基于一種加權組合模型的婁底市糧食總產量預測

唐慶 陳國華 李軍成 汪聰林

[摘要]為了對婁底市糧食總產量進行有效的預測，將多項式擬合模型、平滑指數模型、灰色GM（1，1）模型等3種常用的預測模型進行線性組合，構建了一種用于婁底市糧食總產量預測的加權組合模型。結果表明，采用加權組合模型預測的平均相對誤差較小，具有較高的預測精度，從而為糧食產量預測問題的研究提供了一種有效方法。

[關鍵詞]糧食產量;預測;多項式擬合;平滑指數;灰色系統;加權組合

[中圖分類號]F326.11[文獻標識碼]A

糧食產量關系到國家的穩定與發展。對糧食產量進行科學的預測，不僅可以為國家或地區的糧食問題研究提供一定的決策依據，而且對糧食生產和糧食安全也有著重要的意義。因此，如何對糧食產量進行有效的預測一直以來都是國內學者研究的重要問題。

為了實現對糧食產量的定量預測，許多學者都利用數學方法來構造相應的預測模型。例如，李炳軍等與李軍成等為了避免單一灰色預測模型與線性回歸預測模型的不足，分別構建了用于糧食產量預測的灰色線性回歸組合模型;周永生等針對廣西糧食產量預測問題，利用多元線性回歸模型進行了研究;向昌盛等與陳煥珍考慮到糧食產量的多種復雜因素，將灰色預測模型和馬爾科夫模型進行融合，分別構建了用于糧食產量預測的灰色馬爾科夫模型;何延治利用時間序列分析來構造預測模型，并利用該模型對吉林省糧食產量進行了有效的預測;楊克磊等利用灰色GM（1，1）模型對我國糧食產量進行了中短期預測;程東亞等通過數據分析建立了亳州市糧食產量預測的對數模型;黃彭等根據四川省糧食產量的數據特點，構建了一種基于弱化緩沖算子的灰色預測模型;馬云倩等通過不同模型的預測結果進行對比分析，最后采用了LASSO-GM（1，N）模型對我國糧食產量進行預測。

雖然不同學者提出了各種各樣的糧食產量預測模型，但由于不同地區的樣本數據特點各不相同，同一模型對不同地區糧食產量的預測效果可能會有較大的差別，因此對不同地區的糧食產量進行預測應建立相應的模型。婁底市位于湖南省的地理幾何中心，是湖南省“長株潭”城市群的一個重要組成部分，被譽為“湘中明珠”，對婁底市的糧食總產量進行有效的預測具有重要的現實意義。本文將多項式擬合模型、平滑指數模型、灰色GM（1，1）模型等3種常用的預測模型進行線性組合，構建了一種加權組合預測模型，并利用該模型對婁底市的糧食總產量進行了有效的預測。

1? ? 三種常用的預測模型簡介

1.1? ? 多項式擬合模型

多項式擬合的基本原理是利用一個多項式去逼近給定的數據點，且要使得多項式曲線在最小二乘準則下離所有數據點盡可能近，從而得到反映數據整體變化趨勢的函數關系式。給定數據點，設多項式擬合模型：

（1）

利用最小二乘法可得線性方程組：

通過求解上述方程組可得系數，從而由式（1）中可得多項式擬合模型。

1.2? ? 平滑指數模型

平滑指數模型預測的基本原理是當期的指數平滑值都是本期實際觀察值與上期指數平滑值的加權平均。根據次數不同，平滑指數模型分為一次平滑指數模型、二次平滑指數模型與三次平滑指數模型。這里采用三次平滑指數模型。

對于預測周期為T年、基年為第t年，三次平滑指數模型為：

（2）

式中，為指標預測值，、、的計算公式為：

其中，為i次平滑指數值，為實際值，為平滑系數。

利用三次平滑指數模型進行預測時，若原始數據較少，則將最初三期的均值作為初始值、與，且，否則選用第一期的觀察值作為初始值、與;當原始數據波動較小時，一般將平滑系數取為0.1～0.3，否則一般將平滑系數取為0.6～0.8。

1.3? ? 灰色模型

GM（1，1）模型是最為常見的一種灰色模型，其主要思想是通過一階微分方程來揭示數據的內部規律。設原式數據為：

，

其中，。

將原始數據進行一次累加，得序列：

，

其中，。

令，其中，，則GM（1，1）模型的基本形式為。若記，則利用最小二乘法可求得參數a與b為，其中：

，。

最后通過累減還原，的原始數據序列的預測模型為：

，? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（3）

2? ? 加權組合預測模型的建立

在實際應用中，雖然可直接利用多項式擬合模型、平滑指數模型以及灰色模型都可用于對樣本數據進行預測，但單一的預測模型可能會在因素與函數關系方面存在一定的弊端，使得預測效果不太理想。因此，為了進一步提高預測精度，將多項式擬合模型、平滑指數模型、灰色模型等三種模型進行線性加權組合，構造出如下預測模型：

（4）

式中，分別為多項式擬合模型、平滑指數模型、灰色模型的預測值，為各模型的權重，且滿足。

獲得后，若要利用式（4）計算得到最終的預測結果，還需要確定權重的取值。常見權重確定方法包括算術平均法、方差倒數法、均方差倒數法等。這里采用方差倒數法來確定權重，即對誤差平方和較好的單一預測模型賦予較大的權重，而對誤差平方和較大的單一預測模型則賦予較小的權重，其具體計算方法為：

，? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （5）

式中，為第i個單一模型的誤差平方和。

3? ? 婁底市糧食總產量預測

以湖南省婁底市2005～2017年的糧食總產量統計數據為研究樣本，如表1所示。

為了比較不同模型的預測精度，下面將表1中2005～2012年的糧食總產值數據作為輸入樣本，利用預測模型對2013～2017年的糧食總產量進行預測，并與真實值進行對比。

對輸入樣本數據進行多項式擬合，通過實驗對比發現二次多項式擬合的效果較好，因此選用二次擬合多項式進行糧食總產量的預測。利用輸入樣本數據根據式（1）可建立二次多項式擬合預測模型為：

（6）

建立滑指數預測模型時，由于給定的原始數據較少，故將最初三期的均值作為初始值且滿足;另外，通過觀察發現原始數據波動較小，故將平滑系數取為0.2。于是，利用輸入樣本數據根據式（2）所建立的平滑指數預測模型為：

（7）

利用輸入樣本數據利用式（3）建立的灰色預測模型為：

（8）

根據式（6）～（8）計算出多項式擬合預測模型、平滑指數預測模型、灰色預測模型等3種單一預測模型在2013～2017年的糧食總產量（結果如表1所示）后，利用式（5）可計算出加權組合預測模型的權重為，，。從而，利用式（4）可得加權組合預測模型為：

（9）

分別利用式（6）～（9）計算可得二次多項式擬合模型、平滑指數模型、灰色模型、加權組合模型等4種預測模型2013～2017年的糧食總產量預測結果如表2所示。

由表2可知，加權組合模型的預測精確明顯要高于其它3種單一預測模型。因此，下面利用式（9）表示的加權組合預測模型對婁底市未來5年的糧食總產量進行預測，結果如表3所示。

由表3可知，婁底市未來5年的糧食總產量相對比較穩定，每年的糧食總產量維持在160萬t左右。

4? ? 結語

為了對婁底市糧食總產量進行有效預測，本文將多項式擬合模型、平滑指數模型、灰色GM（1，1）模型等3種常用的預測模型進行線性組合，構建了一種加權組合預測模型，其權重采用方差倒數法進行選取。采用加權組合模型對婁底市糧食總產量進行預測的平均相對誤差相對較小，具有較高的預測精度。對于其他地區的糧食總產量預測，也可嘗試使用本文給出的加權組合模型進行研究。

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