例談區(qū)域染色問題

李 維

(甘肅省會(huì)寧縣第四中學(xué) 730799)

排列組合的染色問題是一個(gè)廣大學(xué)生在學(xué)習(xí)中難以掌握的知識，經(jīng)常我們看到的是顏色與染色區(qū)域相同問題，有些時(shí)候我們看到的并不是這樣，看到的是顏色種數(shù)多于染色區(qū)域，或顏色種數(shù)少于染色區(qū)域，或者不同區(qū)域或者不同圖形等等，這些問題如何解決呢，下面就經(jīng)常見的三類問題談幾點(diǎn)，供大家商討.

一、顏色種數(shù)與區(qū)域相同問題

解決的辦法是以顏色在區(qū)域內(nèi)相同與否分類解答.

例1 用4種不同的顏色涂入圖1中矩形A,B,C,D框中，要求相鄰的矩形涂色不同，則不同的涂色辦法有多少種？

圖1

解析如圖1這類問題可分兩類：

(1)若A,B,C,D四個(gè)區(qū)域顏色不一樣，有N1=4×3×2×1(種).

(2)若A,D涂同色.或B,D涂同色，則有N2=4×3×2+4×3×2(種).

故由上述可得不同涂色辦法有N=N1+N2=4×3×2×1+4×3×2+4×3×2=72(種).

二、顏色種數(shù)多于染色區(qū)域問題

解決的辦法按照區(qū)域的染色的顏色種數(shù)分類解答.

例2 設(shè)直線x=0和y=x將圓x2+y2=4分成四部分，用5種不同的顏色給四部分涂色，要求每一部分涂一種顏色，且相鄰的區(qū)域不能為同色，則不同的涂色方案有多少種？

解析由已知這個(gè)題目的染色區(qū)域有四個(gè)區(qū)域，故顏色多于區(qū)域，故要對顏色先取再涂色的方法，故這個(gè)問題分三類解決.

(1)選用4種顏色涂色，每一部分用一種顏色，故有方法

(2)選用3種顏色涂色，有兩部分用一種顏色，又分為兩種，可有

(3)選用2種顏色涂色，則每兩部分顏色相同，故有

由上述可得所有的方案種數(shù)共有

N=N1+N2+N3=260(種).

三、顏色種數(shù)少于染色區(qū)域

方法是先染一區(qū)域，再確定其他區(qū)域染色方法.

例3 將一個(gè)四棱錐的每個(gè)頂點(diǎn)染上一種顏色，并使同一條棱上的兩端異色，如果只有5種顏色可供使用，求不同的染色方法種數(shù).

解析這個(gè)題是一個(gè)立體幾何的染色問題，與平面圖形基本一樣，先將四棱錐一側(cè)面的三頂點(diǎn)染色，再考察其他的頂點(diǎn)的染色數(shù)，用分步計(jì)數(shù)原理即可得出結(jié)論.

如圖2所示，有題設(shè)四棱錐S-ABCD的頂點(diǎn)S,A,B所染的顏色互不相同，它們共有5×4×3=60種方法，當(dāng)S,A,B染好后不妨設(shè)顏色分別是1，2，3.當(dāng)S染1時(shí)，若C染2，則D可染3或4或5，有3種染法；若C染4，則D可染3或5，有2種染法；若C染5，則D可染3或4，有2種染法.可見，當(dāng)S,A,B染好后，C,D還有7種染法，故不同的方法有60×7=420(種)

圖2

實(shí)彈演練

1.如圖3，一個(gè)地區(qū)分為5個(gè)行政區(qū)域，現(xiàn)給地圖著

色，要求相鄰區(qū)域不得使用同一顏色，現(xiàn)有4種顏色可供選擇，則不同的著色方法共有________種(以數(shù)字作答)

圖3 圖4

2.如圖4,用5種不同顏色給圖中A,B,C,D 4個(gè)區(qū)域涂色，規(guī)定每個(gè)區(qū)域只涂一種顏色，相鄰區(qū)域涂不同顏色，則不同的涂色方法有________種

答案1. 72種 2. 180種

參考文獻(xiàn)：

[1]方勇.條形、環(huán)形區(qū)域染色問題的完美解決[J].中國校外教育,2010(15).