推理與證明測試題（A卷）答案與提示

一、選擇題

1.D 2.D 3.C 4.C 5.D 6.D 7.C 8.A 9.A 10.A 11.C 12.A 13.B 14.D 15.B 16.D 17.A 18.D 19.C 20.D 21.A 22.C 23.B 24.C 25.C 26.C 27.B 28.D 29.B 30.C

二、填空題

31.55

33.3 提示:因為函數f(x)是奇函數,所以f(-x)=-f(x)。因為f(x)=f(x+3),所以f(x)是以3為周期的周期函數。因為Sn=2an+n,所以Sn-1=2an-1+(n-1)(n≥2),兩式相減并整理得出an=2an-1-1,即an-1=2(an-1-1)。因此,數列{an-1}是以2為公比的等比數列,首項為a1-1=-2,an-1=-2×2n-1=-2n,所以an=-2n+1,a5=-31,a6=-63。

所以f(a5)+f(a6)=f(-31)+f(-63)=f(2)+f(0)=f(2)=-f(-2)=3。

34.(1)90 (2)9×10n

35.(1)(2)(3)(4)

36.三角形的三個內角都大于60°

37.P＜Q

38.5

39.甲、丙

40.a≥0,b≥0,且a≠b

42.b與c平行或相交

三、解答題

43.①當n=1時,(2n+7)·3n+9=(2+7)×3+9=36能被36整除,命題成立。

②假設n=k時,(2k+7)·3k+9能被36整除,當n=k+1,有[2(k+1)+7]·3k+1+9=3[(2k+7)·3k+9]+18(3k-1-1)。

由歸納假設知3[(2k+7)·3k+9]能被36整除,而3k-1-1是偶數,所以18(3k-1-1)也能被36整除,[2(k+1)+7]·3k+1+9能被36整除。

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由①②可得對于一切n∈N*,(2n+7)·3n+9能被36整除。

44.①當n=1時,左邊=1,右邊=2,左邊＜右邊,不等式成立。

②假設當n=k時,不等式成立,則:

由①②可知,對于任意的n∈N*,不等式a1+a2+a3+…+an＜2n都成立。

因為abc=1,所以a,b,c三數同為正或一正兩負。

又a+b+c=0,所以a,b,c只能是一正兩負,不妨設a＞0,b＜0,c＜0。

因為|BC|=2|AC|,所以|OC|=|AC|,△AOC是等腰直角三角形,故C的坐標為(1,1)。

(2)由題意知D(-1,1),設所求切線方程為y-1=k(x+1)。

由題設條件知b2=ac,2x=a+b,2y=b+c,因此,2ay+2cx=a(b+c)+(a+b)c=ab+2ac+bc。

又4xy=(a+b)(b+c)=ab+b2+bc+ac=ab+2ac+bc,所以2ay+2cx=4xy成立。

當n=2時,由已知得a1+a2=-1,將代入并整理得