電容式傳感器測量用二極管雙T型交流電橋的分析

黃 帥，黃 偉，陳 琳，張雙銀，杜和萍

（ 1.銅仁學(xué)院 大數(shù)據(jù)學(xué)院，貴州 銅仁 554300；2.銅仁學(xué)院 材料與化學(xué)工程學(xué)院，貴州 銅仁 554300）

0．引言

電容式傳感器是將非電量的變化轉(zhuǎn)換為電容量的變化，從而實(shí)現(xiàn)對非電量的測量[1]。對電容量變化的測量是通過合適的調(diào)理電路將其轉(zhuǎn)化為與其成正比的電壓、電流或頻率進(jìn)行的[2]，相應(yīng)的調(diào)理電路有調(diào)頻電路、運(yùn)算放大器、變壓器式交流電橋、二極管雙T型交流電橋、脈沖寬度調(diào)制電路等[3-6]。二極管雙T型交流電橋的優(yōu)點(diǎn)是電路簡單，無需相敏檢波和整流電路，便可得到較高的直流輸出電壓。在“傳感器原理及實(shí)驗(yàn)”課程所用的教材中僅給出了二極管雙T型交流電橋輸出電壓的近似結(jié)果，教學(xué)中會(huì)讓學(xué)生對此產(chǎn)生突兀和困惑。因此對該結(jié)果的來歷的詳細(xì)分析是很有必要的，是對教學(xué)內(nèi)容的補(bǔ)充和完善。同時(shí)，后續(xù)相關(guān)科研項(xiàng)目的開展將采用二極管雙T型交流電橋?qū)﹄娙葸M(jìn)行測量。為保證相關(guān)系統(tǒng)的準(zhǔn)確性和可靠性，對二極管雙T型交流電橋輸出電壓的詳細(xì)推導(dǎo)和影響因素分析也是非常有必要的。本文將從電路基本原理和分析方法出發(fā)，詳細(xì)推導(dǎo)二極管雙T型交流電橋的輸出電壓，并分析相關(guān)電路參數(shù)對輸出電壓的影響。

1．理論分析

二極管雙T型交流電橋的電路由二極管VD1、VD2、電容C1、C2、電阻R1、R2、負(fù)載RL，以及周期方波信號u構(gòu)成，如圖1（a）所示。方波信號u的周期為T，最大值和最小值分別為+U和-U，如圖1（b）所示。在u的正半周期，二極管VD2導(dǎo)通，VD1截止，忽略二極管上的壓降，等效電路如圖1（c）所示；由于充電電阻很小，對電容C2的充電很快就完成，因此等效電路又可簡化為圖1e）所示電路，其中電容C1的初始電壓UC1_0（在圖示參考方向下，其值為-U）可由負(fù)半周的等效電路分析得到。同理，在u的負(fù)半周期，二極管VD1導(dǎo)通，VD2截止，等效電路如圖1（d）所示；等效電路又可簡化為圖（1f）所示電路，在圖示參考方向下電容C2的初始電壓UC2_0=-U，可由正半周的等效電路分析得到。

對圖1e）應(yīng)用網(wǎng)孔電流法[7]，可得電路方程組如式（1）～式（3）所示。

附加電容C1的初始條件如式（4）所示。

聯(lián)立式（1）-（4）式，即可求出電路的解。

由式（1）可得出I12，如式（5）所示。

將式（5）代入式（2）得出I11，如式（6）所示。

將式（3）代入式（6）得到關(guān)于UC1的微分方程，如式（7）所示。

則式（7）化簡為式（7′）。

求解式（7′）得出UC1，如式（8）所示。

式（8）中A、B為待定常數(shù)。分析圖1e）的電路可知，當(dāng)時(shí)間t→∞，電容C1兩端的電壓與電阻RL兩端的電壓URL_∞相等，而URL_∞又等于電阻R2與RL串聯(lián)回路在RL上的分壓，如式（9）所示。

將電容的初始條件式（4）代入式（8），并利用B=1，得出系數(shù)A，如式（10）所示。

則UC1可表示為式（11）所示。

將式（11）代入式（3）可得電流I11，如式（12）所示。

利用式（5）及式（12），在正半周期電阻RL兩端的電壓可表示為式（13）所示。對式（13）在正半周期內(nèi)積分，可得RL兩端的平均壓降，如式（14）所示。

同理，對圖1f）應(yīng)用網(wǎng)孔電流法，附加電容C2的初始條件，可得電路方程組，如（15）-（18）式所示。

聯(lián)立式（15）～式（18）可求得在負(fù)半周期電阻RL兩端的電壓，如式（19）所示：

圖1 二極管雙T型交流電橋 (a)電路構(gòu)成，(b)周期信號，(c)信號正半周期等效電路，(d)信號負(fù)半周期等效電路，(e)信號正半周期簡化電路，(f)信號負(fù)半周期簡化電路Fig.1 Diode-double-T-type alternating current bridge

由式（14）和式（20）可得在一個(gè)信號周期內(nèi)電阻RL兩端的平均電壓，如式（21）所示。

2．電路參數(shù)對輸出電壓的影響

在式（21）第一項(xiàng)中對負(fù)載RL求導(dǎo)數(shù)，并令其等于零，可得RL=R1時(shí)，該項(xiàng)絕對值取最大值（因其對RL的二階導(dǎo)數(shù)小于零）為因此，為減小與待測電容無關(guān)的輸出項(xiàng)，應(yīng)盡可能的使R2=R1，工程應(yīng)用時(shí)R2、R1應(yīng)選用同一廠家同一批次的產(chǎn)品，或在R2或R1的支路上串聯(lián)一個(gè)可變電阻來調(diào)節(jié)實(shí)現(xiàn)。如若不能實(shí)現(xiàn)R2=R1，則應(yīng)選擇R2、R1使其遠(yuǎn)離RL。

式（21）中第二項(xiàng)與各電路參數(shù)的關(guān)系較為復(fù)雜，后續(xù)討論將基于前面的結(jié)論作簡化分析。考慮n=1，則式（21）可簡化為式（22），時(shí)間常數(shù)則簡化為式（23）。

當(dāng)信號周期遠(yuǎn)大于電容充放電的時(shí)間常數(shù)，即T?τ1,τ2時(shí)，，，則在整個(gè)信號周期內(nèi)電阻RL兩端的平均電壓如式（24）所示，這正是教材中給出的近似結(jié)果，它與兩個(gè)電容的差值成線性關(guān)系。

式（24）中f=1/T，為周期信號的頻率。式（24）對R1、RL的導(dǎo)數(shù)均大于零，二階導(dǎo)數(shù)均小于零，即是說電阻RL兩端的平均電壓隨電阻R1、RL的增大而增大，但增大的速率減小。同時(shí)其隨信號頻率的增大而增大，即要求周期越小越好。但R1、RL的增大會(huì)導(dǎo)致τ1、τ2增大，使Tτ1,τ2不滿足，式（24）就不成立。在式（23）中，RL趨近于0時(shí)，τ1=R1C1、τ2=R1C2；RL趨近于∞時(shí)，τ1=2R1C1、τ2=2R1C2。因此，時(shí)間常數(shù)主要取決于R1與C1或C2的乘積，RL對其影響不大。

則在整個(gè)信號周期內(nèi)電阻RL兩端的平均電壓如式（25）所示，結(jié)果為零。其原因?yàn)槊}沖電壓源的頻率過高，電容電壓來不及變化，電容上儲(chǔ)存的電荷就不能通過電阻RL釋放，導(dǎo)致電阻RL兩端的平均電壓與電容值無關(guān)。

綜上所述，脈沖電壓源的頻率過低，電阻RL兩端的平均電壓很小；頻率過高，電阻RL兩端的平均電壓為零。在實(shí)際工程應(yīng)用時(shí)，應(yīng)根據(jù)被測電容的大小，選擇合適的電阻R1，在保證激勵(lì)信號的周期遠(yuǎn)大于時(shí)間常數(shù)τ1、τ2的條件下，盡可能地的提高信號頻率，可獲得更大的輸出電壓。

3．結(jié)論

從基本的電路理論和分析方法對二極管雙T型交流電橋輸出電壓作了詳細(xì)的推導(dǎo)，是對“傳感器原理及實(shí)驗(yàn)”課程中有關(guān)二極管雙T型交流電橋部分的內(nèi)容的補(bǔ)充和完善，能讓學(xué)生透徹的理解近似結(jié)果的來歷。同時(shí)，詳細(xì)分析了相關(guān)電路參數(shù)對輸入電壓的影響，為后續(xù)相關(guān)項(xiàng)目的開展過程中采用二極管雙T型交流電橋?qū)﹄娙葸M(jìn)行測量的電路設(shè)計(jì)提供了技術(shù)參考。為保證調(diào)理電路獲得盡可能大的輸出電壓，設(shè)計(jì)時(shí)應(yīng)根據(jù)被測電容的大小，選擇合適的電阻R1，在保證激勵(lì)信號的周期遠(yuǎn)大于時(shí)間常數(shù)τ1、τ2的條件下，盡可能提高信號頻率。

參考文獻(xiàn)：

[1]胡向東．傳感器與檢測技術(shù)[M]．北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2013：75．

[2]佘生能，孫士平．電容傳感器新型電容測量電路設(shè)計(jì)[J]．中國測試技術(shù)，2005，31（5）：42-43．

[3]趙樹忠，安曉星．平板電容式液體介電常數(shù)測試系統(tǒng)[J]．山東工業(yè)技術(shù)，2016（1）：178-179．

[4]邵學(xué)濤，李新娥．振蕩式微小電容測量電路[J]．電子測試，2011（1）：50-53．

[5]黃雨濛，戚昊琛，胡智文，等．MEMS電容式壓力傳感器檢測電路比較研究[J]．電子科技，2015，28（1）：186-189．

[6]孫杰．電容式加速度傳感器檢測電路的設(shè)計(jì)與研究[D]．上海：復(fù)旦大學(xué)，2013：32-42．

[7]王雷，王保良，冀海峰，等．電容傳感器新型微弱電容測量電路[J]．傳感技術(shù)學(xué)報(bào)，2002（4）：273-277．

[8]李瀚蓀．電路分析基礎(chǔ)（上冊）[M]．北京：高等教育出版社，2006：62-68．