巧用“等號成立的條件”求值問題

蘇保明

(云南省蒙自市蒙自一中 (新校區) 661100)

求值問題是多年來高考命制題型的主要內容，由于其題型變化無窮，解決方法多種多樣，導致同學們求解起來有一定的難度.其中有一類求值問題是近年高考常考的熱點問題之一，在平時的解題中，只要認真分析、仔細思考，就一定能尋找到很多解題思路和方法.

這是一道蘊含著多種解題方法的好題，經過筆者認真思考和研究，給出下面幾種解法：

一、判別式法

二、利用結論“a2+b2+c2=0?a=b=c=0”

三、利用公式

四、向量法

解法4：設a=(x,y,z)，b=(1,2,3)，則由a·b≤|a|b|得

因為x2+y2+z2=1，所以x+2y+3z≤14，所以14≤14.

點評用向量法的關鍵就是正確構造向量a和b的坐標，并使得a·b≤|a||b|中出現x2+y2+z2和x+2y+3z才行.本題是利用向量不等式a·b≤|a||b|中等號成立的條件進行求解.有時向量法是解決某些特殊求值問題的一種新方法.

五、柯西不等式法

解法5 由柯西不等式，得(x2+y2+z2)(12+22+32)≥(x+2y+3z)2.

六、化圓法

解法6 由已知得x2+y2=1-z2，

點評構造圓方程解決此題運算過程較為復雜，但這種方法屬于通性通法，必須熟練掌握.

參考文獻：

[1]人民教育出版社，課程教材研究所，中學數學課程教材研究開發中心. 普通高中課程標準試驗教科書( 必修)數學4(A 版)[M]. 北京:人民教育出版社，2014.