基于最優(yōu)測(cè)度的Choquet積分

余旻昊，李軍

(中國傳媒大學(xué)理學(xué)院，北京 100024)

1 引言

信息融合在計(jì)算機(jī)、統(tǒng)計(jì)、金融、管理科學(xué)等各領(lǐng)域有著重要地位。近年來，積分作為一種融合工具廣泛應(yīng)用于信息融合理論[1]。加權(quán)平均法可認(rèn)為是經(jīng)典的線性積分在離散情形的應(yīng)用。然而，線性的工具并不總能很好的擬合現(xiàn)實(shí)情況。對(duì)很多實(shí)際問題來說，使用非線性積分[2，3]作為融合工具往往更加適合實(shí)際情況。Choquet積分[2]是一類重要的非線性積分，基于Choquet積分的信息融合方法已得到廣泛應(yīng)用[4，5]。

本文中我們將進(jìn)一步討論Choquet積分[1，2，3]。我們將研究基于一個(gè)單調(diào)測(cè)度的最優(yōu)測(cè)度[6]的Choquet 積分的性質(zhì)。我們將利用最優(yōu)測(cè)度的性質(zhì)揭示這一類積分的特性；討論基于一個(gè)單調(diào)測(cè)度μ的最優(yōu)測(cè)度μ+的Choquet積分與基于這個(gè)單調(diào)測(cè)度μ的Choquet積分以及與其它非線性積分之間的關(guān)系[7]。在此基礎(chǔ)上給出基于一個(gè)單調(diào)測(cè)度μ的最優(yōu)測(cè)度μ+的Choquet積分的應(yīng)用的例子。

2 準(zhǔn)備知識(shí)

(1)若μ(φ)=0，則μ(X)>0；

μ(A∪B)≤μ(A)+μ(B)

μ(A∪B)≥μ(A)+μ(B)

其中右邊的積分是關(guān)于α的黎曼積分，F(xiàn)α={x：f(x)≥α}，α∈[0，∞)。

若X是有限集合，則Choquet積分可寫作如下形式：

其中：

j=1，2，...，2n-1。

定義2.7[6]設(shè)μ是單調(diào)測(cè)度，對(duì)應(yīng)于μ的最優(yōu)測(cè)度記作μ⊕，定義如下：

3 基于最優(yōu)測(cè)度的Choquet積分

若X是有限集合，則基于最優(yōu)測(cè)度μ⊕的Choquet積分可寫作如下形式：

為方便討論，我們用Choquetμ⊕表示基于最優(yōu)測(cè)度μ⊕的Choquet積分。

定理3.1 對(duì)任何單調(diào)測(cè)度μ，我們有以下關(guān)系式

證明：根據(jù)最右側(cè)度的定義，對(duì)任何單調(diào)測(cè)度μ，都有μ≤μ⊕，因此，結(jié)論是明顯的。

證明：對(duì)任取單調(diào)測(cè)度μ，若μ是超可加的，則有μ=μ⊕，且對(duì)任意Fα有：

μ(Fα)=μ⊕(Fα)

令f(α)=μ(Fα)，g(α)=μ⊕(Fα)，則這蘊(yùn)含著：

f(α)=g(α)(a.e.)

故有：

即：

證畢。

定理3.3 對(duì)任何單調(diào)測(cè)度μ，有

下面的例子將展示Choquetμ⊕積分的計(jì)算過程。

例3.1 假設(shè)謀個(gè)車間利有6名工人，他們的信息如下表1：

表1 工人名單I

現(xiàn)在要求合理安排工人，以最大產(chǎn)量為目標(biāo)工作。

情形1：現(xiàn)安排了一項(xiàng)緊急任務(wù)，需要工人們加班進(jìn)行生產(chǎn)。這項(xiàng)任務(wù)是一項(xiàng)聯(lián)合工作任務(wù)，每小時(shí)產(chǎn)量m1與參與人數(shù)正相關(guān)，定義為：

表3.1記錄了每一位工人的持續(xù)工作能力，當(dāng)工時(shí)超過能力上限時(shí)，工人將會(huì)退出生產(chǎn)工作。作為車間管理者，你該怎么做？得到的最大產(chǎn)量是多少？

由每小時(shí)產(chǎn)量m1與參與人數(shù)正相關(guān)，可知最優(yōu)安排為：盡可能的讓工人們一起工作，當(dāng)有人無法工作時(shí)，則退出，生產(chǎn)持續(xù)到最后一個(gè)工人退出。現(xiàn)可以使用最優(yōu)測(cè)度μ⊕的Choquet積分進(jìn)行計(jì)算。定義函數(shù)f為：

f={(工人編號(hào)，持續(xù)工作能力)}

并記工人編號(hào)“00i”為xi，X={x1，...，x6}，則最大產(chǎn)量即為：

+[4-3]·m1 ⊕(X{x1，x2，x3，x4})

+[5-4]·m1⊕(X{x1，x2，x3，x4，x5})

=46.5

對(duì)應(yīng)的工作安排為表2：

表2 情形1下的工作安排

情形2：現(xiàn)安排了一項(xiàng)緊急任務(wù)，需要工人們加班進(jìn)行生產(chǎn)。這項(xiàng)任務(wù)是一項(xiàng)獨(dú)立工作任務(wù)，每小時(shí)產(chǎn)量m2與參與人數(shù)負(fù)相關(guān)，定義為：

與情形1相同，當(dāng)工時(shí)超過能力上限時(shí)，工人將會(huì)退出生產(chǎn)工作。作為車間管理者，你該怎么做？得到的最大產(chǎn)量是多少？

由每小時(shí)產(chǎn)量m2與參與人數(shù)負(fù)相關(guān)，可知最優(yōu)安排為：盡可能的讓工人們獨(dú)立工作，當(dāng)有人無法工作時(shí)，則退出，生產(chǎn)持續(xù)到最后一個(gè)工人退出。可以使用最優(yōu)測(cè)度μ⊕的Choquet積分進(jìn)行計(jì)算。定義函數(shù)f為：

f={(工人編號(hào)，持續(xù)工作能力)}

并記工人編號(hào)“00i”為xi，X={x1，…，x6}，則最大產(chǎn)量即為：

=2·[m2({x1})+m2({x2})+…+m2({x6})]

+[3-2]·[m2({x3})+m2({x4})+m2({x5})+m2({x6})]

+[4-3]·[m2({x5})+m2({x6})]

+[5-4]·m2({x6})

=24+8+4+2

=38

對(duì)應(yīng)的工作安排為表3：

表3 情形2下的工作安排

情形3：現(xiàn)安排了一項(xiàng)緊急任務(wù)，需要工人們加班進(jìn)行生產(chǎn)。這項(xiàng)任務(wù)是一項(xiàng)特殊的工作任務(wù)，每小時(shí)產(chǎn)量m3與以下因素相關(guān)，<1>與參與人數(shù)正相關(guān)；

<2>與參與工人的協(xié)同度正相關(guān)；協(xié)同度：幾名工人同時(shí)進(jìn)行生產(chǎn)任務(wù)時(shí)，因工作習(xí)慣、工作經(jīng)驗(yàn)的不同，可能會(huì)對(duì)幾人的工作效率有所影響，協(xié)同度是對(duì)小組工作效率的度量，定義為：

P(A)=inf{p(xi，xj)|xi，xj∈A，A?X}

可將m3定義為：

當(dāng)工時(shí)超過能力上限時(shí)，工人將會(huì)退出生產(chǎn)工作。工人間的協(xié)同情況記錄在了表4中。

表4 工人協(xié)同情況

作為車間管理者該怎么做？得到的最大產(chǎn)量是多少？

由每小時(shí)產(chǎn)量m3的度量規(guī)則，可知最優(yōu)安排為：盡可能的讓協(xié)同度高的工人們共同工作，讓協(xié)同度低的工人獨(dú)立工作。當(dāng)有人無法工作時(shí)，則退出，生產(chǎn)持續(xù)到最后一個(gè)工人退出。人員每變動(dòng)一次，小組應(yīng)該動(dòng)態(tài)調(diào)整。可以使用Choquetμ⊕進(jìn)行計(jì)算。定義函數(shù)f為：

f={(工人編號(hào)，持續(xù)工作能力)}

并記工人編號(hào)“00i”為xi，X={x1，…，x6}，則最大產(chǎn)量即為：

=2·[m3({x1，x2})+m3({x3})+m3({x4})+m3({x5，x6})]

+[3-2]·[m3({x3})+m3({x4})+m3({x5，x6})]

+[4-3]·[m3({x5，x6})]

+[5-4]·m3({x6})

=15.5

對(duì)應(yīng)的工作安排為表5：

表5 情形3下的工作安排

由例3.1和最優(yōu)測(cè)度μ⊕的Choquet積分的計(jì)算原理，這個(gè)積分對(duì)應(yīng)著一個(gè)逐步淘汰不符合資格成員并逐步計(jì)算的過程。描述成員資格的變量可以有很多：如持續(xù)時(shí)間、存活時(shí)間、等級(jí)、資源持有數(shù)量等。故Choquetμ⊕是對(duì)符合資格的成員，在每一級(jí)資格上核算成員們的度量值并最終加和的計(jì)算方法。在允許動(dòng)態(tài)決策的情形中，最優(yōu)測(cè)度μ⊕的Choquet積分能更好的給出合適的核算結(jié)果與組合。

現(xiàn)以一個(gè)工作車間的例子展示Choquetμ⊕積分，Choquet積分和Wang積分三者的關(guān)系。

例3.2 假設(shè)車間有三名工人負(fù)責(zé)生產(chǎn)，記為x1，x2，x3。三人可以單獨(dú)工作，也可以合作工作。他們可能的工作組合與日生產(chǎn)量在下表6記錄[4]：

表6 工人組合與日生產(chǎn)量

其中，集合X={x1，x2，x3}代表三人共同工作，其子集對(duì)應(yīng)著不同的工人組合。φ代表沒有工人參與生產(chǎn)。

設(shè)μ是對(duì)工人組合的日生產(chǎn)量的測(cè)度。從表格數(shù)據(jù)可知，μ既是非可加的，也是非單調(diào)的。例如：

對(duì)組合{x1，x2}，有

μ({x1，x2})>μ({x1})+μ({x2})

意味著x1和x2能更好的合作生產(chǎn)；而對(duì)組合{x1，x3}，有μ({x1，x3})<μ({x1})+μ({x3})，μ({x1，x3})<μ({x3})，

意味著x1和x3不宜合作生產(chǎn)，甚至兩人組合的日生產(chǎn)量低于x3一個(gè)人的產(chǎn)量。

現(xiàn)假設(shè)x1，x2，x3有著不同的可生產(chǎn)時(shí)間，用函數(shù)f表示：

(1)假設(shè)x1，x2，x3同時(shí)開始且一起生產(chǎn)，則總生產(chǎn)量可以通過Choquet積分進(jìn)行計(jì)算：

=7·μ(X)+3·μ({x1，x2})+5·μ({x2})

=7×18+3×14+5×6

=198

這種管理模式下的生產(chǎn)量記為I1= 198，這也是Choquet積分的積分值，它的工人組合見表7、圖1。

(2)假設(shè)x1，x2，x3按一種盡可能多生產(chǎn)的管理模式進(jìn)行生產(chǎn)，則總生產(chǎn)量可以通過Wang積分進(jìn)行計(jì)算(結(jié)果為I2= 236)，并給出最優(yōu)工人組合，見表8、圖2。

表7 Choquet積分管理模式下的工人組合

圖1 Choquet積分管理模式下的工人組合

組合時(shí)長工人組合組合時(shí)長工人組合10{x1，x2}2{x3}5{x2，x3}

圖2 Wang積分管理模式下的工人組合

(3)假設(shè)x1，x2，x3按一種特定的管理模式進(jìn)行生產(chǎn)，工人組合如下表9、圖3：

表9 一種特定的管理模式下的工人組合

圖3 一種特定的管理模式下的工人組合

此時(shí)，總生產(chǎn)量I3=183。

(4)現(xiàn)假設(shè)x1，x2，x3同時(shí)開始，但每一天均以生產(chǎn)量最大的模式進(jìn)行生產(chǎn)，則可使用μ的最大最優(yōu)測(cè)度μ⊕代替μ進(jìn)行積分計(jì)算見表10：

表10 最大最優(yōu)測(cè)度μ⊕的值

此時(shí)，總生產(chǎn)量通過Choquetμ⊕積分進(jìn)行計(jì)算：

=7·μ⊕(X)+3·μ⊕({x1，x2})+5·μ⊕({x2})

=7×22+3×14+5×6

=226

這種管理模式下的生產(chǎn)量記為I4= 226，它大于Choquet積分的積分值I1= 198。

由各種管理模式下的計(jì)算結(jié)果，可知I2>I4>I1>I3。這說明表5.4中給出的特定管理模式不如Choquet積分的管理模式，而Choquetμ⊕積分的管理模式又是原Choquet積分的優(yōu)化形式。從總產(chǎn)量看來，Wang積分的管理模式是最佳的。不同積分下的管理模式有著不同的特點(diǎn)，Wang積分和Choquetμ⊕積分均可用于工作任務(wù)的最優(yōu)安排與度量。

4 結(jié)論

本文給出了Choquet積分的優(yōu)化形式Choquetμ⊕，即基于單調(diào)測(cè)度的最優(yōu)測(cè)度μ⊕的Choquet積分，討論了Choquetμ⊕積分，Choquet積分和Wang積分之間的關(guān)系。Choquetμ⊕積分是對(duì)符合資格的成員，在每一級(jí)資格上核算成員們的度量值并最終加和的計(jì)算方法，它對(duì)應(yīng)了一個(gè)逐步淘汰不符合資格成員并逐步計(jì)算的模型。其中成員資格可以由持續(xù)時(shí)間、存活時(shí)間、等級(jí)、資源持有數(shù)量等變量體現(xiàn)。故Choquetμ⊕積分在允許動(dòng)態(tài)決策且分階段核算的情形中，能很好的給出合適的核算結(jié)果與組合。從積分值來看，Choquetμ⊕積分一般總是大于Choquet積分。從管理的角度上看，這意味著Choquetμ⊕積分的管理模式是原Choquet積分的優(yōu)化形式，且前者能有更高的總產(chǎn)量。因此基于最優(yōu)測(cè)度的Choquet積分可用于工作任務(wù)的最優(yōu)安排與度量。

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