關于拋物方程傅里葉變換步進算法在電波繞射中的應用研究

曹志，逯貴禎，代明

(中國傳媒大學信息工程學院，北京 100024)

1 引言

在無線廣播和無線通信領域，電波傳播覆蓋在工程和理論研究中都是一個非常重要的研究內容。在廣播技術領域，電波傳播覆蓋通常采用ITU-370或ITU-1546模型進行廣播電視的頻率規劃和覆蓋分析研究。這兩個模型是基于大量實測數據歸納得到的統計經驗模型。在通信技術領域，用的最多的是 Okumura-Hata模型。Okumura-Hata模型也是基于大量實測數據歸納得到的經驗模型，通常認為這個模型主要是用于大城市的傳播環境。盡管上述模型得到了廣泛的應用，但是對于復雜的地形，比如山區和大城市的傳播環境，上述傳播模型給出了與實測數值較大的偏差。為了改進傳播模型的預測精度，國內外進行了大量的理論與實驗研究工作。在理論分析模型中，由于分析區域通常會達到幾百平方公里，因此全波分析方法受到了限制。幾何射線方法由于不需要求解偏微分方程，能夠對范圍很大的區域進行分析。但是由于障礙物的準確模型在一般的傳輸環境中是很難得到的，還有射線跟蹤的復雜性，因此在大區域的電波傳輸預測分析中受到很大限制。在最近十幾年，拋物方程方法引起了電波傳播領域研究者的注意。拋物方程方法是介于波動方程與射線方法之間的一種全波分析方法。相對于波動方程，拋物方程可以在傳播方向采用步進算法求解，因此極大地減少了計算量。與射線方法相比，拋物方程不需要進行復雜的射線跟蹤，是一種全波方法。

關于拋物方程傅里葉步進算法的數值計算精度在一些相關文獻中有一些初步的研究[2][4]。Patricia L.Slingsby 從拋物方程近似的角度，針對大氣波導問題給出了算法對步進距離和離散間隔的要求。但是對于一般的障礙物繞射問題并沒有過多涉及。Ozgun 從傅里葉變換的角度給出了有關離散間隔對計算觀察的影響。為了分析離散間隔對計算誤差的影響，定義了一個誤差函數度量拋物方程計算的誤差。文章中給出了一些粗略的估計準則，如何進一步優化離散間隔仍然是需要研究的問題。在本文計算分析研究中，考慮菲涅耳繞射問題的解析結果與拋物方程計算結果的比較。在數值計算研究中，討論了拋物方程最大偏離角度，傅里葉變換數據點數，離散間隔對障礙物繞射結果的影響。

2 傅里葉步進算法分析

傅里葉步進算法以一種高效的求解拋物方程的數值算法，在電波傳播預測和分析中得到了廣泛的應用。但是對于該方法的優化和計算誤差的分析目前研究還比較少。在此我們考慮標準拋物方程的傅里葉步進算法。標準拋物方程可以寫為：

(1)

考慮與地面角度為α平面波傳播，忽略泰勒展開第一項正比于[2]，

(2)

所以，誤差正比于sin4α。

當空間折射率為1時，(1)式的關于函數u的項為零。傅里葉步進算法可以表示為：

(3)

傅里葉步進算法的精度與快速傅里葉變換參量N，步進距離Δx，離散間距Δz，最大偏離角度θmax有密切關系。文獻[2]中給出的相關準則為：

(4)

下面的數值計算通過比較菲涅爾繞射問題討論傅里葉步進算法的精度與快速傅里葉變換參量之間的關系。

3 計算結果與討論

關于拋物方程傅里葉步進算法的數值計算誤差在一些相關文獻中有一些初步的研究[2][4]。Patricia L.Slingsby 從拋物方程近似的角度，針對大氣波導問題給出了算法對步進距離和離散間隔的要求。Ozgun 從傅里葉變換的角度給出了有關離散間隔對計算觀察的影響。為了分析離散間隔對計算誤差的影響，定義了一個誤差函數度量拋物方程計算的誤差。在本文計算分析研究中，考慮菲涅耳繞射問題的解析結果與拋物方程計算結果的誤差，并以此討論數值計算誤差對結果的影響。

菲涅耳繞射問題的幾何結構如圖1所示。對于沿x方向傳播的平面波入射到一個障礙屏，其場分布在x=0 位置如公式(5)所示。

圖1 菲涅耳繞射問題的幾何表示

(5)

根據菲涅耳繞射理論，在x〉0 區域，場分布可以由公式(6)給出，其中F(v)是菲涅耳積分，由公式(7)定義。

(6)

(7)

為了研究拋物方程數值計算的精度，考慮沿x方向傳播的平面波遇到障礙屏的繞射問題。在數值分析中，z方向距離范圍為500米，水平面上下各有250米。觀測點位置x=600米，z從 -z0 到+z0 變化，對應于障礙物對菲涅爾區的不同遮擋情況。下面分幾種情況研究拋物方程傅里葉步進算法的數值計算精度。

3.1 最大偏離角度θmax

拋物方程傅里葉步進算法中的傅里葉變換是對空間高度z變量的運算，對應的譜域是偏離水平方向的偏離角度。為了保證拋物近似的精度，在窄角度近似中，要求最大偏離角度滿足關系式[3]：

k·sinθmax=pmax

(8)

在傅里葉步進算法中，z方向的離散間隔要求[2]，

(9)

結合公式(8)和(9)，在變換域，譜變量的最大值要求滿足關系式(10)，

(10)

圖2給出了根據公式(10)計算得到的繞射場和解析結果公式(6)的對比結果。圖3是Pmax進行修正后得到的計算結果。在圖2和圖3的計算結果中，傅里葉變換點數N=256。

圖2 當時，距離x=600米位置的繞射場

圖3 當時，距離x=600米位置的繞射場

3.2 傅里葉變換點數與離散間距

傅里葉變換點數與離散間距dz，最大偏離角度有密切的關系，根據信號處理的離散傅里葉變換關系，它們之間的關系可以表示為，

2·zmax=N·dz

(11)

公式(11)中zmax是最大的計算空間高度，N是離散傅里葉變換的點數。由于最大的計算空間高度是固定的，因此N的取值不同會影響dz的取值，進一步會影響最大偏離角度數值。

圖4 傅里葉變換點數N=512的繞射場

圖4給出了改變傅里葉變換點數為N=512的繞射場。由于增加了N，因此dz的數值u變小，從N=256時的1.96米變為N=512時的0.978米。在計算中由于設置計算范圍指標值是固定的，所以空間范圍從正負60米變為正負30米。可以看到，點數的增加對計算精度的影響并不是很大。從最大偏離角度來看，N=256時的最大偏離角度是20.1度，N=512時的最大偏離角度是43.6度。

以上的計算是基于比較拋物方程傅里葉步進算法和菲涅耳繞射理論，計算結果表明：最大偏離角度與離散間隔的關系對計算精度有非常重要的影響；拋物方程小角度近似的使用范圍和使用條件可以進一步放寬。綜上所述，目前已有的數值計算準則還需要做進一步優化研究。

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