半立方拋物線形斷面收縮水深簡化計算

沈 剛 ，彭 凱 ，王 潔 ，沈 洲 ，孫少江

（1．溧陽市水利局，江蘇 溧陽 213300；2．揚州大學 水利與能源動力工程學院，江蘇 揚州 225009；3．廣東省水文局江門水文分局，廣東 江門 529030）

明渠特征水深計算在水利工程設計中，由于拋物線類斷面明渠的水力學特性較優，且斷面穩定性好，在渠道工程中得到較為廣泛的運用［1-2］。趙延風［3］和滕凱［4］等分別提出了一套可適用于各類拋物線形斷面收縮水深的計算公式，趙延風的公式形式復雜，且需要通過迭代法提高計算精度，而滕凱的公式須查表確定參數，兩者的計算過程均不夠簡便；代述兵等［5］提出的初值公式精度較低，運用迭代計算可提高精度，但增加了計算的復雜程度；陳誠等［6］將牛頓迭代法算法引入立方拋物線形斷面收縮水深的計算，迭代計算收斂速度快但公式形式略顯復雜不便于記憶；陳誠等［7-8］首次提出高次方程求解的迭代逼近—逐次優化擬合方法，并先后將其應用于立方和半立方拋物線形斷面收縮水深的計算，其計算精度較高但公式略顯復雜，本文借鑒該方法擬建立一套精度高且形式簡捷的直接計算公式，便于工程設計人員直接應用。

1 無量綱收縮水深基本方程

半立方拋物線形斷面曲線方程：

式中 a為半立方拋物線形斷面的形狀參數（m-1/2）。

收縮水深的基本方程為

式中 E0為以收縮斷面底部為基準面的過水建筑物上游總水頭（m）；hc為收縮斷面處的水深（m）；Q為過水流量（m3/s）；g為重力加速度，通常取9.81（m/s2）；φ為流速系數，一般取0.80～1.00；Ac為收縮斷面處的過水斷面面積（m2）。

引入無量綱收縮水深x和無量綱參數k，即：

由式（1）～（4）可得半立方拋物線形斷面無量綱收縮水深x的基本方程：

式（5）為x的高次方程，實際工程中可通過已知參數根據式（4）求得k值，但無法由式（5）直接解得x。

2 無量綱收縮水深簡化計算公式

對式（5）進行簡單的數學變換，得到迭代公式：

設迭代初值為x0，兼顧公式的精確性和簡捷性，將其帶入式（6）連續迭代3次，得：

式中x∈［0.01，0.50］［3-4］，經過反復試算與分析比較，發現當迭代初值x0取0.25時，得：

此時計算公式精度較高，且形式較為簡捷。

3 誤差分析與精度評價

3.1 誤差分析

為驗證式（8）的精確性，在［0.01，0.50］區間內以一定步長選取不同的x*，以此作為無量綱收縮水深的精確值，將其代入式（5）得k值，并將k作為已知參數代入式（8），可求得無量綱收縮水深的近似值x，及相對誤差，可知hc與x的相對誤差相同，計算結果如表1。

表1 新建公式相對誤差

計算結果表明，在工程適用范圍內，式（8）的相對誤差呈先上升后下降的趨勢，其最大相對誤差絕對值僅為0.296%。 當x∈［0.01，0.4661］時，相對誤差為正值，最大誤差值為0.296%；當x∈（0.4661，0.50］時，相對誤差為負值，最大誤差值為-0.244%。

3.2 精度評價

表2為在x∈［0.01，0.50］工程適用范圍內，由近年來提出的各種半立方拋物線形斷面收縮水深直接計算方法求得的最大相對誤差及評價。各式中n為斷面方程冪函數的指數，對于半立方拋物線形斷面n=3/2；B，γ分別為與n有關的系數。結果顯示，當x∈［0.01，0.50］時，現有各類迭代初值計算公式最大相對誤差絕對值從0.583%至5.439%不等，均須通過迭代計算提高精度，且公式形式較為復雜；而本文公式的最大相對誤差絕對值僅0.296%，且形式簡捷。所提出的直接計算公式不需要借助于迭代過程提高計算精度，通過較小計算量即可較精確地計算出半立方拋物線形斷面的收縮水深，在工程實際計算中具有較為顯著的優越性，可供工程設計人員參考使用。

4 應用舉例

已知某閘前斷面總水頭E0=5m，通過渠道的流量Q=32m3，流速系數φ=0.95。若采用半立方拋物線形斷面渠道，其斷面曲線的方程為y=0.2|x|3/2，求閘后斷面收縮水深hc的值（保留至10-3m）。

表2 現有計算公式的相對誤差

4.1 參數k

將已知參數代入式（4），得k=5.0946。

4.2 收縮水深近似值x

將k值代入式（8）得，x=0.2112。

4.3 收縮水深hc

將x值代入式（3），計算收縮水深hc=1.056m。

通過試算法或計算機編程求得本算例收縮水深的精確值1.054m，故由本文公式算得收縮水深值的相對誤差僅0.190%，精度完全滿足工程實際應用要求。

5 結語

（1）借鑒高次方程近似求解的迭代逼近—逐次優化擬合方法，建立了一套新的半立方拋物線形斷面收縮水深直接計算公式，形式簡捷便于記憶。

（2）誤差分析結果表明，在工程適用范圍內該公式的相對誤差介于-0.244%～0.296%之間，精度較高能夠滿足工程實際應用的需要。

參考文獻：

［1］張偉，何武全．基于粒子群算法的拋物線形渠道斷面優化方法［J］．灌溉排水學報，2017，36（4）：94-98．

［2］韓延成，徐征和，高學平，等．二分之五次方拋物線形明渠設計及提高水力特性效果［J］．農業工程學報，2017，33（4）：131-136．

［3］趙延風，王正中，劉計良．拋物線類渠道斷面收縮水深的計算通式［J］．水力發電學報，2013，32（1）：126-131．

［4］滕凱．拋物線形斷面渠道收縮水深簡化計算通式［J］．水利水電科技進展，2014，34（3）：61-64．

［5］代述兵，劉韓生，卞曉衛，等．三種拋物線形斷面收縮水深的直接計算公式［J］．長江科學院院報，2015，32（9）：90-93．

［6］陳誠，金城，趙程程，等．立方拋物線形斷面收縮水深的牛頓迭代公式［J］．水科學與工程技術，2017（4）：1-2．

［7］陳誠，龔懿，王潔，等．立方拋物線形斷面收縮水深的直接計算研究［J］．中國農村水利水電，2017（2）：173-175，181．

［8］陳誠，龔懿，沈剛，等．迭代逼近逐次優化擬合方法在水力計算中的應用研究［J］．水利水電技術，2017，48（6）：75-79．