半閉口槽平行充磁永磁電機全局解析法優化設計

景弋洋,章躍進

(上海大學,上海 200072)

0 引 言

目前表貼式永磁電機的永磁體充磁方式主要有徑向充磁、平行充磁和 Halbach 磁化結構3種，內轉子永磁電機選擇平行充磁，既可提高氣隙磁密的正弦分布程度，又能得到較高磁密峰值[1]。無論采用何種充磁方式，準確計算電機的氣隙磁場分布都是設計電機并分析性能時所需的基本條件。計算磁場時通常用精度較高的有限元法，但其剖分復雜、計算耗時較多。解析法需要一定的前提假設，幾何結構較單一，但能明確地反映參數對磁場的作用，同時由于其不需要大量的前處理，降低調整難度的同時加快了計算速度，是電機性能預評估和設計優化的有利工具。

在氣隙磁場分布的計算中必須考慮定子的開槽效應。定子槽的存在使氣隙磁場發生很大改變，因而對電動機性能如徑向力和齒槽轉矩引起的噪聲、轉矩波動和振動等都有較大的影響。解析法用于考慮開槽效應的氣隙磁場測定的研究，已經發展出了許多方法，主要使用的有3種。最早采用保角變換法，文獻[2-3]分析了徑向氣隙磁密分量在開槽處所受到的影響；文獻[4]使用復數型比磁導，能夠計算出切向磁密分量，但該方法不能把電機中各個槽之間的影響分析出來。第二種方法將數值和解析法結合，因為氣隙可認為近似線性，用解析法分析準確，再通過邊界條件將其與用數值法分析的槽磁場聯系起來[5]，這樣分析電機時就可以采用任意槽型，但同時又增加了前處理過程，計算時間受到影響。第三種是全局解析法，將電機劃分為各個子域，通過交界條件可分析各個子域間的影響[6]，但其所使用的模型仍與實際電機差別較大。

文獻[7]采用全局解析法分析了外轉子半閉口槽永磁電機，并采用Halbach磁化結構。基于該文基本思路，本文采用半閉口槽內轉子平行充磁結構，應用全局解析法分析表貼式永磁無刷電機的磁場以及性能參數。利用 MATLAB優化工具箱中的遺傳算法對電機進行優化，目標是減小齒槽轉矩和反電動勢非正弦度。并將得到的結果與二維有限元法和實驗所得結果相對比，證明其正確性。

1 電機解析模型

1.1 數學模型

根據材料和結構屬性，將整個電機劃分為4個求解區域：氣隙區域1、平行充磁永磁體區域2、i槽口區域Si和j槽深區域Sj，由于采用雙層繞組，j槽深區域Sj由上層區域Sj1和下層區域Sj2組成 (i，j=1,2,…，Q)。如圖1所示。

圖1 電機求解區域幾何模型

1.2 永磁體平行充磁解析模型

永磁體平行充磁磁鋼磁化方向如圖2所示。在極坐標系下，永磁體的磁化強度M可用如下公式表示：

圖2 平行充磁磁化方向

M=Mrr+Mθθ

(1)

式中：r,θ為徑向與切向矢量符號。Mr，Mθ分別為永磁體磁化強度的徑向和切向分量，其傅里葉級數展開式[8]：

(2)

式中：h為極對數p和槽數Q的最大公約數；θ0為永磁體與初始設定基準位置間的夾角。若為平行充磁，則：

(3)

式中：

式中：Br為永磁體剩余磁通密度；μ0為真空磁導率；αp為永磁體極弧系數。

2 全局解析法空載磁場計算

2.1 矢量磁位方程組，子域邊界條件

(4)

根據電磁場分界面銜接條件，使用分離變量法[9]，各區域矢量磁位通解表示如下：

(C1nrnh+D1nr-nh)sin(nhθ)]

(5)

(C2nrnh+D2nr-nh)sin(nhθ)]+

sin[nh(θ-θ0)]

(6)

(7)

(8)

2.2 空載氣隙磁密、齒槽轉矩和反電動勢

根據磁矢量位和磁通密度的關系，在極坐標系下，對氣隙區域的矢量磁位按式(9)，即可求得磁通密度的徑向分量和切向分量：

(9)

(10)

(11)

(12)

式中：Lef為氣隙軸向長度；Re為計算齒槽轉矩積分路徑的半徑；Nturn為雙層繞組每層導體數；Sslot為槽身區域的面積；ω為電機旋轉機械角速度。

3 遺傳算法優化設計

3.1 解析法與遺傳算法優化的優勢

在解析法與有限元法結果準確一致的前提下，采用解析法進行優化有很多優點：1) 電機被完全的參數化，變量更改方便，范圍廣；2) 有限元法在電機參數改變后需要重新設置網格剖分方式，否則計算結果將不準確，而每改一次參數就重新剖分一次的前處理過程十分的復雜和難以自動實現，效率也大大降低，不利于優化的進行；3) 解析法物理概念明確，計算量小、速度快。因此在進行電機的優化設計時，采用解析法而非有限元法有很大優勢。

遺傳算法是一類借鑒生物界的進化規律演化而來的隨機化搜索方法。與傳統算法相比，它魯棒性強，對目標函數及其約束條件不做連續性上的要求，搜索區域遍及整個解空間，具有全局優化的特點[10]。全局解析法的計算模型參數化，與遺傳算法結合可實現優化過程自動化，無需人工參與。本文將MATLAB優化工具箱中的遺傳算法運用到永磁無刷電機的優化設計中，較有限元法省去了復雜的前處理，大大縮短了優化計算時間，且更加方便有效。

3.2 設計變量的選取

選取對平行充磁表貼式永磁電機設計和性能指標影響較大的基本參數作為設計變量，根據電機的特點，有幾個變量對電機的磁場影響較為突出：首先是氣隙長度，氣隙長度大小的變化能直接影響到磁路的狀態和磁場的大小；其次是永磁體厚度，永磁體越厚則磁場越強，反之越弱，過厚的永磁體會增大成本及影響結構穩定性；槽口的存在是齒槽轉矩產生的原因，但槽口越小卻會對電機其他性能產生影響。

綜上選取永磁體半徑Rm，定子內半徑Rs，槽口半徑Rs1，槽口張開角度β為優化設計變量。

3.3 目標函數的構建

目標函數即是優化設計中需要解決的問題，本文重點關注的是在保證電機性能的前提下減小齒槽轉矩和反電動勢的非正弦畸變率，即：

Min fitness=Min(Tcog&δe)

(14)

式中：fitness為計算目標函數值的M文件。即上文中的齒槽轉矩和反電動勢的解析計算過程。

3.4 主程序函數

MATLAB遺傳算法工具箱中的遺傳算法主函數：

(15)

式中：左端為輸出參數，右端為輸入參數。輸出參數中x為最終變量值，fval為最優解；輸入參數中nvars為變量的個數。

3.5 遺傳算法參數選擇

遺傳算法參數的選擇對遺傳算法的準確性有很大影響，其中主要的有以下幾個。

群體規模是影響算法效能的主要因素之一。取值太小采樣點不足，算法性能將大大下降；反之若該值取得過大，則算法的計算量與完成時間顯著增加，一般在20～100范圍內選取。具體設置是在options中更改PopulationSize，本文設為25。

算法中用于控制產生后代的交叉操作頻度的參數稱為交叉概率。當交叉概率取得過大時，種群更新太快，合適的函數取值將很容易被破壞；概率取得太小，產生后代的操作將減少，導致算法停滯不前，一般在0.4～0.9之間選取。工具箱中有離散重組等多種交叉函數可供選擇。具體設置是在options中更改CrossoverFraction，本文設為0.9。

變異概率決定了函數族群中產生多種不同個體的可能性，一般取一個較小值就會對種群的各個基因產生影響，提高種群多樣性。取得過大或過小都會影響算法性能，一般在0.001～0.2范圍內選取，可在options中更改MigrationFraction，本文設為0.01。

終止條件是人為設置的終止算法的判斷條件，即認為在這個條件下算法已滿足最優解。可在工具箱中選擇最大代數、停滯時間等，本文采用最大代數，在options中設置Generations為80。

4 實例實驗驗證與優化效果

4.1 電機結構參數

本文樣機為一臺4極6槽的平行充磁表貼式永磁無刷電機，具體參數如表1所示。

表1 電機模型參數

4.2 空載氣隙磁密

圖3 空載氣隙磁密波形對比

從圖3中可看出，由于聚磁效應解析法相對有限元法在齒邊緣的計算結果要稍有偏差，但整個磁密波形基本完全吻合，而空載磁密的正確可以反映出其余特性的正確性，從而證明了全局解析法的正確性，可以用它來優化電機。

4.3 齒槽轉矩與優化結果

圖4 齒槽轉矩波形對比

調用工具箱程序優化后的4個設計變量：永磁體半徑Rm=13.5mm，定子內半徑Rs=16mm，槽口半徑Rs1=18.5mm，槽口張開角度β=16°。

圖4中解析法齒槽轉矩最大值為137mN·m，而有限元法為120mN·m，有一定差距，但波形趨勢較為吻合。

而設計變量優化之后的電機齒槽轉矩波形如圖5所示。

圖5 優化后的齒槽轉矩波形

從圖5中可以看出，采用了優化結構的電機齒槽轉矩幅值近似為66mN·m，比優化前減少了一半，證明本文使用的遺傳算法優化在減少齒槽轉矩方面是有效的。

4.4 反電動勢與優化效果

圖6分別是原尺寸電機在額定轉速下相繞組空載反電動勢的解析計算、有限元計算和實測波形。

(a) 解析法計算波形

(b) 有限元法計算波形

(c) 實測波形

采用遺傳算法優化時齒槽轉矩與反電動勢是一同優化的，所以優化后的模型同上文,即永磁體半徑Rm=13.5mm，定子內半徑Rs=16mm，槽口半徑Rs1=18.5mm，槽口張開角度β=16°。

圖6中，反電動勢實測波形幅值約為9.2V，解析計算幅值近似為10.2V，誤差為10.9%。有限元計算幅值近似為9.9V,誤差為7.6%。

由于解析模型不能與實際電機完全相同，計算過程中也采用了一些假設，導致反電動勢幅值的解析結果大于實測值，但波動形狀與趨勢和實測波形一致，證明本文的解析模型與方法依然是合理有效的。

設計變量優化后的電機模型反電動勢波形如圖7所示。

圖7 優化后的反電動勢波形

從圖5和圖7中可以看出，優化后的模型在減小了齒槽轉矩的同時,也使得反電動勢波形更加接近正弦波，實現了優化目標，并且實現過程方便快捷，證明本文的這種優化設計是可行和有效的。

5 結 語

本文建立了半閉口槽平行充磁表貼式永磁電機全局解析模型計算電機的氣隙磁場分布。將求得的氣隙磁密、齒槽轉矩和反電動勢解析計算波形分別與二維有限元法計算結果和實驗波形作比較，結果較為一致，證明了本文全局解析模型是合理正確的。在模型正確的條件下，進一步運用遺傳算法優化工具對與電機性能有關的參數進行優化，結果顯示電機的空載性能得到提高，證明了該方法的可行性和有效性。

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