花鍵軸扭轉變形及破壞分析

柴錫軍

(河南能源化工集團研究院有限公司，河南 鄭州 450046)

0 引 言

在工程實際中，有很多軸類零件都會受到扭轉作用，如汽車傳動軸、車床光桿等。但是還有一些軸類零件不僅僅受到扭轉作用，還會承受像彎矩等其他作用載荷，像機床傳動軸、電機主軸等，它們在載荷作用下常常會同時產生兩種或兩種以上的變形。我們常見的軸類零件大部分都是圓柱軸，但在一些特殊機械中會用到一些非圓截面軸，如方軸、花鍵軸、橢圓軸、齒輪軸等。

花鍵軸是機械傳動軸的一種，分為矩形花鍵軸和漸開線花鍵軸，都是傳遞扭矩的，在汽車、飛機、機床制造業、農業機械以及一般機械傳動裝置中應用非常廣泛。工作時，花鍵軸要承受扭轉作用，發生扭轉變形，但是對于花鍵軸以及一些非圓截面軸的扭轉變形及破壞規律很少有人深入研究。因此，研究花鍵軸在扭轉時的變形規律和應力具有十分重要的現實意義。

1 花鍵軸強度計算

對于一個花鍵軸，一端固定，在另一端施加一個力偶面與軸線垂直的的外力偶矩，即扭矩T。由于扭矩的作用，兩端面之間會出現相對角位移φ，也就是扭轉角。隨著扭轉角的增大，花鍵軸的鍵齒隨之發生變形，由直齒逐漸變成了斜齒，結構逐漸相似于蝸桿。為方便分析計算，現定義一虛擬螺旋角β，即花鍵鍵齒扭轉后的切線與通過切點的圓柱面直母線之間所夾的銳角。隨和扭轉加劇，其逐漸增大。由于虛擬螺旋角的存在使得花鍵軸在受到扭矩T作用時，軸橫截面上將會同時存在彎矩M和轉矩Me，并且：

M=T·sinβ；Me=T·cosβ

(1)

因此花鍵軸在扭矩作用下，會出現彎曲和扭轉的組合變形，產生彎曲應力σ和剪切應力τ。

1.1 彎曲應力計算

當花鍵軸上存在彎矩M時，其橫截面上任一點處正應力計算公式為：

(2)

1.2 剪切應力計算

由于花鍵軸是非圓截面軸，在受到轉矩Me作用時，如果無任何約束，花鍵軸發生翹曲。在實際應用中，由于支承元件的存在，可將花鍵軸看作一端固定，一端可以微小浮動，這種情況就是約束扭轉。在轉矩Me作用下，橫截面上任一點處切應力計算公式為：

(3)

1.3 強度計算

由于軸類零件一般都采用塑性材料，即鋼材，所以應選用第三或第四強度理論來建立強度條件，第三、第四強度理論的強度條件分別為：

(4)

對于鍵齒數為z的花鍵軸，取橫截面形心為原點，一條橫截面對稱軸為Y軸，則另一軸為Z軸，建立直角坐標系。在花鍵軸扭轉的過程中的Δt時間內，截面尺寸基本無變化，此時橫截面的慣性矩Iz和極慣性矩Ip可視為常量。

將式(1)分別代入式(2)和式(3)可得最大應力為：

(6)

(7)

式中：ra為花鍵軸的齒頂圓半徑。由上面的兩個公式可知：彎曲產生的最大正應力和扭轉產生的最大切應力理論上應在花鍵軸齒頂部分。

將式(6)和式(7)代入式(4)可得：

(8)

由上面兩式可知：在扭矩T的作用下，每一時刻橫截面上的最大應力與虛擬螺旋角β有關，且隨虛擬螺旋角的增大而增大。

2 數據計算

根據第三、第四強度理論條件可知：

σr3max≤[σ]；σr4max≤[σ]

(9)

將式(8)代入上式可得施加在花鍵軸上的最大扭矩分別為：

(10)

由于花鍵軸大多采用40Cr鋼，可查得其屈服極限σs≥785 MPa。又由于受彎扭作用的軸類零件的屈服安全系數一般為：ns=1.2～2，為使花鍵軸相對更加安全，取ns=2，則花鍵軸的最小許用應力為：

(11)

取齒數同為10的矩形花鍵軸和漸開線花鍵軸的一組尺寸。其中矩形花鍵軸截面尺寸取N×d×D×B為10×82×88×12,其中N為齒數，d為齒根圓直徑，D為齒頂圓直徑，B為鍵齒寬。為使齒頂圓直徑保持一致，對于漸開線花鍵軸參數取為：模數m=8，壓力角為30°，進而可得漸開線花鍵軸橫截面的其他尺寸，像齒頂圓直徑Dei=m(z+1)=88 mm；分度圓直徑D=mz=80 mm等。在軟件SolidWorks中分別繪制矩形花鍵軸和漸開線花鍵軸的三維模型如圖1所示。

圖1 矩形花鍵軸和漸開線花鍵軸三維模型

根據軟件“工具-截面屬性”可查得花鍵軸的慣性矩和極慣性矩如表1所列。

表1 花鍵軸的慣性矩和極慣性矩

將式(11)和上表中的數據代入式(10)可得花鍵軸在正常狀態下承受的最大扭矩。

對于矩形花鍵軸：

T3max是一常數，保持不變，與虛擬螺旋角無關。

T4max與虛擬螺旋角有關。

對于漸開線花鍵軸：

=17.841×103(N·m)

T3max也是與虛擬螺旋角無關。

T4max與虛擬螺旋角有關。

綜上所述，花鍵軸在安全工作狀態下所能承受的最大扭矩與虛擬螺旋角有關，兩者之間的關系如圖2和圖3所示。

圖2 矩形花鍵軸T-β關系圖 圖3 漸開線花鍵軸T-β關系圖

3 結 論

從實際出發，分析了花鍵軸在扭矩作用下的強度問題，通過上面的分析研究，有以下幾方面的結論：

(1) 在扭轉過程中，隨著虛擬螺旋角的逐漸增大，花鍵軸上將同時存在彎矩和轉矩。

(2) 通過計算可知，彎矩產生的正應力和轉矩產生的切應力均與虛擬螺旋角有關。

(3) 由最大應力公式以及圖2、3可知：花鍵軸橫截面上最大應力與虛擬螺旋角有關，并且隨著虛擬螺旋角的增大而增大；但是花鍵軸所能承受的最大扭矩卻隨著虛擬螺旋角的增大而減小。

也就是說，在恒定扭矩作用下，隨著虛擬螺旋角的增大，花鍵軸被破壞程度會越來越快；對于大徑相同的矩形花鍵軸和漸開線花鍵軸，矩形花鍵軸所能承受的最大扭矩比漸開線花鍵軸的要大，也就是說它的抗扭強度要比漸開線花鍵軸要好。

(4) 由最大應力與虛擬螺旋角的關系可得出：對于給定螺旋角的非圓截面軸，順著螺旋角方向扭轉至破壞所需時間要比反向扭轉時時間短；并且由于反向時螺旋角逐漸減小至零后又反向增大，所以變形量相對順向較大，但理論上無論是順向還是反向，其最大應力應基本相同。

通過計算與推導，我們得到花鍵軸橫截面最大應力與虛擬螺旋角的關系，為工程實際中花鍵軸和近似花鍵軸類零件的扭轉強度計算提供理論依據。

參考文獻：

[1] 劉鴻文.材料力學[M].第4版.北京：高等教育出版社，2004.

[2] 劉春美,孟立凡,鄭 賓.用雙向扭轉圓柱組合螺旋彈簧實現扭矩測試[J].山西機械,2003(2)：11-12.

[3] 成大先.機械設計手冊[M].第5版.北京：化學工業出版社,2008.

[4] 史厚強,張國海,王保民.少齒數齒輪軸扭轉變形及破壞分析[J].機床與液壓,2012,40(15)：60-61.

[5] 孫 恒,陳作模,葛文杰.機械原理[M].第七版.北京：高等教育出版社,2006.