基于解題方法的高考創新試題分類評價分析

陳諾

摘 要：近年來，創新試題總是經常出現在各地高考試題中，這類試題構思巧妙、材料新穎、導向明確，學生只有靈活運用所學數學知識和數學思想方法，才能有效的進行探究與分析，對出現的問題制定解決的方案，從而創造性地解決問題。

關鍵詞：高考；創新試題；分析；解決方案

近幾年高考數學試題突出了創新意識的考查，出現了大量的創新試題。何為數學創新試題呢？筆者認為數學創新試題是指相對于考生而言，在試題背景、試題形式、試題內容或解題方法，等方面具有一定的新穎性與獨特性的數學試題，其基本目的在于培養或診斷考生的數學創新意識與創新能力。本文基于解題的思想方法，總結出高考數學創新試題的常見的三大類：數形結合思想、特殊與一般思想、化歸與轉化思想。在以2012-2014年全國高考理科數學試題為例評析的基礎上，進行解后反新（即通過解題評析，達到反思創新）。

一、分布分析

二、典例評析

著名的數學家波利亞說得好：“數學問題的解決僅僅只是一半，而更重要的是解題之后的回顧與反思。”因此筆者對以下典例解答后，反思其解題思想方法的創新之處，即解后反新。以求達到對往后高考創新題在解題思想方法的創新上起到拋磚引玉的作用。

2.1 數形結合思想

例1（12北京8）某棵果樹前n年的總產量Sn與n之間的關系如圖所示。從目前記錄的結果看，前m年的年平均產量最高，m的值為（ ）

A.5 B.7

C.9 D.11

解題思路 由已知圖象表示某棵果樹前n年的總產量Sn與n之間的關系，可分析出平均產量的幾何意義為原點與該點連線的斜率，結合圖象可知n=9時，直線的斜率最大，即前9年的的年平均產量最高。

解后反新 本題以函數的圖像與圖像變化為載體考查了斜率的幾何意義，其創新之處在于斜率考查方式的新穎性，考生需由斜率的幾何意義入手，根據圖像的變化情況，尋找斜率的最大值。對于函數及其斜率的幾種不同表達方式，考生應當做到熟練轉換，因此，本題在一定程度上考查考生數形結合的能力。

例2（12浙江理17）設a∈R，若x>0時均有

，則a= .

解題思路 易知 .因x>0時，

恒成立，令 ，

，即

恒成立，由于兩個函數圖像都過點 ，用數形結合思想知， 表示的直線斜率為正，且與x軸的交點

在拋物線 上（如圖所示）.所以

，注意到a >1，解得 .

解后反新 本題考查含參數的函數不等式恒成立問題，其解法大多是“最值法”、“分離參數法”以及大學數學的二階導數、洛必達法則求極限等知識和方法。而本題的創新之處在于其解題方法有相當的開放性與發散度，本題采用數形結合的思想，很好地考查學生靈活應用數學知識和數形結合的能力。

2.2特殊與一般思想

例3（12浙江理17）設a∈R，若x>0時均有

，則a= .

解題思路 由x在 的任意性，取x=2時，題目中的不等式任然成立，即 ，所以 ，

得到 .

解后反新 本題解題方法的創新之處在于用特殊值法去解含參數不等式恒成立問題，解法新穎、巧妙，很好地考查了特殊與一般思想.

例4（13福建15）當x∈R， 時，有如下表達

式：

兩邊同時積分得：

從而得到如下等式：

請根據以下材料所蘊含的數學思想方法，計算：

解題思路 設

，于是

，所以

解后反新 本題考查定積分、二項式定理等基礎知識，利用特殊與一般思想解題.以往應用該思想方法大多是把一般問題特殊化，從而簡化計算，最終解決問題.而本題的創新之處在于解題方法的獨特性——一般化，在解答過程中先采用類比推理思想，將特殊問題一般化，再通過解答一般問題，反過來解答特殊問題，達到將特殊與一般的靈活轉化，從而達到化難為易的效果.

2.3化歸與轉化思想

例5（13全國Ⅰ12）設 的三邊分別為an，bn，cn，

的面積為Sn，n=1，2，….若b1>c1，b1+c1=2a1，an+1=an，bn+1=

，cn+1= ，則（ ）

A. 為遞減數列 C. 為遞增數列， 為遞減數列

B. 為遞增數列 D. 為遞減數列， 為遞增數列

解題思路 由題意可知

an+1=an=…=a1，因為

，所以

，

即 . 所以 是以 為長軸，以 為焦距，以Bn，Cn為焦點的橢圓的焦點三角形.又由于b1>c1，所以 的形狀和位置如圖所示：

因為

，所以 ，

當 時， ， .所以，點An的位置無限趨近于橢圓的短軸端點P，所以 的高hn單調遞增，又因為 單調遞增， 所以是遞增數列。

解后反新 本題考查由遞推公式求通項公式、新定義幾何數列的單調性以及面積公式等數學知識。以往判斷一般數列單調性的方法是作差法、作商法或求導法（數列問題轉化為函數問題），本題的創新之處在于其解題方法的奇妙性，通過化歸與轉化將 轉化為橢圓的焦點三角形，將求Sn的單調性轉換成求以BnCn為底的 高的單調性，從而精簡計算，體現化歸與轉化思想的巧妙與強大。

三、思考與展望

縱觀近三年的高考理科數學創新題，不難發現創新試題重在考查對知識理解的準確性、深刻性及知識的綜合靈活運用。它著眼于知識點新穎巧妙組合的同時，加強對解題思想方法的考查。數學思想方法是從數學內容中提煉出來的數學知識的精髓，是將知識轉化為能力的橋梁，有著廣泛的應用，是歷年高考創新題結合考查的重點。

與此同時，近三年的高考理科數學創新題的解題方法大都以數形結合思想、特殊與一般思想和化歸轉化思想為主，在未來的高考創新題中應該給予適當的重視。

參考文獻：

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