逆向思維在中學數學解題中的應用

伍志新

[摘 要]逆向思維是一種創造性思維.數學問題浩如煙海，當用順向思維去思考而感到“山重水復”時，不妨運用逆向思維去思考，這往往能獨辟蹊徑，出現“柳暗花明”的景象，使問題獲解.

[關鍵詞]逆向思維；數學解題；中學數學

[中圖分類號] G633.6 [文獻標識碼] A [文章編號] 16746058（2018）02002802

心理學研究表明，每一個思維過程都有一個與之相反的思維過程.在這兩個互逆的思維過程中，存在著順向與逆向的思維聯結.思維的逆向性是相對的，是相對順向思維而言的.逆向思維在現實生活中的應用十分廣泛.“司馬光砸缸救人”的故事就是逆向思維的典型例子.

一、逆向思維的含義及其在數學中的體現

逆向思維是一種創造性思維.逆向思維的本質特征是善于從對立的角度、相反的方向、互逆的路線去思考問題，能隨時逆轉心理過程，表現出靈活性及較強的思維調節能力.數學問題浩如煙海，當我們用順向思維去思考而感到“山重水復”時，不妨用逆向思維去思考，這往往能獨辟蹊徑，出現“柳暗花明”的景象，使問題獲解.

在中學數學教學中體現互逆思維的知識內容比比皆是，如運算與逆運算；命題與逆命題；定理與逆定理；多項式的乘法與多項式的因式分解；分子有理化與分母有理化；通分母與通分子；已知方程或不等式求其解與已知解求方程或不等式；已知函數求其定義域與已知定義域求函數；函數與反函數；已知函數求其周期與已知周期求其函數；已知函數的解析式求其圖像與已知確定函數圖像的條件求函數的解析式，已知曲線求其方程與已知方程求其曲線；等等.在中學數學課堂教學中，教師要善于引導學生運用逆向思維解決問題，這會使課堂教學綻放數學的思維美和邏輯美，使學生愛上數學.

二、運用逆向思維，使解題過程“柳暗花明”

逆向思維在數學解題中的應用十分廣泛，如果善于運用逆向思維，往往會使解題過程簡單明了，出現“柳暗花明”的景象.

1.數的大小比較

在比較分數的大小時，如利用順向思維來解題則是先通分后比較分子的大小.但有時通分運算往往十分麻煩，此時不妨運用逆向思維，即先通“分子”，然后比較分母的大小，

再由“兩個正數同分子，分母大的反而小”

即可確定分數的大小.

【例1】 比較下列各數的大小關系：

-623，-417，-311，-1247.

析與解：本題中，各數的分母較大，分子較小.運用逆向思維通“分子”，可得

-1246，-1251，-1244，-1247.

∴-1251>-1247>-1246>-1244，

即-417>-1247>-623>-311.

【例2】 已知P=12，Q=7-3，R=6-2，試比較P、Q、R的大小.

析與解：要從正面直接去比較這三個數的大小，是比較困難的.對此，我們可以這樣去比較.

2.解方程

已知方程求方程的解或已知方程有實數根求某實數的取值范圍，是初中數學的重要學習內容之一.在解決此類問題時，如果用順向思維解決有困難，不妨轉換思維角度，用逆向思維尋求解題思路.

【例3】 解方程：x3+（1+5）x2-5=0.

析與解：這是求解一元三次方程，初中階段學生沒有學過這一內容，能否求解，決定于他們對初中數學思想方法是否真正理解和掌握.如果能變換角度，運用逆向思維，解題思路便會豁然開朗.

可先把原方程中的常數5看作未知數，而把未知數x看作常數，即

設t=5，則原方程可變形為關于t的一元二次方程

真是順向思維“山窮水盡”，逆向思維“海闊天空”啊！

【例4】 已知在以下三個方程

中，至少有一個方程有實根，求實數m的取值范圍.

析與解：若按順向思維去考慮問題，求解的過程是相當煩瑣的；如若從反面即用逆向思維去考慮問題，求解就簡單了.“至少有一個方程有實根”的反面就是“三個方程都沒有實根”，從而解之，得1

∴當m≤1或m≥4時，在給定的三個方程中，至少有一個方程有實根.

3.求函數的值域或取值范圍

我們知道，在一般情況下，求函數的定義域（或取值范圍）比求函數的值域（或取值范圍）容易.根據函數與反函數的內在聯系可知，函數的值域（或取值范圍）就是其反函數的定義域（或取值范圍）.因此，在求某些函數的值域（或取值范圍）時，不妨沿“求其反函數的定義域（或取值范圍）”這條思路去思考，解題過程會更簡捷.

【例5】 求函數f（x）=1+x1-x的值域.

析與解：求函數f（x）=1+x1-x的值域，利用逆向思維，只要求出其反函數的定義域，問題就可迎刃而解.

設y=1+x1-x，則x=y-1y+1.

∴函數f（x）=1+x1-x的反函數是y=x-1x+1.

∵函數y=x-1x+1的定義域是x≠-1，

∴函數f（x）=1+x1-x的值域是（-∞，-1）∪（-1，+∞）.

【例6】 已知f-1（x）是函數f（x）=1/2（ax-a-x）（a>1）的反函數，求不等式f-1（x）>0的解集.

析與解：若從正面去考慮問題，用順向思維去分析，則需先求出函數f（x）的反函數f-1（x），然后解不等式f-1（x）>0.這樣處理，求函數f（x）的反函數是相當麻煩的.因此，宜從反面去考慮問題，用逆向思維分析和解決問題.

∵f-1（x）>0x>0時f（x）的值域，

∴只需求出當x>0時，f（x）的值域即可.

∵f（0）=0，且函數f（x）=1/2（ax-a-x）（a>1）是（-∞，+∞）上的增函數，

∴當x>0時，f（x）>0.

∴當x>0時，函數f（x）的值域是（0，+∞）.

∴不等式f-1（x）>0的解集是（0，+∞）.

三、運用逆向思維，解題過程“獨辟蹊徑”

運用逆向思維解決一些現實生活問題，也會使解題過程更簡捷，綻放數學的邏輯美.

【例7】 編號為1，2，3，4，5的5個人入座編號也為1，2，3，4，5的5個座位，至多有2人對號入座的坐法共有幾種？

析與解：若從正面去考慮，情況比較復雜.正面有三種情況：全不對號入座，有且僅有1人對號入座；有且僅有2人對號入座，且每種情況都比較難處理.因此，宜從反面考慮問題，用逆向思維分析和解決問題.反面只有兩種情況：全部對號入座（4人對號入座時一定全部對號入座），有且僅有3人對號入座，而全對號入座只有1種情況，有且僅有3人對號入座，只要先從5人中選出3人，共有C35種坐法，其余2人不對號入座只有一種坐法.由分類計算原理和分步計數原理，得反面問題共有1+C

35·1=11（種）；5人全排有A55種.

∴滿足題目要求的坐法共有

A55-（1+C35）=109（種）.

【例8】 甲、乙、丙三個箱內共有小球384個，現先從甲箱內取出若干個小球放進乙、丙箱內，乙、丙兩箱所放個數分別等于乙、丙箱內原有小球的個數；再從乙箱內取出若干個小球放進甲、丙箱內，最后從丙箱內取出若干個小球放進甲、乙箱內，取法、放法同前，結果三個箱內小球的個數相等，甲、乙、丙箱內原有小球多少個？

析與解：這個問題的順向思維是由初始狀態逐步順追到最終狀態，但由于初始狀態是未知的，最終狀態是已知的，因此，這個問題的順向思維是從未知到已知，如何求結果，實在難以得知.若用逆向思維的思想方法分析問題，則是從最終狀態（已知）逐步逆推到初始狀態（未知）.這樣，問題的求解就一目了然了.

∵384÷3=128，所以逆推情況如下表所示甲、乙、丙箱內原各有的小球數分別是208個、112個、64個.

綜上可知，逆向思維是中學數學解題中最常用的數學思維之一.如果善于運用逆向思維解題，往往會使問題“柳暗花明”，順利獲解.數學問題浩如煙海，逆向思維在數學解題中的應用不可能一一枚舉，上面所列舉的解題范例，只是拋磚引玉，希望能起到舉一反三、觸類旁通的作用.

（責任編輯 黃春香）