基于小波變換圖像放大原理與實現

季祥 劉哲 高超 王浩鑫 武凱璇

一、圖像小波分解的原理

小波變換是一個強有力的圖像處理工具，令f（x1， x2）

∈L2（R2）表示一個二維信號，x1、x2分別是橫坐標和縱坐標，Ψ（x1， x2）表示二維基本小波，二維連續小波定義：

令Ψa，b1，b2（x1， x2）表示Ψ（x1， x2）的尺度伸縮和二維位移，那么：

（1.1）

則二維連續小波變換為：

（1.2）

式中因子

是為了保證小波伸縮前后其能量不變而引入的歸一因子。

對二維正交小波變換有其快速算法——Mallat算法，它把小波變換的計算問題轉化為小波變換后系數的計算問題：在實際操作中，給出M+1層上的離散采樣值{fM+1（m，n）}數據，要計算M層上的小波變換系數，即分解算法的問題，設H={hn}，G={gn}分別對應分解時的小波低通以及高通濾波器，小波計算分解系數的過程為：

其中，cM（m，n）為M層時的小波系數，當M=0時，f（m，n）也是原始圖像數據，而LLM+1（m，n）是M+1層的圖像數據，是M層的圖像數據cM（m，n）進行小波分解后的低頻分量數據，{LLM+1（m，n）}是{cM（m，n）}的概況，是{cM（m，n）}的縮略表示，與{cM（m，n）}在輪廓上是相似的，而{LHM+1（m，n）}為{cM（m，n）}進行小波分解后在x方向的概貌和在y方向的高頻細節信息，{HLM+1（m，n）}為{cM（m，n）}進行小波分解后在y方向的概貌和在x方向的高頻細節信息，{HHM+1（m，n）}為{cM（m，n）}進行小波分解后在x方向和y方向的高頻細節信息，它表明沿對角線方向的細節信號。

二、圖像小波重構的原理

圖像經過小波分解以后，得到它的低頻以及高頻分量，得到了每個方向上的系數，根據小波分解的第N層的低頻系數和和經過修改的從第1層到第N層的各層高頻系數，來計算二維信號的小波重構。

Hr和Hc分別代表低通濾波器對系數矩陣cM行和列作用的算子，Gr和Gc分別代表高通濾波器對系數矩陣cM行和列作用的算子，則重構算法為：

（1.5）

其中Hr*是Hr的共軛轉置矩陣。

三、圖像小波變換放大的原理

小波變換：它是一種新的變換分析的方法，它不僅繼承短時傅里葉變換局部的思想，還對其進行了發展，與此同時它又克服了窗口大小不隨頻率變化等不足，提供了一個能夠隨頻率改變而改變的窗口。它的主要特點就是能夠通過變換來突出問題在某些方面的特征，能夠完成對時間頻率的局部化分析，通過一系列的伸縮以及平移運算，它能夠完成對信號逐步實現多尺度細化，最終達到高頻處時間細分，低頻處頻率細分，能自動適應時頻信號分析的要求，從而可聚焦到信號的任何細節。例如圖像信號，其核心就是對圖像對應的像素值或者叫做圖像位置的系數進行均值和差異的細節操作，產生新的像素值的平均值和細節系數表示的圖像，這些不同的圖像部分分別表示圖像分解后的低頻分量和高頻分量，如圖3.1所示，對圖像進行一維二進制小波分解得到四個分量，LL1是它的低頻分量，HL1、LH1、HH1是它的水平、垂直、對角高頻分量。也可以對LL1分量進行進一步的分解。由于一個圖像的細節信息主要集中在高頻分量中，常規的實現小波放大的思想就是將分解得到的低頻分量用原圖像替換，得到的三個高頻分量用插值法實現放大[17]將他們的大小放大到和原圖像一樣，然后對四個新的分量進行小波重構。這樣就可以得到一個長和寬都放大四倍的圖像，除此之外我們也可以對原圖像先進行插值法放大然后進行小波分解，將分解得到的高頻分量與原圖像進行小波重構。

四、基于小波變換圖像放大算法設計

1、常規的實現小波放大的方法

（1）選擇小波函數采用dwt2函數對原圖像進行二進制小波分解，得到它的低頻分量以及三個高頻分量即水平、垂直、對角分量。

（2）將分解后的低頻分量用原圖像進行替換，原圖像經過二進制小波分解以后，得到的低頻分量只有原始圖像的四分之一，所以對得到的三個高頻分量用雙線性插值法將圖像的長和寬各放大兩倍，這樣三個高頻分量的大小與原圖像的大小就是一致的。

（3）將這四個分量采用idwt2函數進行小波重構，那么得到的將是長和寬都放大四倍的圖像。

2、本文涉及的實現小波放大的方法

由于本課題研究的主要是插值法以及基于小波變換的方法來實現圖像的放大，因此希望能夠將這兩項方法結合起來進行實現，常規的實現方法是先進行小波分解。然后原圖像替換低頻分量，其他高頻分量放大到與原圖像同樣尺寸后進行重構，先用小波分解然后對高頻分量插值，那么也可以先對圖像進行插值放大，放大得到的圖像進行小波分解后得到的高頻分量的大小與原圖像的大小就是一樣的，此時用原圖替換低頻分量，高頻分量不變，然后再進行重構。（1）使用插值法將原圖像的長和寬各放大兩倍。（2）對放大后的圖像采用dwt2函數進行二進制小波分解，得到它的低頻以及高頻分量。（3）由于第一步已經經過放大，小波分解得到的高頻分量與原圖像的大小是一樣的，將三個高頻分量與原圖像（作為低頻分量）采用idwt2函數進行小波重構，得到放大后的圖像。

五、基于小波變換圖像放大算法仿真分析

在進行仿真實驗時，選取的是分辨率較低的圖片，這樣放大得到的結果與原圖像對比差異會更加明顯，在進行比較時。主觀上還是主要觀察圖像的清晰度，放大圖像和原圖像相比它的細節保留程度。因為常規的實現方法圖像放大后是原圖像的四倍，所以在本次實驗中實現的方法是先采用雙線性插值法將行和列各放大兩倍，這樣得到的兩幅比較的圖片的大小就是一樣大的。