耦合哈密頓系統的時間序列分析

摘要： 在研究許多物理模型問題中，人們對系統的具體結構知之甚少，甚至往往不知道其動力學規律，而只是測得與系統性質有關的某一變量隨時間變化的數據，這就是所謂時間序列或信號。這被測得的變量可以是系統的狀態變量之一，如細胞膜的內外電位差或振動系統沿某一方向的位移，但也可能并不是系統的狀態變量而是與系統狀態有關的某一變量，如醫院里對人從體表測得的脈搏、心電圖、腦電圖、胃電圖、心音和肺音都是如此。在這種情況下，如何由這種時間序列確定系統的運動性質和特征呢？人們用相空間重構和功率譜的方法來對系統的性質和特征進行分析判斷。本文章用這兩種方法對傾斜磁場下雙勢阱中粒子的運動模型做了進一步的分析。

Abstract： In many physical model of the problem， people know little about the specific structure of the system， often do not even know the dynamic rules， but only one related to the nature of the system variables can be measured data changes over time， this is called time series or signal. This is measured variables can is one of the state variables of the system， such as inside and outside of the cell membrane potential difference along a certain direction of displacement or vibration system， but also may not be the state of the system but one related to the system state variables， such as the hospital from the surface to the person pulse， ecg， eeg， electrogastrogram， heart and lung sounds. In this case， how to determine the nature and characteristics of the system by this time series？ The properties and characteristics of the system are analyzed and judged by means of phase space reconstruction and power spectrum. In this paper， the motion model of the particle in the two potential well in the tilted magnetic field is further analyzed.

關鍵詞： 時間序列分析；相空間重構；功率譜

Key words： time series analysis；phase space reconstruction；power spectrum

中圖分類號：O4-0 文獻標識碼：A 文章編號：1006-4311（2018）14-0274-04

1 研究背景

目前已有較多的混沌研究方法，但許多方法對于一些內部結構不清楚或不易構造其數學模型的系統來說，都束手無策。惟有相空間重構法可由系統中測出某一單變量的時間序列，并用時間延遲技術重構原系統的動力學特征，從而極大地提高了用物理實驗理解復雜系統的能力，而且它具有技術上的簡便性和數據的可獲取性[1]。雖然許多研究人員可以肯定混沌吸引子是某些隨機運動的根本原因，但他們更希望能從實驗數據中明確證明簡單混沌吸引子的存在，即如何看得見它。然而通常的試驗并不能記錄一個系統的所有方面，而僅僅是其中的少數方面，一般只能得到一維的標量信號，人們遇到的首要任務是如何根據有限的數據“重構”吸引子。Takens指出，系統中任一分量的演化都是由與之相互作用著的其他分量所決定的。因此，這些相關分量的信息就隱含在任一分量的發展過程之中。Packard等人提出的時間延遲思想，能重構出觀測到的動力學系統的相空間，這對于不能直接測量深層的自變量而僅僅知道一組單變量時間序列的研究人員來說，也有了研究系統的動力行為的可能。假設在某動力系統中，唯一可觀察到的是單變量時間序列x（t），為了研究這個時間序列的動力模型，可以重構相空間。這個時間序列過去的性態含有現在狀態的信息，這個信息可以表示為維數為m的時延向量：

2 相空間重構

相空間重構可把具有混沌特性的時間序列重建為一種低階非線性動力學系統，它是非線性時間序列分析的重要步驟。重構的質量直接影響到模型的建立和預測，延遲時間T和嵌入維數m的選擇是相空間重構的兩個重要參數。對所研究系統我們選擇角度等于65度，參數a=c=1，同樣選取初始條件p1=0.5，p2=1.2，q1=1.2，q2=0.5來重構它的相空間。從方程中得到一時間序列q2，其中q2的波形和原相圖如圖1 所示。由圖1中（a）可以看出，它是一個具有隨機性的非周期信號。該系統的狀態空間相圖如圖1（b）所示，從狀態空間相圖可看出此方程的解屬于混沌狀態。選取p從3到450分別作為重構時延進行二維相空間重構，畫出部分相圖如圖2所示。由圖2可以看出，當p取96時與原相圖具有良好的逼近性。把原相圖與重構圖做比較（圖3），我們得知盡管重構變換使得運動相圖形狀、大小發生了變化，但運動相圖許多根本的動力特性并沒有改變，仍然是混沌的。

3 功率譜分析

用功率譜的方法對時間序列進行分析，判斷粒子的運動狀態隨耦合系數改變所做的變化，并與龐加萊截面法的判斷結果比較。對一個變量x的分析[3]，首先自然是直接觀察其x-t曲線的表現。如果此曲線是規則地周而復始，則系統的運動是周期的：周期的具有一個相等的極大（或極?。┲禃r，則系統是做一周期（1P）運動（基頻振蕩）；周期地有兩個不同的極大（或極?。┲禃r，則系統是做二周期（2P）運動（分頻）……。但是如果x-t曲線是雜亂無章或非周期性的，則系統的運動既可能是混沌，也可能是噪聲，還可能是準周期運動或有噪聲作本底的規則運動。因此，如果x-t曲線是非周期時，我們便無法簡單地由此曲線確定系統運動的性質。譜分析一直是分析振動的一種很有效的方法，根據傅立葉定理，任何一個周期為T的周期運動x（t）都可以展開成傅立葉級數：

所以功率譜的分析對于時間序列來說，通常作為研究混沌運動的一種簡便有效的工具，系統運動的非周期性可以通過時間序列的功率譜表現出來。這里我們選擇q2分量來驗證，如圖3所示，對應于不同角度所做的功率譜圖。橫坐標為頻率f，縱坐標為頻譜F（）。無耦合（角度為0時），各個振子在做相互獨立的運動，系統是可積的，運動是規則的，兩個振子的振幅隨時間變化也是圍繞0點周期振蕩的，其功率譜就會展示無噪聲背景的（如右列圖a），在x方向上，粒子以一個頻率？棕作簡諧振動；x方向的振動在驅動頻率？棕處有一較強的功率譜線。一定耦合系數存在時（傾角為4.85度），一個振子的運動受另一個振子的影響，振動而變得不再規則，兩個振子的振幅隨時間變化均為不規則的。此時運動是非周期的，其功率譜展示了連續的寬帶特征，如圖右列（圖b-c），該譜在低頻段有明顯離散的峰，在？棕處產生了較寬的連續的頻率響應，所以粒子的運動不再是規則的，出現了一定的擴散，粒子趨向混沌運動；同時，x方向的功率譜的頻率數量大大增加。這種非線性還破壞了系統哈密頓量的周期性。這個噪聲狀的功率譜是混沌系統的本質特征。圖d在附近有兩個較強的功率譜線，同時存在著另外幾個較弱的功率譜線，這表明此時粒子的運動是準周期的。

通過上述功率譜的分析，我們可以判斷出粒子運動行為隨著耦合系數的改變所作的變化。隨著傾角的增大，粒子在阱中的運動狀態轉換為規則—不規則—規則。所得結果與用龐加萊截面方法[1]的判斷結果一致，這說明了我們所做出的判斷是正確的。功率譜分析方法的優點是只要測出系統中某一個時間序列，而不必測得系統的原模型，就可對它就進行分析判斷。

4 總結

綜上所述，相空間重構和功率譜分析方法都是利用測得的時間序列來分析系統的運動特征[4]。這兩種方法都是利用時間序列對系統進行了分析，分析結果與原系統的性質和特征相符合。由此得出結論：當只測得系統中某時間序列時，我們就可根據它來分析判斷出原系統的基本特征。這對于不能直接測量深層的自變量而僅僅知道一組單變量時間序列的系統來說，也有了研究系統動力學行為的可能。

參考文獻：

[1]程崇慶，孫義燧.哈密頓系統中的有序和無序運動[M].上海科技教育出版社，1996.

[2]趙紅菊.傾斜磁場下雙勢阱中粒子運動[J].內燃機與配件，2017（1）：112-114.

[3]J. Q. Liang， J. Burzlaff， H. J. W. Muller Kirsten， Phys. Rev. D. 46 （1992） 4685.

[4]劉秉正.非線性動力學與混沌基礎[M].東北師范大學出版社，1994.