圓錐曲線中向量數(shù)量積定值問題解題策略的比較研究

崔艷

【摘要】圓錐曲線中的定值問題是高考中的熱門問題，本次研究通過例析的方式探討圓錐曲線中向量數(shù)量積定值問題的解決策略，希望從不同的思維途徑及解決路徑中找到解決此類問題的突破口，繼而讓學(xué)生掌握良好的分析及解決問題的能力。

【關(guān)鍵詞】圓錐曲線；向量數(shù)量積；定值

【中圖分類號(hào)】G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】B 【文章編號(hào)】2095-3089（2017）34-0269-01

圓錐曲線在高考當(dāng)中是壓軸題。在諸多圓錐曲線問題中，有一類定值問題是經(jīng)?？疾斓念}目，從根本上看，定值問題是一種綜合性問題，包括函數(shù)與方程、平面向量等；在形式上往往表現(xiàn)為向量的數(shù)量積或直線斜率不受變量影響等。為解決以上問題，文中引入了兩種策略：直線與橢圓聯(lián)立方程組與特值引人，由于解題路徑不同，一般思維及解題也不一樣，為此，有必要分析這兩種解題策略。

一、兩種解題策具體應(yīng)用分析

已知橢圓上三個(gè)不同點(diǎn)A、B、C，其中A點(diǎn)坐標(biāo)為（），B點(diǎn)坐標(biāo)為（-3，-3），C點(diǎn)處在第三象限，線段BC中點(diǎn)位于直線OA上。問題1，求解橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程？問題2求解C點(diǎn)坐標(biāo)？問題3如果P為橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，與點(diǎn)A、B、C不同，同時(shí)線段PB與PC各自和直線OA相交在M點(diǎn)和N點(diǎn)，驗(yàn)證為定值。

從一二步計(jì)算中得到橢圓方程，C點(diǎn)坐標(biāo)為（-5，-1）。

第一種求解方法：直線橢圓聯(lián)立方程組，需要注意一點(diǎn)：消去其中一個(gè)變量，聯(lián)立之前把x用y表示，然后把x消去，或者也可以把x1+x2，x1x2代入直線方程，便可以得到答案，如x1加x2怎么帶入直線方程，對(duì)是不是x一加x2合y一加y2這兩個(gè)點(diǎn)也在直線上，如直線方程為y=x+1，x1+x2=2，x1x2=1；那么y1=x1+1，y2=x2+1；y1+y2=x1+1+x2+1=（x1+x2）+2=4；y1y2=（x1+1）（x2+1）=x1x2+x1+x2+1=4；在這條直線上的是（x1，y1）和（x2，y2），通過此種方法對(duì)坐標(biāo)M與坐標(biāo)N進(jìn)行求解[1]。

對(duì)題目進(jìn)行分析，為驗(yàn)證為定值，只需驗(yàn)證它的坐標(biāo)和參數(shù)沒有關(guān)系。所以，通過P點(diǎn)坐標(biāo)來表達(dá)，證明此表達(dá)式和建設(shè)的P點(diǎn)坐標(biāo)沒有關(guān)系便可。建設(shè)P（m，n），為此，m2+2n2=27，

經(jīng)過求解得出PB：y+3=（x+3），PC：y+1=（x+5），經(jīng)過求解。

第二種求解方法：特值引入，通過特殊求解一般如有橢圓的一般方程AX2+BXY+CY2+DX+EY+1=0向橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程參數(shù)的特殊求解可獲得橢圓幾何中心Xc=（BE-2CD）/（4AD–B2），Yc=（BD–2AE）/（4AD–B2）。短半軸b2=2（AXc2+CYc2+BXcYc-1）/（A+C-（（A-C）2+B2）1/2），長半軸a2=2（AXc2+CYc2+BXcYc-1）/（A+C+（（A-C）2+B2）1/2），長軸傾角：θ=1/2arctan（B/（A-C）），這其中就應(yīng)用了特值引入的思想[2]。

分析：數(shù)學(xué)不單是理性思維的結(jié)果，同時(shí)也需要感性的一方面，因題制宜于各題目中選取不一樣的方法，這是短時(shí)間提高數(shù)學(xué)解題速度一種不可缺少的思維。所以，在選擇題或填空題條件下，需要對(duì)定值進(jìn)行求解時(shí)，無需按照以上理性分析來求解，通過特殊方式來求解一般方式，將P點(diǎn)作為特殊點(diǎn)，進(jìn)行求解講定P點(diǎn)坐標(biāo)為（-3，3），能夠得到PB的直線方程及斜率x=-3，kPC=2，如此，得出直線PC的方程是y=2x+9。經(jīng)一系列求解得到。

二、基于教師及學(xué)生角度的比較分析

在教師看來，這需要從下述三個(gè)層面進(jìn)行思考：怎樣設(shè)計(jì)課堂教學(xué)，讓學(xué)生容易聽懂；其次，教學(xué)中采用何種教學(xué)策略讓課堂容量更豐富。

首先，教學(xué)設(shè)計(jì)和思維流程性有一定關(guān)系，從這點(diǎn)看，明顯策略更容易教師開展教學(xué)設(shè)計(jì)，教師只需要遵照下述順序進(jìn)行指導(dǎo)便可：從題目中中線及線的位置能夠得到什么？（M，N的坐標(biāo)）；得到上述兩點(diǎn)坐標(biāo)后，會(huì)用這兩個(gè)坐標(biāo)做什么？（寫向量數(shù)量積）；向量數(shù)量積的表達(dá)如何獲得題目結(jié)論？（化簡表達(dá)式表明結(jié)果與設(shè)置的參數(shù)沒有關(guān)系）。很明顯，將第二種策略用作教學(xué)內(nèi)容，教學(xué)設(shè)計(jì)比較準(zhǔn)確，由于學(xué)生在這方面出現(xiàn)了思維上的盲區(qū)，所以，教學(xué)設(shè)計(jì)的首要任務(wù)是打通他們的思維盲點(diǎn)，使學(xué)生向量共線定理與題目進(jìn)行關(guān)聯(lián)，接著開展相關(guān)教學(xué)設(shè)計(jì)，比較以上兩種教學(xué)策略，特殊法的教學(xué)設(shè)計(jì)更為簡單，重點(diǎn)在特殊點(diǎn)的選取，這是教師需要關(guān)注的內(nèi)容。

其次，課堂推演和運(yùn)算有很大關(guān)系，分析上述運(yùn)算維度，可以獲知，策略1具有非常大的運(yùn)算量，課堂推演趨于復(fù)雜，消耗了較多時(shí)間，從提高學(xué)生運(yùn)算能力及應(yīng)試教育視角來看，策略1更容易讓學(xué)生掌握。

但從學(xué)生看來，首先是將問題分析出來，然后歸納為思維推進(jìn)，然后是如何計(jì)算，歸納成預(yù)算推進(jìn)。從思維推進(jìn)的順序性上，第二種策略比較合適，受適用情境限制，在解題當(dāng)中不適合使用。從運(yùn)算的量方面看，特值法的計(jì)算量是最小，普遍性不足，不可作為理論分析依據(jù)。

三、結(jié)束語

向量備受高考出題人的青睞，將它和圓錐曲線的一些知識(shí)聯(lián)系進(jìn)行命題，著重考察學(xué)生分析及解決問題的能力，在這些年的高考試卷中均有出現(xiàn)，所以，教學(xué)需要加強(qiáng)訓(xùn)練這部分知識(shí)，使學(xué)生于知識(shí)交匯處提高能力，豐富知識(shí)，滿足新課程改革需求[3]。在本次研究中，以上各策略在解決具體問題時(shí)均有優(yōu)勢，策略1容易思考，而存在運(yùn)算量不足的缺陷，策略2不斷具有思維優(yōu)勢，還有運(yùn)算優(yōu)勢，但受運(yùn)用情境的影響。

參考文獻(xiàn)

[1]熊德忠.多法破解圓錐曲線中向量數(shù)量積的最值問題[J].語數(shù)外學(xué)習(xí)（數(shù)學(xué)教育），2013，（2）：65.

[2]劉少卿.圓錐曲線中向量數(shù)量積定值問題解題策略的比較研究[J].數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2015（30）：50-51.

[3]劉瑞美.圓錐曲線中關(guān)于向量數(shù)量積的幾個(gè)性質(zhì)[J].中學(xué)數(shù)學(xué)雜志，2010（7）：38-40.