推理與證明中的常見誤區

■河南省平輿縣第一高級中學高二(8)班 郭藝璇

由一個或幾個已知命題得出另一個命題的思維過程稱為推理,它可分為合情推理與演繹推理。推理與證明是高中教材的新增內容,同學們在學習時往往會出現這樣或那樣的錯誤。下面列舉幾類推理中的常見誤區,也算給同學們提個醒。

誤區一：盲目類比

例1 平面幾何中有“一個角的兩邊分別垂直于另一個角的兩邊,則兩角相等或互補”;在立體幾何中,當一個二面角的兩個半平面分別垂直于另一個二面角的兩個半平面時,兩個二面角( )。

A.互補

B.相等

C.互補或相等

D.關系不確定

錯解：C。

剖析：盲目地將立體幾何與平面幾何進行類比,而不結合實際問題進行分析。

正解：當一個二面角的兩個半平面分別垂直于另一個二面角的兩個半平面時,這兩個二面角無任何關系。選D。

誤區二：歸納不全面

錯解：我們不妨先來理解一下題目給出的規律,根據給出的規律再寫出幾個式子5,…,顯然通過處理后的式子的分子與分母都要約去。因此m的值等于前面分解的的系數的積,即m=2n。

剖析：雖然對歸納有了較好的理解,但忽視了一些細節,各式中x的系數積1。

正解：答案為nn。

誤區三：忽視題目條件

當k=2時,a0=0;當k=3時,a1=0;當k=4時,a2=0;當k=5時,a3=0;當k=6時,a4=0;據此推測,ak-2=0。

誤區四：對演繹推理理解不透

例4 下面是運用演繹推理“三段論”的一個過程:“矩形的對角線相等(大前提),等腰梯形的對角線相等(小前提),所以等腰梯形是矩形(結論)。”上述演繹推理正確嗎?

錯解：上述推理符合三段論,故推理是正確的。

剖析：大前提與小前提都正確,但最后的結論卻是錯誤的,說明小前提不是大前提的特殊情況,即推理形式是錯誤的。

正解：在上述推理中,大前提與小前提沒有關聯,故上述推理是錯誤的。

誤區五：偷換概念

例5 求證:四邊形的內角和等于360°。

錯解：設四邊形ABCD是矩形,則它的四個角都是直角,有∠A+∠B+∠C+∠D=360°,所以,四邊形的內角和等于360°。

剖析：上述推理過程是錯誤的,犯了偷換概念的錯誤。在證明過程中,把論題中的四邊形改為了矩形。

正解：連接四邊形的一條對角線,于是四邊形被分成兩個三角形。依據三角形內角和定理:一個三角形的內角和為180°,于是兩個三角形的內角和為360°,故四邊形的內角和等于360°。

誤區六：使用虛假論據

例6 已知a,b,c是互不相等的非零實數,求證:三個方程ax2+2bx+c=0,bx2+2cx+a=0,cx2+2ax+b=0至少有一個方程有兩個相異實根。

錯解：假設三個方程都沒有兩個相異實根,則Δ1=4b2-4ac＜0,Δ2=4c2-4ab＜0,Δ3=4a2-4bc＜0。

三式相加,整理得a2-2ab+b2+b2-2bc+c2+c2-2ac+a2＜0。(*)

故(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2＜0,此不等式不能成立,三個方程中至少有一個方程有兩個相異實根。

剖析：上面解法的錯誤在于認為“方程沒有兩個相異實根就有Δ＜0”,事實上,“方程沒有兩個相異實根時Δ≤0”。

正解：假設三個方程都沒有兩個相異實根,則Δ1=4b2-4ac≤0,Δ2=4c2-4ab≤0,Δ3=4a2-4bc≤0。

三式相加,整理得a2-2ab+b2+b2-2bc+c2+c2-2ac+a2≤0。

故(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2≤0。(*)

由題意知a,b,c互不相等,所以(*)式不能成立。

所以假設不成立,即三個方程中至少有一個方程有兩個相異實根。

誤區七、生搬硬套數學歸納法

例7 用數學歸納法證明:1+3+5+…+(2n-1)=n2。

錯解：①當n=1時,左邊=1,右邊=1,顯然成立。

②假設當n=k時,等式成立,即:

1+3+5+…+(2k-1)=k2。

當n=k+1時,有1+3+5+…+[2(k+1)-1]=1+3+5+…+(2k+1)=(k+1)2。

故當n=k+1時,等式也成立。

綜合①、②可知,等式對于任何n∈N*都成立。

剖析：上述證明從形式上看好像是數學歸納法,實際上是沒有理解數學歸納法的實質,錯誤地進行死搬硬套,即在假設了n=k時等式成立后,沒有推證就直接承認了當n=k+1時等式也成立,這與數學歸納法的原理相違背。

正解：①當n=1時,左邊=1,右邊=1,等式成立。

②假設當n=k時,等式成立,即1+3+5+…+(2k-1)=k2。

當n=k+1時,1+3+5+…+(2k-1)+[2(k+1)-1]=1+3+5+…+(2k-1)+(2k+1)=k2+2k+1=(k+1)2。

故當n=k+1時,等式成立。

綜合①、②可知,等式對于任何n∈N*都成立。