數列從“三角”到“矩陣”的特殊構思

王蘇文

(浙江省諸暨市浬浦中學 311824)

“楊輝三角”是我國古代數學家的一個偉大成就，現在很多命題者都利用此結構進行命題.而“矩陣”是高等代數中的一個重要知識點，其定義為由m×n個數排成m行n列,并括以方括弧(或圓括弧)的數稱為m行n列矩陣,簡稱m×n矩陣，通常用大寫字母表示，如記作A，如表明它的行數和列數，可記作Am×n,有時也可記作A=[aij]m×n其中aij稱為矩陣第i行j列的元素，特別地，當m=n時，矩陣A稱為n階矩陣 (或n階方陣) ，也同樣被大多數命題者所相中.而數列的考查在這兩個的命題上尤為突出，下面以幾例來予以解析.

例1 (1)設{an}是集合{2t+2s|0≤s

將數列{an}各項按照上小下大，左小右大的原則寫成如下的三角形數表：

(ⅰ)寫出這個三角形數表的第四行、第五行各數；

(ⅱ)求a100.

3

5 6

9 10 12

— — — —

— — — — —

(2)設{bn}是集合{2r+2t+2s|0≤r

分析此題從其性質上看不象我們所見的楊輝三角，但考查意圖是圍繞楊輝三角進行設計.主要是讓學生找出其規律，并找出最終解決問題的辦法.

解(1)由于0≤s

第一行為：t=1,s=0,

第二行為：t=2,s=0t=2,s=1

第三行為：t=3,s=0t=3,s=1t=3,s=2

由此規律可發現：

第四行為：t=4,s=0t=4,s=1t=4,s=2t=4,s=3

即：第四行四個數為： 17 18 20 24

第五行為：t=5,s=0t=5,s=1t=5,s=2t=5,s=3t=5,s=4

即：第五行五個數為： 33 34 36 40 48

(2)由于a100表示這個三角形中的第100個數，根據上述規律可得：

(3)bk=1160=210+27+23,

因M={c∈B|c<210}∪{c∈B|210

現在求M的元素個數：{c∈B|c<210}={2r+2s+2t|0≤r

a1

a2a3a4

a5a6a7a8a9

a10a11a12a13a14a15a16

分析根據上述觀察可發現后一行比前一行的個數多兩個，故每行項數構成等差數列.

解A(10，8)所對應的項應是前9行的個數加上第10行的第8個即為所求.

變形2：已知一個數列{an}的各項是1或3,首項為1，且在第k個1和第k+1個1之間2k-1個3，即1，3，1，3，3，3，1，3，3，3，3，3，1，…．記數列的前n項的和為Sn．

(1)試問第2004個1為該數列的第幾項？

(2)求a2004；(3)求S2004；

(4)是否存在正整數m，使得Sm=2004？若存在,求出m的值；若不存在,說明理由.

分析：此題將第k個1與第k+1個1前的3記為第k對，即

(1，3)為第1對，共1+1=2項；

(1，3，3，3)為第2對，共1+(2×2-1)=4項；

故前k對共有項數為2+4+6+…+2k=k(k+1).如將上述看成一個楊輝三角的形式，那么解決問題可能就比較簡單了.

解(1)第2004個1所在的項為前2003對所在全部項的后1項，即為2003(2003+1)+1=4014013(項).

(2)由于44×45=1980，45×46=2070，故第2004項必夾在第45對內，且不是它的第1項，故其值必為3，即a2004=3.

(3)由(2)可知，前2004項中共有45個1，其余1959個數均為3，于是S2004=45+3×1959=5922.

(4)前k對所在全部項的和為Sk(k+1)=k+3[k(k+1)-k]=3k2+k．

易知，S25(25+1)=1900,S26(26+1)=2054，而S651=1901，且從第652項到第702項均為3，而2004-1901=103不能被3整除，故不存在m，使Sm=2004．

例2 下表給出一個“等差數陣”：

47( )( )( )…a1j…712( )( )( )…a2j…( )( )( )( )( )…a3j…( )( )( )( )( )…a4j………………………ai1ai2ai3ai4ai5…aij………………………

其中每行、每列都是等差數列，aij表示位于第i行第j列的數.

(1)寫出a45的值；(2)寫出aij的計算公式.

分析根據題目可知：每一個等差數列都是知道首項與第2項，故都確定.

解(1)顯然：a45=49.

(2)該等差數陣的第一行是首項為4，公差為3的等差數列，故a1j=4+3(j-1).

同理：第二行為a2j=7+5(j-1)故第i行是首項為4+3(j-1)，公差為2i+1的等差數列，因此：aij=4+3(j-1)+(2i+1)(j-1)=i(2j+1)+j.

變形1：已知右邊是一數陣，且a11=1，每行、每列都構成以-2為公比的等比數列(其中n是大于10自然數).aij表示位于第i行第j列的數.

(1)若aij=256，求在此數陣中值為256的共有多少個？并求i+j的值；

(2)求aij的下標滿足j+i≤n+1的項共有多少項？并求所有滿足上述條件的aij之和S.

分析由于每行、每列都構成等比數列，因此每一項都是確定的.

解(1)根據題意：

第一行依次為：1,-2,4,-8,16,-32,64,-128,256,…

第二行依次為：-2,4,-8,16,-32,64,-128,256,…

從中可發現規律：后一行是前一行去掉第一項即可，且i,j一個增大，一個縮小，但其和值不變.

因此在這個數陣中值為256的個數為9個，且i+j=10.

(2)S=a11+a21+a22+a31+…+a1n根據第一小題的結論可知：

S=a11+2a12+3a13+…+na1n,而a1n=(-2)n-1.

此時恰好構成等差與等比乘積的前n項和，采用錯項相消法.

-2S=-2a11+(-2)2a12+(-2)3a13+…+(-2)na1n

兩式相減得：

故所求得和

從上述幾個題目的解答可看出解決問題的關鍵是如何正確把握其變化的規律,平時的教學應當培養學生的創新精神和創造能力，讓學生自主探究知識，培養學生搜集和處理信息的能力、獲取新知識的能力、分析和解決問題的能力以及交流與合作的能力.作為數列在這兩個特殊環境——三角、矩陣中得以靈活的表現，將試題發揮的淋漓盡致.

參考文獻：

[1]人民教育出版社，課程教材研究所，中學數學課程教材研究開發中心. 普通高中課程標準試驗教科書( 必修) 數學5(A版)[M]. 北京:人民教育出版社，2014.