不變量法化簡二次曲面

徐曉利

摘 要：二次曲面的化簡是一項復雜又高難度的工作.本文主要總結了計算簡便易掌握的不變量法，即運用變量和不變量化簡二次曲面的方法，并舉例講解方法.

關鍵詞：二次曲面；化簡；不變量

二次曲面是解析幾何的重點內容，也是高等代數這一模塊中重要的二次型理論的經典應用.我們往往通過化簡其方程，判別二次曲面的類型，并確定其幾何形狀.化簡二次曲面，是二次曲面一般理論中最重要的內容，也是難點所在.坐標變換法（正交變換）是化簡二次曲面方程普遍常用的方法，但是由于相關高等代數理論抽象難懂，計算過程復雜，課堂教學顯得很是困難.在歐式坐標系中，二次曲面存在著許多不變量，總結歸納不變量關系與二次曲面標準方程之間聯系，由此來進行化簡.

1二次曲面

定義1 在三維空間中，用三元二次方程來表示的曲面稱為二次曲面.

設二次曲面的一般方程為：

（1.1）.

二次曲面方程中的常用記號：

將的二次項部分記為，

將的系數排成矩陣 ，叫做二次曲面的矩陣.

.

2不變量法化簡二次曲面

定義2 二次曲面的標準方程：無法再使用平移、旋轉變換進行化簡的方程.即滿足以下三者的方程：

1）方程中不包含交叉項xy，xz，yz；

2）若方程中存在某一坐標的二次項，就不存在這一坐標的一次項；

3）若方程中只存在某一坐標的一次項，且此時其中不存在.

在高等代數課程中，有一個重要理論，稱為二次型理論.二次型理論告訴我們，通過求解矩陣的特征方程，求相應特征根，最后得到唯一的標準形.這也就是我們常常所說的正交變換.二次曲面方程中也有相應的二次型矩陣，從而二次曲面便能用此變換化簡，在這里不加以展開.

在變換中我們發現，二次曲面方程在直角坐標變換后，方程雖然發生了一定變化，但是決定二次曲面的幾何特征的性質卻沒有任何變化，那些不變的性質我們可以采用不變量來刻畫.這種不變量可以用二次曲面方程的系數來表達.我們稱，不因直角坐標變化而發生改變的量為正交不變量.正交不變量在解析幾何研究中十分重要的一項，為二次曲面和二次曲線的化簡有著尤為重要的作用，下面我將證明二次曲面中的不變量.

引理1.是二次曲面的不變量.

即是正交不變量.

推論1.二次曲面的特征方程和特征根在任意直角坐標變換下都不變.

引理2.和在轉軸變換下不變，稱為半不變量.

引理3.給定二次曲面方程

（1）當時，是不變量；

（2）當時，是不變量.

任意一個二次曲面方程在選取適當的直角坐標變化后可以被分為5大類別，表示為化簡的五個方程之一，下面我們利用二次曲面在轉軸變化下的不變量與半不變量對二次曲面進行化簡.

定理1.不變量得簡化方程：

（1）當時，簡化方程為；

（2）當時，簡化方程為；

（3）當時，簡化方程為；

（4）當時，簡化方程為

；

（5）當時，簡化方程為.

其中表示非零特征根.

證明：從略.

例1：化簡下面二次曲面方程，并判斷出它為何種二次曲面.

解：二次曲面的矩陣 ，

分別計算不變量，得 ，，，

.

特征方程為，

特征根為：，，.又由，

所以二次曲面的簡化方程為：，該曲面為橢圓柱面.

例2：化簡二次曲面方程.

解：二次曲面的矩陣 ，

分別計算不變量，得 ，，，

由故二次曲面為中心二次曲面，

特征方程為，特征根為：，，又

所以二次曲面的簡化方程為：，這是一個旋轉雙葉雙曲面.

不變量法化簡二次曲面方程與二次曲線方程的化簡非常相似，其實本質也就是將二維空間的一般討論推廣到三維空間.利用不變量，我們可以簡捷地判別所給二次曲面方程屬于何種類型，寫出其簡化方程，并判別它的形狀，計算簡便，易于掌握.

參考文獻

[1]李養成.空間解析幾何（新版）.北京：科學出版社，2007.

[2]呂子根，許子道.解析幾何（第四版）.北京：高等教育出版社，2006.

（作者單位：武警警官學院）