構建知識與方法體系 提升學生思維能力

何瑞明

【摘要】幾何復習課是數學課堂教學中的重要一環，教師要以教材為準繩，幫助學生進行系統整理，將分散的知識點連成線，織成網，組成塊。特別要注意揭示知識之間的內在聯系，構建知識與方法體系，提升學生思維能力。具體包括用專題內容來“網化”知識體系、典型問題來“引發”解題思考、解后反思“類化”解題方法、綜合運用“提升”解題能力這四個方面。

【關鍵詞】知識與方法體系 思維能力 聯系與綜合 結構 整體

【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2018）10-0126-02

幾何復習課是一個古老而又新鮮的課題，因為這種課型難度大，對老師要求高，至今仍在探索中。下面筆者以《<圓中角的證明>復習課的教學設計》為例，談談如何構建知識與方法體系，提升學生思維能力。

一、專題內容來“網化”知識體系

由于現行教材是按螺旋式上升進行編排的，很多學生在分析和解決問題過程中，往往不能在已有分散的知識點中有效地提取。因此復習課的首要任務是構建知識與方法體系。教師可以利用樹狀圖或思維導圖等來引導學生構建知識網絡，幫助學生從整體上厘清知識結構，在《圓中角的證明》這節展示課我是這樣引入的：

角是常見的平面幾何圖形，很多綜合題都可以化為證明角的相等。今天我們一起來研究圓中角的問題，首先我們一起來回憶一下我們學過的常用的證明角相等的方法（PPT展示）

（1）相交線及平行線模快：對頂角相等……

（2）三角形模塊：全等三角形的對應角相等……

（3）四邊形模塊： 平行四邊形對角相等……

（4）在我們最近學的圓的知識里有：

（學生眾說，老師PPT展示圓中證明角相等的辦法）

片斷分析：復習證明角相等相關的知識點有兩個意圖：一為下面復習作鋪墊，二是對知識進行歸類，構建證明角相等整體知識框架。初中幾何知識中，三角形和多邊形都屬于直線形，而圓則是曲線形。由直線形到曲線形，正是初中幾何從簡單到復雜，從部分到整體，從具體到抽象的一次質的飛躍。本節對直線型和曲線形作了一個證明角相等的知識聯系與綜合。學習完本節內容，學生將建立證明角相等的方法較完整的知識結構體系，對證明角相等的方法也有個整體感知。

二、典型問題來“引發”解題思考

一堂好的復習課，需要選擇具有代表性、針對性與較好思想性的問題，學生對設計出的數學問題可以從多方面、多角度去分析，這樣也培養與提高了學生的數學思維能力。在《圓中角的證明》這節復習課中我是這樣設置典型問題來“引發”學生解題思考的：

例1：A、B、C三點在⊙O上，AD是直徑， CE⊥AD于點E，CE的延長線交AB于F.

（1）根據題意，補全圖形

（2）求證：∠ABC=∠ACF.

教師要求：認真閱讀題目，并用彩色筆在圖形上進行適當的標識

【問題1】通過剛才的閱讀和畫圖知道了哪些主要條件？結論又是什么？

【問題2】誰能幫老師分析下已知條件的可能作用是什么？

【問題3】根據這個結論，要證明兩個角的數量關系，我們不妨先從角的位置上先判斷這兩個角是……？那要證明兩個圓周角相等，要先證明什么呢？

【追問】那這條輔助線的作用是什么？告訴大家你是怎么想到做這條輔助線的？

【問題4】那大家仔細觀察這個圖，這里有沒有我們所熟悉的基本圖形？

師用幾何畫板分離出基本圖形。

問題1-問題4設置意圖：教師通過對例題作圖與已知條件的分析，讓學生分清條件和結論，聯想條件的可能作用，通過對圖形結構特征的觀察，通過說題，提升分析問題的能力，鍛煉邏輯思維，提高解題能力. 教師層層設問意在暴露學生的思考過程，教師重在架好從條件到結論的橋梁思維引導。通過分析與思考，進一步感悟轉化思想。

【問題5】那要證明兩個圓周角相等，該如何分離或添加輔助線轉化為所熟悉的幾何基本圖形？

問題5設置意圖：通過設問引發學生繼續思考，促進對圖形結構特征的進一步觀察，讓學生從復雜圖形中分離出基本圖形，或者構造基本圖形的過程，增強幾何直觀和空間觀念，提高分析問題和解決問題能力。作法2（如圖4）：作法3（如圖5）

【問題6】從剛才的作法2和作法3可以看出，哪一步起了最關鍵的作用？對，是角的轉化。把圓周角∠ABD轉化為同弧或等弧所對的圓周角。

【追問】那這兩條輔助線的作用是什么？告訴大家你是怎么想到做這條輔助線的？

【問題7】除了把圓周角轉化為同弧或等弧所對的圓周角，圓周角還可進行怎樣的轉化？由此你還會想到做怎樣的輔助線？ 作法4（如圖6）

問題6-問題7設置意圖：層層設問意在暴露學生的思考過程，讓學生體會作這條輔助線的作用是將“∠ABD轉化為同弧或等弧所對的圓周角”從而將陌生的圓中角的問題轉化為熟悉的直線型幾何問題。

片斷分析：此道例題用來自教材原題和習題，予以縱橫、聯系，進行創造性且有效的重組和整合，既能完善學生對“角”的認知結構，又能很好地達到解題思路、方法的培養。也讓學生從單純解題上升到思維的提煉，有效發展核心數學能力。

三、解后反思“類化”解題方法

解后反思是復習課中重要的一環，讓學生親自去理一理，讓學生試著自己去把知識串一串，在反思中形成自己的認知結構，在反思中學會“類化”解題方法，這樣學生就從單純解題上升到思維的提煉，有效提升數學能力。在本節課中我是這樣引導學生歸納反思的：

（教師利用幾何畫板把所有的作法集中在一起，叫學生分分類，并選出自己覺得最簡便的方法）

通過例1圓中角的相等的思考與證明，你覺得對你以后解決像這類的問題有何啟發？

證明題的解題流程：

①看條件：根據已知條件在圖形上進行適當的標注，并聯想每個條件的可能作用。

②看結論：分析要證明的結論成立需要先證什么，進而選擇具體方法。

③預判方法是否可行，是否最優，是否有其他解法？

片斷分析：通過對不同解法的探究和歸納，讓學生明確解題流程，并在一題多解中反思，在反思中“類化方法”，形成解題能力。

四、綜合運用“提升”解題能力

復習課除了引導學生認識并發現知識點之間的本質聯系或方法結構外，教師還要從整體上把握本知識塊相關聯的整個知識模塊加以綜合設計，讓學生在綜合運用“提升”解題能力。

本節課中例2我就是在“如何證明角相等”一個教學長段的整體視野下進行設計，讓學生通過綜合運用證明角所有知識來提升解題能力。

例2：已知： 如圖，⊙O中，AB﹑AC是弦（AB≠AC）， E﹑F分別為AB、AC的中點；

求證： ∠AMN=∠ANM.

（學生獨立思考5分鐘后學生思路若受阻時師作如下分析）

【問題1】先由條件上進行分析， 由E是弧的中點你能作何聯想？

【問題2】再結合圖形分析一下題目的結論，從角的位置上先判斷這兩個角是不是也是圓周角，或是圓心角？首先這兩個都不是圓周角，既然不是圓周角，我們能不能應用它們是不是某個三角形的內角或外角？由此你覺得，要證∠AMN=∠ANM，要先證什么或作何輔助線？

（帶著這樣的問題，大家在小組里先討論和交流各自的想法）

片斷分析：本題既可以應用互余證角等又可以利用外角證角等，多種證明方法的應用增強學生解決問題的能力，方法的選擇取決于對已知條件和結論的分析；綜合運用圓中條件進行多種方法輔助線的添加，為學生提供更為廣闊的思考空間。進一步鞏固前面的方法，提升學生的思維能力。

數學教育的核心是發展學生的思維能力，在平時的復習課教學中教師應有意識地幫助學生構建知識與方法體系，提升學生思維能力。通過課堂實踐驗證，通過專題內容來“網化”知識體系、典型問題來“引發”解題思考、解后反思“類化”解題方法、綜合運用“提升”解題能力這四個方面來構建知識與方法體系，有效提升了學生思維能力，提高學生的核心素養。

參考文獻：

[1]數學課程標準[M].北京：北京師范大學出版社.2011

[2]王丹群.“直觀想象”素養在初中數學復習課中的落實[J].中學數學教學參考（初中）.2017.5

[3]張紹俊.專題復習課重在揭示專題背后的思想支撐[J].中學數學教學參考（初中）.2017.7