構造函數
——利用導數解題的先鋒

■山東省棗莊二中 楊金林

在解決導數問題時構造函數的思想是非常重要的,因為導數的建立與引入就是為函數的研究而服務的,要想使導數有用武之地就必須構造好函數,下面舉例說明。

例1 (2017年高考北京文數)已知函數f(x)=excosx-x。

(1)求曲線y=f(x)在點(0,f(0))處的切線方程;

分析：(1)根據導數的幾何意義,求斜率再代入切線方程公式y-f(0)=f'(0)(x-0);(2)設h(x)=f'(x),求h'(x),根據h'(x)＜0確定函數h(x)的單調性,根據單調性求得函數的最大值h(x)=0,可知h(x)=f'(x)≤0恒成立,所以函數f(x)是單調遞減函數,再根據單調性求最值。

解：(1)因為f(x)=excosx-x,所以f'(x)=ex(cosx-sinx)-1,f'(0)=0。

又因為f(0)=1,所以曲線y=f(x)在點(0,f(0))處的切線方程為y=1。

(2)設h(x)=ex(cosx-sinx)-1,則h'(x)=ex(cosx-sinx-sinx-cosx)=-2exsinx。

點評:這道導數題并不難,比一般意義上的壓軸題要簡單很多,第二問比較有特點需要求二階導數。因為f'(x)不能判斷函數的單調性,所以需要再求一次導數,設h(x)=f'(x),再求h'(x),一般這時就可求得函數h'(x)的零點,或是h'(x)＞0或h'(x)＜0恒成立,這樣就能知道函數h(x)的單調性,根據單調性求最值,從而判斷y=f(x)的單調性,求得最值。

例2 (2016年高考山東理數)已知f(x)=a(x-lnx)+

(1)討論f(x)的單調性;

分析：(1)求f(x)的導函數,對a進行分類討論,求f(x)的單調性;

當a≤0時,若x∈(0,1),則f'(x)＞0,f(x)單調遞增;若x∈(1,+∞),則f'(x)＜0,f(x)單調遞減。

綜上所述,①當a≤0時,函數f(x)在(0,1)內單調遞增,在(1,+∞)內單調遞減;

②當0＜a＜2時,f(x)在(0,1)內單調遞 增,在內 單 調 遞 減,在內單調遞增。

③當a=2時,f(x)在(0,+∞)內單調遞增。

(2)由(1)知,當a=1時,則:

設φ(x)=-3x2-2x+6,則φ(x)在x∈[1,2]上單調遞減。

因為φ(1)=1,φ(2)=-10,所以在[1,2]上存在x0使得x∈(1,x0)時,φ(x)＞0,x∈(x0,2)時,φ(x)＜0。

所以函數h(x)在(1,x0)上單調遞增,在(x0,2)上單調遞減。

點評:求函數的單調區間,應在函數定義域的限制之下,討論函數導數值的符號。若函數的導數含參數,應分類討論,分類的標準是根據函數導數對應方程的根與定義域的關系。證明函數不等式f(x)＞g(x),主要有兩種方法:一是構造函數h(x)=f(x)-g(x),將問題轉化為函數h(x)=f(x)-g(x)的最小值大于0;二是證明f(x)min＞g(x)max。

本題難度大,主要考查利用導數研究函數的單調性、極值,也考查函數與方程、分類討論、轉化與化歸的數學思想,同時考查同學們分析解決問題的能力以及推理能力。同學們易錯的地方有:一是求函數單調區間時忽視函數的定義域為(0,+∞);二是在第一問中不能準確地對參數a進行分類討論;三是(2)中的求解在構造函數f(x)-f'(x)=后不能將函數分解為g(x)=x-lnx與-1兩個函數,而是將等式右邊的式子作為一個整體構造函數,從而不能求得其最值。

例3 (2016年高考新課標Ⅰ卷理)已知函數f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2有兩個零點。

(1)求a的取值范圍;

(2)設x1,x2是f(x)的兩個零點,證明:x1+x2＜2。

分析：(1)求導,根據導函數的符號來確定,主要根據導函數零點來分類。

(2)借助第一問的結論來證明,由單調性可知x1+x2＜2等價于f(x1)＞f(2-x2),即f(2-x2)＜0。設g(x)=-xe2-x-(x-2)ex,則g'(x)=(x-1)(e2-x-ex)。因此,當x＞1時,g'(x)＜0,而g(1)=0,故當x＞1時,g(x)＜0。從而g(x2)=f(2-x2)＜0,故x1+x2＜2。

解：(1)f'(x)=(x-1)ex+2a(x-1)=(x-1)(ex+2a)。

①設a=0,則f(x)=(x-2)ex,f(x)只有一個零點。

②設a＞0,則當x∈(-∞,1)時,f'(x)＜0;當x∈(1,+∞)時,f'(x)＞0。所以f(x)在(-∞,1)上單調遞減,在(1,+∞)上單調遞增。

又f(1)=-e,f(2)=a,此時f(x)在(1,2)上有一個零點。

綜上,f(x)存在兩個零點。

③設a＜0,由f'(x)=0得x=1或x=ln(-2a)。

又當x≤1時,f(x)＜0,所以f(x)不存在兩個零點。

因此f(x)在(1,ln(-2a))上單調遞減,在(ln(-2a),+∞)上單調遞增。又當x≤1時,f(x)＜0,所以f(x)不存在兩個零點。

綜上,a的取值范圍為(0,+∞)。

(2)不妨設x1＜x2,由 (1)知x1∈(-∞,1),x2∈(1,+∞),2-x2∈(-∞,1),f(x)在(-∞,1)上單調遞減,所以x1+x2＜2等價于f(x1)＞f(2-x2),即f(2-x2)＜0。

由于f(2-x2)=-x2e2-x2+a(x2-1)2,而f(x2)=(x2-2)ex2+a(x2-1)2=0,所以f(2-x2)=-x2e2-x2-(x2-2)ex2。

設g(x)=-xe2-x-(x-2)ex,則g'(x)=(x-1)(e2-x-ex)。

所以當x＞1時,g'(x)＜0,而g(1)=0,故當x＞1時,g(x)＜0。

從而g(x2)=f(2-x2)＜0,故x1+x2＜2。

點評:破解此類題目需掌握“一構一分”,“一構”是指會構造函數,然后利用導數的知識進行求解;“一分”是指會分類討論,對于含參的不等式問題或證明存在性的問題,常需要對參數進行分類討論,而此時往往需要用到前面已證明過的結論。解答此題的關鍵是由x1+x2＜2轉化為-x2e2-x2-(x2-2)ex2＜0,從而構造函數g(x)=-xe2-x-(x-2)·ex,這是本題的難點。

構造函數是處理導數題的重要方法,也是解決導數問題的重要途徑,通過不斷地構造函數可把同學們遇到的攔路虎一個個地解決掉,最終解決這類問題,這也提醒大家在平時練習中要多體會構造函數的數學價值。