差比型數列前n項和公式

楊春猛

(云南省玉溪第三中學 653100)

一、問題的提出

處理高中數學中“等差乘以等比”型數列的主要方法是錯位相減法，在具體計算過程中計算方法是比較容易掌握的，計算化簡過程卻比較復雜，很多學生不容易計算出正確的結果，筆者針對這一問題推導出一個方便記憶和計算的公式，以方便大家使用.

二、公式

三、應用

設等差數列{an}的前n項和為Sn，a3=5，S5=25.

(1)求數列{an}的通項公式;

(2)設bn=an2an，求數列{bn}的前n項和Tn．

解(1)略.

(2)由(1)知，bn=an2an=(2n+1)22n+1=(4n+2)4n,

則Tn=6·41+10·42+14·43+…+(4n+2)4n，

4Tn=6·42+10·43+14·44+…+(4n+2)4n+1.

(*)

評析上述公式在使用時的技巧性在于分子的q2往上乘時，等差等比各乘一個q.

例2 設數列{an}的前n項和為Sn,a1=1，且對任意正整數n，滿足2an+1+Sn-2=0．

(1)求數列{an}的通項公式;

例3 已知數列{an}的前n項和為Sn,(an-Sn-1)2=Sn·Sn-1(n≥2),且a1=1,a2>0.

(1)求a2的值，并證明{Sn}的等比數列；

(2)設bn=(-1)nlog2Sn,Tn=b1+b2+…+bn,求Tn.

解(1)略.(2)由(1)知，Sn=4n-1.

∴bn=(-1)n(2n-2),

四、推導過程

cn=anbn，

所以Sn=a1b1+a2b2+a3b3+…+an-1bn-1+anbn

qSn=a1b2+a2b3+a3b4+…+an-1bn+anbn+1

所以c0=a0b0，就是cn中的n取0時的值.

參考文獻：

[1]藍云波. 差比型數列前n項和的三種求解方法[J]. 中學生數理化:高二高三版, 2016(1):8-8.

[2]于克清. 探究差比型數列求和的方法[J]. 中學數學教學參考, 2016(Z3):82-83.