18)成立的充分必要條件是存在對(duì)稱矩陣P,Q＞0和矩陣M1,M2,G,使得不等式(39)成立.

令

并將A,B,C,D,Q,P,M1,M2,G代入條件(39)中可得

其中,

然后,利用Schur補(bǔ)引理[25]可得式(40)等價(jià)于式(38).

綜上,如果式(38)成立,則誤差系統(tǒng)(14)滿足有限頻域性能指標(biāo)(15).□

下面的定理基于有界實(shí)引理給出誤差系統(tǒng)(14)穩(wěn)定,且滿足性能指標(biāo)(16)的條件.

定理3.給定γd＞0,故障估計(jì)器(7)使得誤差系統(tǒng)(14)穩(wěn)定且滿足有限頻域性能指標(biāo)(16)的充分條件是存在對(duì)稱矩陣P2∈Rn×n和矩陣G∈Rn×n,V∈Rq×m,L∈Rn×m,使得矩陣不等式(41)成立.

其中,

這里α2∈R是事先確定的設(shè)計(jì)參數(shù).

證明.在引理1中,令

則可得到引理3中的矩陣不等式(22).因此,我們也可以利用定理1將矩陣不等式(22)轉(zhuǎn)化為不等式(42)形式.

令并利用Schur補(bǔ)引理可知由式(41)可以推出式(22).因此,如果式(41)成立,則誤差系統(tǒng)(14)穩(wěn)定且滿足性能指標(biāo)(16).□

基于定理2和定理3的結(jié)果,下面的定理給出了故障估計(jì)器的設(shè)計(jì)方法.

定理4.對(duì)于給定的γf＞0和γd＞0,如果存在對(duì)稱矩陣P1,P2,Q∈Rn×n,Q＞0,以及矩陣G∈Rn×n,V∈Rq×m,W∈Rn×m,使得如下線性矩陣不等式成立

其中,

則故障估計(jì)器(7)使得誤差系統(tǒng)(14)穩(wěn)定且滿足性能指標(biāo)(15)和(16).另外,在求解出線性矩陣不等式(43)和(44)之后,故障估計(jì)器(7)的矩陣L可由L=G?1W確定.

證明.結(jié)合定理2和定理3,并令W=GL,即可得到定理的結(jié)論.□

注3.需要說(shuō)明的是,由于篇幅所限,本文只給出了低頻故障時(shí)的有限頻域故障估計(jì)觀測(cè)器設(shè)計(jì)方法,但是,所提出的方法并不限于故障為低頻的情況.對(duì)于故障具有帶通頻率特性的情況,應(yīng)用定理1中關(guān)于中頻段的結(jié)果即可得到相應(yīng)的故障估計(jì)觀測(cè)器設(shè)計(jì)方法.

由于常義系統(tǒng)是廣義系統(tǒng)的一種特例,所以本文所提出的方法也適用于如下形式的狀態(tài)空間系統(tǒng)

對(duì)于系統(tǒng)(45),通過(guò)令T=In,N=0,可將所提出的故障估計(jì)器(7)變?yōu)槿缦滦问?/p>

另外,基于定理4可以得到如下的設(shè)計(jì)方法.

定理5.對(duì)于給定的γf＞0和γd＞0,如果存在對(duì)稱矩陣P1,P2,Q∈Rn×n,Q＞0,以及矩陣G∈Rn×n,V∈Rq×m,W∈Rn×m,使得如下線性矩陣不等式成立

其中,

則式(46)是系統(tǒng)(45)的一個(gè)具有穩(wěn)定誤差動(dòng)態(tài)且滿足性能指標(biāo)(15)和(16)的故障估計(jì)器,其中的矩陣L可由L=G?1W確定.

3　仿真結(jié)果

以圖1所示的一個(gè)電路來(lái)說(shuō)明本文說(shuō)明所提出方法的有效性.其中,uS(t)=u0(t)+f(t)是電源電壓,R1是電阻,L1是電感,C1,C2是電容,u1(t),u2(t)分別是電容C1和C2兩端的電壓,i1(t),i2(t)分別是通過(guò)C1和C2的電流.考慮此電路中的電源可能發(fā)生故障,設(shè)相關(guān)參數(shù)為R1=1+?R1,L1=1+?L1,C1=1+?C1,C2=1+?C2,其中?R1,?L1,?C1和?C2代表系統(tǒng)中的參數(shù)不確定性.設(shè)u2(t),i1(t)+i2(t)可測(cè),測(cè)量方程為

圖1　一個(gè)含電源故障的兩回路電路系統(tǒng)Fig.1　A two-loop circuit system with source fault

其中,v1(t),v2(t)是均值為零、標(biāo)準(zhǔn)差為0.01的測(cè)量噪聲.根據(jù)文獻(xiàn)[8]可知上述電路是一個(gè)廣義系統(tǒng).令

即可得到式(1)的形式,其中f(t)代表電源故障,d(t)中集成了模型偏差和測(cè)量噪聲,相應(yīng)的參數(shù)矩陣為

令

通過(guò)式(17)可以得到

考慮處于|ω|＜0.2的低頻范圍內(nèi)的故障,在定理4中設(shè)γf=0.2,γd=6.5,并選取α1=1,V1=?0.8TBf,α2=1可以求出

在仿真中,假設(shè)參數(shù)R1,L1,C1和C2都存在10%以內(nèi)的不確定性,并且測(cè)量輸出信號(hào)受標(biāo)準(zhǔn)差為0.01的噪聲的影響.在電源發(fā)生如下形式的故障時(shí)

利用所設(shè)計(jì)的故障估計(jì)器可以得到如圖2所示的結(jié)果.可以看出,雖然故障信號(hào)具有時(shí)變特性,但是所提出的故障估計(jì)器仍然能夠得到比較準(zhǔn)確的故障估計(jì).

圖2　實(shí)際故障在設(shè)計(jì)頻域范圍內(nèi)時(shí)的故障估計(jì)結(jié)果Fig.2　Fault estimation results when the fault is actually in the designed frequency range

為了探討所設(shè)計(jì)的有限頻域故障估計(jì)器在故障頻率超過(guò)設(shè)計(jì)頻率?時(shí)的性能,在仿真中進(jìn)一步考慮如下形式的故障

此時(shí)的故障估計(jì)結(jié)果如圖3所示.可以看出,在實(shí)際的故障頻率太大的情況下,故障估計(jì)器的估計(jì)準(zhǔn)確性有所下降.這是由于故障的實(shí)際頻率超出了設(shè)計(jì)范圍,導(dǎo)致根據(jù)有限頻域范圍設(shè)計(jì)的故障估計(jì)器無(wú)法達(dá)到既定的魯棒性指標(biāo)(γf=0.2).

圖3　實(shí)際故障頻率超出設(shè)計(jì)頻域范圍時(shí)的故障估計(jì)結(jié)果Fig.3　Fault estimation results when the fault is not actually in the designed frequency range

4　結(jié)論

本文針對(duì)具有執(zhí)行器故障和未知擾動(dòng)的連續(xù)線性廣義系統(tǒng),提出了一種新的故障估計(jì)器設(shè)計(jì)方法.在故障屬于低頻范圍的條件下,利用廣義KYP引理和有界實(shí)引理分析了誤差系統(tǒng)穩(wěn)定且滿足給定故障估計(jì)性能指標(biāo)的條件,并且將故障估計(jì)器設(shè)計(jì)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為線性矩陣不等式形式.最后通過(guò)一個(gè)受故障影響的電路系統(tǒng)的仿真算例說(shuō)明了本文所提出方法的有效性.由文中的推導(dǎo)可知,基于廣義KYP引理所得到的有限頻域故障估計(jì)器設(shè)計(jì)條件實(shí)際上是存在設(shè)計(jì)變量耦合的非線性矩陣不等式,本文是通過(guò)對(duì)設(shè)計(jì)變量施加限制得到了線性矩陣不等式形式的設(shè)計(jì)條件,因而所提出的設(shè)計(jì)方法仍然存在一定的保守性.如何進(jìn)一步放寬對(duì)于設(shè)計(jì)變量的限制,得到更為松弛的設(shè)計(jì)條件,是有待繼續(xù)研究的方向之一.

1 Wangh,Daley S.Actuator fault diagnosis:an adaptive observer-based technique.IEEE Transactions on Automatic Control,1996,41(7):1073?1078

2 Zhang K,Jiang B,Cocquempot V.Adaptive observer-based fast fault estimation.International Journal of Control,Automation,and Systems,2008,6(3):320?326

3 Alwih,Edwards C,Tan C P.Sliding mode estimation schemes for incipient sensor faults.Automatica,2009,45(7):1679?1685

4 Zhang Ke,Jiang Bin.Fault diagnosis observer-based output feedback fault tolerant control design.Acta Automatica Sinica,2010,36(2):274?281(張柯,姜斌.基于故障診斷觀測(cè)器的輸出反饋容錯(cuò)控制設(shè)計(jì).自動(dòng)化學(xué)報(bào),2010,36(2):274?281)

5 Gao Z W,Ding Sx.Actuator fault robust estimation and fault-tolerant control for a class of nonlinear descriptor systems.Automatica,2007,43(5):912?920

6 Chen Li,Zhong Mai-Ying.Designing robusth∞fault detection fi lter for singular time-delay systems with uncertainty.Acta Automatica Sinica,2008,34(8):943?949(陳莉,鐘麥英.不確定奇異時(shí)滯系統(tǒng)的魯棒H∞故障診斷濾波器設(shè)計(jì).自動(dòng)化學(xué)報(bào),2008,34(8):943?949)

7 Hamdih,Rodrigues M,Mechmeche C,Theilliol D,Braiek N B.Fault detection and isolation in linear parameter-varying descriptor systems via proportional integral observer.International Journal of Adaptive Control and Signal Processing,2012,26(3):224?240

8 Wang Zh,Shen Y,Zhangx L.Actuator fault estimation for a class of nonlinear descriptor systems.International Journal of Systems Science,2014,45(3):487?496

9 Yao L N,Cocquempot V,Wangh.Fault diagnosis and fault tolerant control scheme for a class of non-linear singular systems.IET Control Theory&Applications,2015,9(6):843?851

10 Wang J L,Yang Gh,Liu J.An LMI approach toh?index and mixedh?/H∞fault detection observer design.Automatica,2007,43(9):1656?1665

11 Yangh J,Xia Y Q,Zhang Jh.Generalised fi nite-frequency KYP lemma in delta domain and applications to fault detection.International Journal of Control,2011,84(3):511?525

12 Chen J L,Cao Y Y.A stable fault detection observer design in fi nite frequency domain.International Journal of Control,2013,86(2):290?298

13 Chen J,Cao Y Y,Zhang W D.A fault detection observer design for LPV systems in fi nite frequency domain.International Journal of Control,2015,88(3):571?584

14 Li Xian-Wei,Gao Hui-Jun.An overview of generalized KYP lemma based methods for fi nite frequency analysis and design.Acta Automatica Sinica,2016,42(11):1605?1619(李賢偉,高會(huì)軍.有限頻域分析與設(shè)計(jì)的廣義KYP引理方法綜述.自動(dòng)化學(xué)報(bào),2016,42(11):1605?1619)

15 Lix J,Yang Gh.Fault detection in fi nite frequency domain for Takagi-Sugeno fuzzy systems with sensor faults.IEEE Transactions on Cybernetics,2014,44(8):1446?1458

16 Long Y,Yang Gh.Fault detection and isolation for networked control systems with fi nite frequency speci fi cations.International Journal of Robust and Nonlinear Control,2014,24(3):495?514

17 Ding D W,Wangh,Lix L.H?/H∞fault detection observer design for two-dimensional Roesser systems.Systems and Control Letters,2015,82:115?120

18 Dong Quan-Chao,Zhong Mai-Ying.Active fault toleranth∞control for linear time-delay systems.Systems Engineering and Electronics,2009,31(11):2693?2697(董全超,鐘麥英.線性時(shí)滯系統(tǒng)主動(dòng)容錯(cuò)H∞控制.系統(tǒng)工程與電子技術(shù),2009,31(11):2693?2697)

19 Dong Q C,Zhong M Y,Ding Sx.Active fault tolerant control for a class of linear time-delay systems in fi nite frequency domain.International Journal of Systems Science,2012,43(3):543?551

20 Gu Y,Mingh F,Dan Y.Fault reconstruction for linear descriptor systems using PD observer in fi nite frequency domain.In:Proceedings of the 24th Chinese Control and Decision Conference.Taiyuan,China:IEEE,2012.2281?2286

21 Wang Zh,Rodrigues M,Theilliol D,Shen Y.Sensor fault estimation fi lter design for discrete-time linear time-varying systems.Acta Automatica Sinica,2014,40(10):2364?2369

22 Iwasakit,Hara S.Generalized KYP lemma:uni fi ed frequency domain inequalities with design applications.IEEE Transactions on Automatic Control,2005,50(1):41?59

23 Wangh,Yang Gh.A fi nite frequency domain approach to fault detection observer design for linear continuous-time systems.Asian Journal of Control,2008,10(5):559?568

24 Gahinet P,Apkarian P.A linear matrix inequality approach toh∞control.International Journal of Robust and Nonlinear Control,1994,4(4):421?448

25 Boyd S,Ghaoui L E,Feron E,Balakrishnan V.Linear matrix inequalities in system and control theory.Studies in Applied Mathematics.Philadelphia,PA,USA:Society for Industrial and Applied Mathematics,1994.7?29