基于Markov切換模型的采購經理指數波動特征研究

王路加 郭亞妮

一、引 言

伴隨著經濟總量持續增大，物價波動愈加劇烈和頻繁，中國政府決策游移于擴張性與緊縮性的宏觀政策之間，試圖在保障我國經濟平穩增長的同時最大化的穩定通貨膨脹，進而促使社會有序發展。采購經理人指數（簡稱PMI指數）反映制造業總體經濟走勢的變化情況，對預測和調控宏觀經濟具有重要的意義，也是中國經濟學界亟待解決的現實問題。

采購經理人指數（PMI）作為全球關注的經濟先行指數，在各國都引起高度重視，是研究各國宏觀經濟的重要參考指標。與此同時，國內學者也對中國市場PMI指數進行了深入研究。孫燕紅研究PMI指數與GDP指數之間相互關系，用以中國經濟增長的預測，結果表明，PMI指數對預判中國經濟景氣程度具有一定的參考價值。此外，桂文林等通過構建EEMD-JADE模型，對中國市場的PMI指數與PPI指數結構視角下的分化走勢進行了研究。他們指出，PMI和PPI可以重構出三個結構分量，即高中低頻分別反映短期波動、中期波動和長期波動。

國內學者一直使用馬爾科夫切換模型作為研究股票獲利率、股市波動率的工具，國外學者通過Markov切換模型研究居民消費價格指數進而幫助國家對宏觀經濟的調控。國內學者多使用非線性時間序列預測模型研究采購經理人指數的波動特征，而這些研究無法描述采購經理人指數時間序列下的復雜變化特征，馬爾科夫切換模型適用于采購經理人指數波動的復雜變化。本文通過使用馬爾科夫切換模型對中國采購經理人指數進行實證分析，檢驗了采購經理人指數波動率的持續性、波動幅度及波動頻率等特征，從而為監管部門對國家宏觀經濟調控提供了一定參考。

二、Markov切換模型

（一）模型建立

Markov切換模型是利用給定指標序列的歷史數據來對當前和未來進行擬合和預測，體現了不同時期波動率之間的相關性和滯后性。論文對一般的Markov切換模型進行動態化，以便于更好的擬合數據信息，即將公式（1）變為公式（2）：

公式（2）中，St表示t時刻因變量所處的機制狀態，一般是事先設定的，如果存在k個機制，那么St=1,2…k，并且當St的變化滿足k個機制的一階Markov鏈時，St的轉移概率為 Pij=Pr（St+1=j|St=i），∑Pij＝1，?i,j∈{1,2,…,k}，機制之間的轉移概率可以通過轉移矩陣P來表示（如式（3）所示）；αSt為模型在St機制狀態下的常數項；n為模型中包含的自回歸滯后項的最大階數；βi,St為模型在St機制狀態下的i階滯后項的自回歸系數；γt-i表示因變量的i階滯后項，αSt為模型在St機制狀態下的標準差；εt為模型的殘差項，通常假定該殘差項服從均值為0，方差為的正態分布。需要注意的是，這里的方差不是固定的，而是隨著模型機制狀態St的變化而變化。

此外，在式（2）所示的Markov切換模型基礎上，如果加入外生變量，那么式（2）所示的Markov切換模型形式可變為式（4）所示的模型結果，其中m表示外生變量的個數，βi,s,為模型在St機制狀態下的第j個外生變量的回歸系數。

由式（4）不難發現，Markov切換模型可以根據模型的截距、均值、變量系數和殘差項方差將模型結構分為一般的Markov切換模型、含滯后項的Markov切換模型以及含外生變量的Markov切換模型。

（二）模型的估計方法

Markov切換模型的估計方法主要使用極大似然估計方法和蒙特卡洛模擬方法。對于某個給定時刻t的隨機變量yt的極大似然函數是由每個機制下的概率密度函數通過處于該機制的概率進行加權求和得到：

設總觀察時期為T，結合每個時期的似然函數，相乘并取對數，轉化為每個時期的對數似然函數進行加總求和。完整的似然函數表示如下：

式（6）中，條件概率是以一種抽象的形式，應設法把條件概率P表示成待估參數的函數，才可以通過數值優化求得最大似然函數值。簡單的轉移模型中，可以假設條件概率是服從一系列可觀測變量Gt-1的多元logit模型，其中Gt-1的系數為δ。

結合式（6）和式（7），可以得到似然函數轉化為

通過貝葉斯公式和條件概率法則，得到如下經過過濾的表達式：

式（9）右邊的部分通過概率密度函數進行替換得到

上述過程重復迭代直到零期，便可以得到待估參數和初始概率表示的極大似然函數表達式，使似然函數取最大值，便得到相應的參數值及初始變量。具體可以通過以下4個步驟加以說明：

第1步：通過Markov切換模型矩陣和基本的概率規則，得到t時期處于機制m的條件概率。利用條件概率公式反復迭代，以此類推，該條件概率可以表示為初始概率和轉移概率的表達式：Pr(St=m|Ωt-1)=

第2步：在假設模型殘差項服從正態分布的情況下，可以得到t時期處于機制m的概率密度表達式：

第3步：通過加總t時期m個機制的概率密度，可以進一步得到 t時期的似然函數：Lt(β,γ,σ,δ)=

第4步：更新上述式子中的條件概率，得到過濾概率，如下。如果總觀察時期為T，那么結合每個時期的似然函數，相乘并取對數，轉化為每個時期的對數似然函數進行加總求和，便可以得到完整的似然函數

三、PMI指數波動特征的實證分析

（一）數據的選取

本文選取PMI指數作為研究對象，通過Markov切換模型分析PMI的內在特征。數據時段為2005年1月至2015年12月的月度數據（http://www.edatasea.com/）。以月增長率對數時間序列Yi,t=100ln（PMIi,t/PMIi,t-1）構成樣本空間，這里定義為PMI_T。模型均采用Eviews8.0操作。

（二）基本統計特征分析

圖 1（a）和圖 1（b）描述了 PMI指數以及月增長率對數序列（定義為PMI指數時間序列）的時間路徑情況。首先，從波動幅度來看，論文可以觀察到PMI時間序列的波動逐漸趨于穩定（如圖1（b）所示）。其次，PMI時間序列存在明顯的“聚集波動”現象，即在某一段時間內波動率普遍偏大，而在另一段時間內波動率普遍偏小（如圖1（b）所示）。最后，從PMI指數的歷史路徑來看，整體呈現下滑趨勢，并且在2008年-2009年之間伴隨一次大的變化，這可能源自于2008金融危機的影響。

圖1 （a） PMI指數的時間途徑圖

圖1 （b） PMI指數時間序列的時間途徑圖

為了驗證上述基本情況的可靠性，論文以PMI時間序列為對象進一步分析波動特征。在此之前，為了確認月增長率序列是否存在單位根（檢驗波動是否平穩），論文采用單位根檢驗（ADF），滯后項的確定采用SIC（Schwarz Info Criterion）準則。結果如表1（a）所示，PMI時間序列在1%的顯著性水平下顯著，說明月增長率序列不存在單位根，即PMI時間序列的波動率是平穩的。

表1 (a) 單位根檢驗

表2 (b) 正態分布檢驗

進一步分析PMI時間序列是否服從標準正態分布，結果如表 1（b）所示，偏度系數（-0.64088）小于零，說明同時期PMI指數的月增長率大于平均增長率的情況居多，并根據偏度不等于零，說明在2005年至2015年間PMI指數的月增長率的分布具有非對稱特征。峰度系數（6.177061）大于3，說明該分布呈現高峰厚尾的特征，并具有多個的極端值。JB統計量為64.06243，說明變量逐漸偏離正態分布。

（三）PMI時間序列對數序列機制轉變的檢驗

目前已經檢驗PMI時間序列存在平穩性，并且不服從正態分布，如果能夠檢驗到PMI時間序列發生機制轉變或狀態轉變，就可以說明PMI時間序列存在結構變點的波動特征。對機制轉變或狀態轉變的檢驗最初來自于模型參數穩定性的檢驗：如果在樣本期內PMI時間序列沒有發生機制轉變，那么說明在樣本期內的模型參數保持不變；如果在樣本期內PMI時間序列發生機制轉變，那么說明在樣本期內的模型參數具有結構變化。這里對應的檢驗方法有 Chow檢驗、Bai-Perron檢驗、CUSUM檢驗、La-grange Multiplikator檢驗、Likelihood Ratio檢驗等。論文主要通過CUSUM方法來檢驗PMI時間序列是否存在結構變點特征。

圖2 （a） 無滯后項的CUSUM檢驗

圖2 （b） 滯后一階的CUSUM檢驗

圖2 （c） 滯后二階的CUSUM檢驗

從圖2（a）可以看出，CUSUM實線所表示的統計量從2005年之后均沒有超出了虛線范圍，說明在5%的顯著性下，PMI時間序列在無滯后情況下沒有顯著的結構性變點現象。同理，從圖2（b）和圖2（c）可以看出，CUSUM實線所表示的統計量從2005年之后均沒有超出了虛線范圍，說明在5%的顯著性下，PMI時間序列在滯后一階和滯后二階情況下依舊不存在結構性變點現象。所以得到，PMI時間序列沒有發生結構變點的波動現象。

（四）Markov切換模型的實證分析

考慮到三個形態機制的模型對波動過程更細致的劃分，可以有效避免將中等波動狀態納入低波動狀態或高波動狀態而造成的誤差，為此將Markov切換模型劃分為三個機制形態。同時根據CUSUM檢驗對PMI時間序列滯后二階情況下的結構性變化更大，所以對PMI時間序列的自回歸模型采取滯后二階的切換模型，通過對數極大似然法對參數進行估計，得到表2所示的結果。

進一步給出PMI時間序列的切換模型：

表2 Markov切換模型的參數估計

模型的轉移概率矩陣如表3所示：

表3 轉移概率矩陣

根據式（11）中標準差的大小，論文把三種狀態定義為低波動性（σ1=12.668%），中等波動（σ2=46.714%）以及高波動（σ3=10.163%）的三種狀態。通過觀察每個狀態下的自回歸方程，論文可以發現PMI時間序列在不同狀態之間的變動規律有一定的差異性。當期PMI時間序列同增長率滯后項的相關性隨波動狀態變化而變化，有強有弱，有正有負。在低波動狀態和中等波動狀態下，PMI時間序列一階滯后項和二階滯后項與當期增長率呈正相關關系；在高波動狀態下，PMI時間序列一階滯后項與當期增長率呈正相關關系，二階滯后項與當期增長率呈負相關關系，而且二階滯后項與當期增長率存在較強的相關性。這說明，不同波動狀態下PMI時間序列的反應時間不同，信息沖擊的滯后效應也各不相同。在轉移概率矩陣中（如表3所示），三個狀態在下一期保持不變的概率分別為96.2954%、33.8578%和87.41%。由此可知，中波動狀態的持續性（長記憶性）最差，而低等波動狀態持續性最高，這從本質層面揭示了“波動群集”現象產生的根本原因。另外，根據期望久期的定義，可以得到低、中、高波動區制的持續久期（1-P）-1分別為：26.99個月、1.51個月、7.94個月。按照一年有12個月計算，低波動狀態的持續時間約為9個月，高波動狀態的持續時間約為3個月。由此可得出，我國的PMI指數波動長期處于低波動狀態。

進一步地，從轉換概率矩陣可以看出，低波動狀態1和中波動狀態2向高波動狀態3轉移的概率較低，而中波動狀態2和低波動狀態1向高波動狀態3轉移的概率較高，分別是12.607%和53.535%；同樣地，高等波動的狀態3向中波動狀態2轉移的概率也較高，為11.792%。這說明三種狀態之間的切換結果主要集中于中波動狀態2和高波動狀態3，這里可以根據這三種狀態的平滑概率圖形進一步驗證，具體如圖3所示。

圖3 PMI時間序列的低、中、高波動機制的平滑概率圖

從圖3可以進一步得到，三個不同狀態的波動的頻率和分段波動特征。按照80%的平滑概率作為劃分狀態的一個標準，則在2005年到2015年之間處于低波動狀態1和高波動狀態的概率最多，此期間大部分的時間平滑概率高達90%以上，部分時間點平滑概率甚至達到了100%。同時觀察三種波動的平滑概率圖進一步發現，2005年至2015年的PMI指數的波動性分成三個階段：第一階段，在2008年以前，PMI波動性普遍較大，市場處于高等波動性和中等波動性的交替切換模式，并且中等波動性的狀態出現次數較少。第二階段，2008年至2012年，PMI指數處于三種波動狀態的切換模式，特別以2008-2009年的形態最為顯著，這可能也是源自于2008年經濟危機的影響。第三階段，2012年之后，PMI波動性處于低波動模式，說明至2012年之后經濟發展處于平穩狀態，這于實際情況也較為吻合。

四、其他經濟體對中國PMI的影響分析

為了更深入了解中國PMI指數是否受到其他國家相關指數的沖擊，論文進一步加入美國PMI指數、歐盟PMI指數（以英國、法國、德國、意大利和俄羅斯的平均值計算）和亞太地區PMI指數（以日本、韓國、印度、澳大利亞和新加波的平均值計算）的時間序列數據（http://www.edatasea.com/），通過建立 VAR 自回歸模型進而運用脈沖響應函數方法進行分析，從而研究四大經濟體之間制造業PMI之間的相互影響關系，具體過程見文獻的詳細分析，論文重點關注脈沖響應函數，具體結果如圖 4（a）和 4（b）所示。

結合圖 4（a）和 4（b）可以看出，中國 PMI指數對來自美國PMI指數和自身沖擊的最大響應分別為1.5%和2.6%。歐盟PMI指數和日本PMI指數對中國PMI指數的最大沖擊也集中于第5期至第10期，由此可見，中國經濟體中PMI指數受自身的影響較為顯著，其次是主要受美國和亞太地區的影響，同時也說明其他經濟體PMI指數到中國PMI指數的傳導機制在中國經濟體中是存在的。所以，中國PMI指數除了受到自身影響外，還會受到其他經濟體的PMI指數的影響，其中以美國PMI指數對中國PMI指數的影響最為顯著。

圖4 （a）中美PMI對中國PMI沖擊響應

圖4 （b） 歐盟、日本PMI對中國PMI沖擊響應

結合 Cholesky 沖擊響應圖 4（a）和圖 4（b）說明了其他經濟體PMI指數到中國PMI指數的傳導機制在中國經濟體中存在，因此在觀察中國PMI指數變化的過程中也不能忽視其他經濟體對中國PMI指數的影響，應合理加入其他經濟體的PMI指數，甚至考慮加入其他經濟體的PPI指數、CPI指數等所產生的耦合效應。這樣才能更精確地描述中國PMI指數的動態特征，在后期預測中國宏觀經濟發展和變化上才能發揮其應有的價值，特別是在新常態經濟背景下更應該重視其他經濟體對中國相關價格指數的影響。

五、結 論

論文的創新點在于使用馬爾科夫切換模型對采購經理人指數波動特征的復雜表現進行了分析，PMI時間序列存在明顯的非對稱性波動特征，并且前一期的PMI時間序列的波動會加劇下一期PMI時間序列的波動，PMI指數的波動有顯著的滯后效應，存在非對稱性的“杠桿效應”。除此之外，論文研究PMI波動性的持續性、波動幅度以及波動頻率進一步發現，在高波動狀態下，PMI時間序列一階滯后項與當期增長率呈正相關關系，二階滯后項與當期增長率呈負相關關系。從波動持續性來看，低波動特征相比其他兩種特征持續時間更長，進而導致波動狀態的切換主要集中于中波動狀態和高波動狀態。從波動幅度來看，PMI時間序列的波動主要穩定于低波動率，并且存在明顯的“聚集波動”現象。從波動頻率來看，在2005年到2015年之間PMI時間序列存在多階段的分布格局。最后，為了更深入了解中國PMI指數是否受到其他國家相關指數的沖擊，進一步加入美國PMI指數、歐盟PMI指數和亞太地區PMI指數的時間序列數據，建立VAR自回歸模型，對建立的VAR模型運用脈沖響應函數方法進行分析，從而研究四大經濟體之間制造業PMI之間的相互影響關系。結果顯示，中國PMI指數除了受到自身影響外，還會受到其他經濟體的PMI指數的影響，其中以美國PMI指數對中國PMI指數的影響最為顯著。

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