一類具有Beddington-DeAngelis功能性反應的時滯捕食系統

魏蘇林，沈 月，謝偉杰，涂登琴，張子振

（ 安徽財經大學 管理科學與工程學院，安徽 蚌埠 233030）

0．引言

時滯在種群動力學中是一種普遍存在的現象。近年來，很多國內外學者對時滯種群動力系統穩定性[1-3]、持久性[4]、以及周期混沌現象[5-7]進行了大量研究。種群動力系統的動力學行為在很大程度上取決于系統中功能性反應函數。Beddington[8]和DeAngelis等人[9]提出Beddington-DeAngelis類功能性反應函數，此類功能性反應函數考慮到了捕食者種群內部之間的相互干擾，表現出了更加復雜的動力學行為。因此，具有Beddington-DeAngelis類功能性反應的時滯捕食系統模型的研究受到廣泛關注。文獻[10]提出并研究了如下同時具有Beddington-DeAngelis類和修正的Leslie-Gower類功能性反應的時滯捕食系統：

其中，x( t)和y( t)分別表示食餌種群和捕食者種群在時刻t的數量。r表示食餌種群的內稟增長率，K表示食餌種群的環境容納量；a表示捕食者種群對食餌種群的捕食能力系數；D和d表示環境對食餌種群的保護能力系數；c表示捕食者種群的增長率；b表示捕食者種群的最大平均死亡率；D1表示由于所偏愛食餌的缺乏而導致捕食者種群數量的減少率；τ表示捕食者種群的妊娠時滯。文獻[10]研究了時滯τ對系統(1)穩定性的影響。受文獻[10]啟發，并考慮到食餌種群的消極負反饋時滯，本文研究具有消極負反饋的時滯捕食系統：

其中τ表示食餌種群的消極負反饋時滯。下面研究食餌種群的消極負反饋時滯τ對系統(2)穩定性的影響。

1．Hopf分岔的存在性

根據文獻[10]的分析可知，如果 b＞cD1，a＞r并

如果系統(2)的系數給定，則可以利用Matlab軟件求解出方程(7)的所有根。因此，為了給出本文主要結果，我們給出下列假設

(H1)：方程(7)至少存在一個正根。

若條件(H1)滿足，則存在ω0＞0使得方程(4)具有一對純虛根±ω0。對于ω0，根據方程(6)可以得到

對方程(4)左右兩邊同時求λ關于τ的導數，有

因此，

根據文獻[11]中的結論，如果 h'( v0) ≠ 0，則系統(2)產生Hopf分支的橫截性條件成立。于是，由[11]中的Hopf分支存在性定理可得下列結論。

2．仿真示例

為了驗證以上所得理論結果的正確性，我們選取文獻[10]中相同的參數：r=1，K=100，a=1，D= 1，d=0.01，c=0.01，b=0.2，D1=10.給出下列仿真示例：

借助于Matlab軟件，經過直接計算得到示例系統(11)的 唯 一 正 平 衡 點 E*(10,9.9).進 而 得 到ω0= 1.2081，τ0= 10.0517.根據本文所得理論結果可知，當食餌種群的消極負反饋時滯τ∈ (0,τ0= 10.0517)時，示例系統(11)的唯一正平衡點E*(10,9.9)是局部漸近穩定的。仿真效果如圖1-2所示。一旦食餌種群的消極負反饋時滯τ的取值超越時滯臨界點τ0= 10.0517，那么正平衡點 E*(10,9.9)將失去穩定性，并在τ0= 10.0517附近產生局部Hopf分支和一簇分支周期解。仿真效果如圖3-4所示。

圖1 τ=8.65＜ τ0時， E* (10,9.9)局部漸近穩定

圖2 τ=8.65＜ τ0時， x( t) -y( t)相圖

圖3 τ=11.21＞ τ0時， x( t) -y( t)相圖

圖4 τ=11.21＞τ0，E* (10,9.9)失去穩定并產生Hopf分支

3．小結

本文在文獻[10]的工作啟發下，提出了一類同時具有Beddington-DeAngelis類和修正的Leslie-Gower類功能性反應的時滯捕食系統模型。主要研究了系統中食餌種群的消極負反饋時滯對系統穩定性的影響。研究表明，當系統中食餌種群的消極負反饋時滯足夠小時，即 τ∈ [0,τ0)時，系統處于一種理想的穩定狀態；而一旦時滯的取值超越了臨界點τ0，則系統將失去理想的穩定狀態，在一定的條件下，食餌種群和捕食者種群將以周期震蕩形式共存。文獻[10]只考慮了系統中捕食者種群的妊娠時滯對系統穩定性的影響，本文繼續考慮了系統中食餌種群的消極負反饋時滯對其穩定性的影響，因此本文所得結果是對文獻[10]工作的一點補充。

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