例談“函數(shù)y=Asin（ωx+φ）圖象變換與性質(zhì)”內(nèi)容易錯(cuò)點(diǎn)

吳小麗 湯強(qiáng)

三角函數(shù)具有特殊的函數(shù)圖象與性質(zhì)，函數(shù)[y=Asin（ωx+φ）]的圖象變換主要有振幅變換、周期變換和相位變換。而對(duì)于周期變換和相位變換調(diào)整先后順序后的平移量，學(xué)生往往不能正確掌握，亦不能根據(jù)函數(shù)圖象確定三角函數(shù)的解析式，本文將用實(shí)例對(duì)這兩方面易錯(cuò)點(diǎn)進(jìn)行剖析。

1函數(shù)[y=Asin（ωx+φ）]的圖象變換中的易錯(cuò)點(diǎn)分析

例1：要得到函數(shù)[y=2sin（2x+π4）]的圖象，只需將[y=sinx]的圖象經(jīng)過(guò)怎樣的變換？

1.1錯(cuò)解

[y=sinx橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍，縱坐標(biāo)不變y=sin2x向左平移π4個(gè)單位長(zhǎng)度y=sin（2x+π4）縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍y=2sin（2x+π4）。]

1.2易錯(cuò)分析

1.2.1一些學(xué)生不能理解為什么“由[y=sinx]→[y]=sin[ωx]（[ω]>0）”的周期變換是將橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的[1ω]倍，而不是[ω]倍。正如此題中錯(cuò)認(rèn)為將[y=sinx]的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍就是[y=sin2x]，比較兩個(gè)函數(shù)圖象，經(jīng)過(guò)周期變換之后點(diǎn)（[π]，0），（[π]，0）變?yōu)榱它c(diǎn)（[π2]，0），點(diǎn)（[2π]，0）變?yōu)榱耍╗π]，0），所以是橫坐標(biāo)變?yōu)榱嗽瓉?lái)的[12]倍，縱坐標(biāo)不變。

1.2.2很多學(xué)生沒(méi)有理解相位變換的實(shí)質(zhì)，因此容易出現(xiàn)此題中的錯(cuò)誤“[y=sin2x向左平移π4個(gè)單位長(zhǎng)度y=sin（2x+π4）]”，左右平移是相對(duì)于[x]來(lái)說(shuō)的，而不是[ωx]，所以應(yīng)該是向左平移[π8]個(gè)單位長(zhǎng)度才得到[y=2sin2x+8=sin（2x+π4）]，通過(guò)五點(diǎn)作圖法可以驗(yàn)證。若是先相位變換，即向左平移[π4]個(gè)單位長(zhǎng)度得到[y=sin（x+π4）]，再周期變換，即橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的[12]倍得到[fx=sin（2x+π2）]。

1.3學(xué)習(xí)建議

周期變換和相位變換順序不同時(shí)，平移量是不同的，但都是對(duì)于同一變量[x]而言的。

1.3.1先周期變換后相位變換：[y=sinx]的圖象將橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的[1ω]倍即得[y=sinωx]，再向左（右）平移[φω]個(gè)單位長(zhǎng)度得到[y=sin（ωx+φ）]。

1.3.2先相位變換后周期變換：[y=sinx]的圖象向左（右）平移[φ]個(gè)單位長(zhǎng)度得[y=sin（x+φ）]，再將橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的[1ω]倍即可得到[y=sin（ωx+φ）]的圖象。

2根據(jù)圖象確定三角函數(shù)解析式中的易錯(cuò)點(diǎn)

例2：函數(shù)[fx=Asin（ωx+φ）（A>0，ω>0，-π<φ<π）]的部分圖象如圖所示，求其解析式。

2.1錯(cuò)解1

由圖知，A=2，[T=2πω=7π8-π8=π]，所以[ω=2]，即[fx=2sin2x+φ]，又函數(shù)[fx]過(guò)點(diǎn)[3π8，0]，所以[2sin3π4+φ=0]，即[3π4+φ=kπ]，所以[φ=kπ-3π4k∈Z]，所以[φ=-3π4]或[φ=π4]，故[fx=2sin2x-3π4]或[fx=2sin2x+π4]。

2.2錯(cuò)解2

再求得A=2，[ω=2]之后，圖象可以看作是[fx=2sin2x]向左平移[π8]個(gè)單位長(zhǎng)度，所以所求解析式為[fx=2sin2x+π8]。

2.3易錯(cuò)分析

多數(shù)學(xué)生都能正確確定A、T、[ω]的值，但在確定[φ]的值時(shí)經(jīng)常出現(xiàn)問(wèn)題，沒(méi)能分清代入的點(diǎn)是“五點(diǎn)”中的哪一個(gè)位置點(diǎn)，尤其是“零點(diǎn)”。正如本題中代入的點(diǎn)[3π8，0]是減區(qū)間上的零點(diǎn)，所以應(yīng)該是[3π4+φ=2kπ+π]，從而只有[φ=π4]。另外一種利用平移變換時(shí)，是對(duì)于變量[x]而言的，而不是對(duì)于[2x]。

2.4學(xué)習(xí)建議

對(duì)于根據(jù)圖象求三角函數(shù)解析式的問(wèn)題，通常是根據(jù)圖象的頂點(diǎn)來(lái)確定A的值，由周期來(lái)確定[ω]的值。關(guān)鍵是求[φ]的值，一定要分清代入的點(diǎn)對(duì)應(yīng)“五點(diǎn)”中的哪一個(gè)位置點(diǎn)，若選擇的是零點(diǎn)，則要注意是增區(qū)間還是減區(qū)間的零點(diǎn)，增區(qū)間的零點(diǎn)則有[ωx+φ=2kπ]，減區(qū)間的零點(diǎn)則有[ωx+φ=2kπ+π]。若已知最高點(diǎn)或最低點(diǎn)，則選擇這些非零點(diǎn)代入求解便可以避免多解的情況。

通過(guò)以上問(wèn)題的剖析可以發(fā)現(xiàn)，學(xué)生之所以出現(xiàn)這些錯(cuò)誤的根本原因在于沒(méi)有理解函數(shù)[fx=Asin（ωx+φ）]的圖象變換的本質(zhì)，沒(méi)有掌握三角函數(shù)的基本性質(zhì)。在教學(xué)過(guò)程中，教師可以借助幾何畫(huà)板來(lái)動(dòng)態(tài)演示三角函數(shù)圖象的變換過(guò)程，讓學(xué)生可以形象的感受不同的變換順序所需要的平移量的變化。通過(guò)“五點(diǎn)作圖法”體會(huì)圖象不同變換的本質(zhì)，同時(shí)加強(qiáng)概念、性質(zhì)的教學(xué)，讓學(xué)生理解不管是周期變換還是相位變換都是對(duì)于一個(gè)變量[x]而言的，進(jìn)而使學(xué)生能夠有更清晰的解題思路。

參考文獻(xiàn)

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作者簡(jiǎn)介

吳小麗（1994.01—），女，漢族，籍貫：四川成都，學(xué)科教學(xué)（數(shù)學(xué)），單位：西華師范大學(xué)；郵編：637000。