都是定義域“惹”的“禍”

高磊

[摘 要] 對口單招高考數(shù)學(xué)有關(guān)函數(shù)考題，學(xué)生常因忽略了定義域?qū)е鲁鲥e失分.在單招高考數(shù)學(xué)函數(shù)復(fù)習(xí)中有針對性地訓(xùn)練學(xué)生牢固樹立“定義域優(yōu)先”意識，數(shù)學(xué)對口單招考試成績有效提升，考生質(zhì)疑辨析能力大幅提高，有利于學(xué)生良好的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)培養(yǎng)，有利于學(xué)生思維能力的提高，最終達到學(xué)生思維創(chuàng)造性的培養(yǎng)。

[關(guān) 鍵 詞] 單招高考；函數(shù)；定義域；優(yōu)先原則

[中圖分類號] G712 [文獻標志碼] A [文章編號] 2096-0603（2018）08-0142-02

函數(shù)是對口單招高考數(shù)學(xué)最基本的內(nèi)容之一，函數(shù)思想貫穿于整個對口單招數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的始終.函數(shù)三要素對應(yīng)法則、定義域、值域，定義域是研究函數(shù)時不可忽略的一個重點，是函數(shù)最本質(zhì)的特征，在解決問題過程中，如果忽視函數(shù)的定義域，常常會事倍功半，甚至誤入歧途.對口單招考試在函數(shù)問題研究中學(xué)生常常因忽略了定義域，導(dǎo)致不知不覺中“犯錯”，常常對此感到懊惱，認為自己“太粗心了”.究其原因都是忽略定義域“惹”的“禍”，下面結(jié)合對口單招迎考復(fù)習(xí)過程中的實例剖析錯因，歸納在函數(shù)復(fù)習(xí)過程中“定義域優(yōu)先”原則的應(yīng)用，強化學(xué)生關(guān)注定義域的解題意識，切實解決“粗心”問題，提升復(fù)習(xí)成效.

一、求函數(shù)值域時應(yīng)優(yōu)先研究“定義域”

例1 求函數(shù)y=4x-5+■的值域.

錯解：令t=■，則2x=t2+3.

∴y=2（t2+3）-5+t=2t2+t+1=2（t+■）2+■≥■.

故所求的函數(shù)值域是[■，+∞）.

解析：經(jīng)換元后，應(yīng)有t≥0，而函數(shù)y=2t2+t+1在[0，+∞）上是增函數(shù)，

則t=0時，ymin=1.

所以原函數(shù)值域為[1，+∞）.

評注：許多數(shù)學(xué)問題的求解出錯都是因忽略了函數(shù)的定義域，優(yōu)先考慮定義域有利于理清解題思路，啟迪線索.

二、研究函數(shù)單調(diào)性時“定義域”優(yōu)先

例2 函數(shù)f（x）=ln（4+3x-x2）的單調(diào)遞減區(qū)間是

.

錯解：[■，+∞）

分析：在定義域（-1，4）內(nèi)研究單調(diào)區(qū)間，正解[■，4）.

例3 若f（x）=log2（3-ax）在區(qū)間[1，2]上遞減，求a的范圍.

錯解：由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性知f（x）=log2（3-ax）在區(qū)間[1，2]上遞減，則有a>0.

分析：f（x）=log2（3-ax）在區(qū)間[1，2]上遞減時蘊含著f（x）=log2（3-ax）在區(qū)間[1，2]上有意義，即a>03-ax>0對x∈[1，2]恒成立，則a>0a<■min，解得0

例4 （2013年江蘇對口單招22題） 設(shè)二次函數(shù)f（x）=ax2+（b-2）x+2b-3a是定義域在[-6，2a]上的偶函數(shù).

（1）求a，b的值；

（2）解不等式（■）f （x）>2-2x；

（3）若函數(shù)g（x）=f（x）+mx+4的最小值為-4，求m的值.

解析：（1）函數(shù)f（x）在[-6，2a]上為偶函數(shù)，優(yōu)先考慮定義域關(guān)于原點對稱，則得a的值；（2）略；（3）學(xué)生在求函數(shù)g（x）的值域時容易誤認為定義域為R，忽略f（x）的定義域而導(dǎo)致在解題過程中分析問題不全面，造成無謂丟分.

評注：在研究有關(guān)問題中有定義域優(yōu)先原則的意識，能夠充分挖掘題目中的隱含信息即定義域優(yōu)先原則有“顯隱功能”.

三、研究函數(shù)奇偶性時“定義域”優(yōu)先

例5 判斷函數(shù)f（x）=（x+1）■的奇偶性.

解：要使f（x）有意義，則■≥0，解得-1

很好地巧用函數(shù)的定義域優(yōu)先法則，既提高了解題思維的敏捷性，又可以避免復(fù)雜的變形與討論，使問題簡潔獲解.

例6 判斷函數(shù)f（x）=■的奇偶性.

解：因為函數(shù)定義域為[-■，0）∪（0，■]關(guān)于原點對稱，

所以f（x）=■，則f（-x）=-f（x），所以函數(shù)f（x）為奇函數(shù).

評注：在研究有關(guān)問題中有定義域優(yōu)先原則的意識，能夠充分挖掘題目中的隱含信息即定義域優(yōu)先原則有“化簡功能”.

四、研究極值、最值時“定義域”優(yōu)先

例7 若函數(shù)f（x）=x+■+ln x，試討論函數(shù)f（x）的極值存在情況.

解：f ′（x）=1-■+■=■（x>0） 令g（x）=x2+x-a，

因為g（x）對稱軸x=-■<0，所以只需考慮g（0）的正負，

當g（0）≥0即a≤0時，在（0，+∞）上g（x）≥0，即f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增，無極值.

當g（0）<0即a>0時，g（x）=0在（0，+∞）是有解，函數(shù)f（x）存在極值.

綜上所述：當a>0時，函數(shù)f（x）存在極值；當a≤0時，函數(shù)f（x）不存在極值.

例8 求函數(shù)f（x）=sin x+■，x∈（0，π）的最小值.

解析：本題若忽略定義域特別是sin x∈（0，1]，換元后容易誤用基本不等式求最小值.實質(zhì)上換元后用導(dǎo)數(shù)法判斷單調(diào)性，由單調(diào)性求最值.

評注：若忽略定義域則需繁雜的討論，解題中需充分挖掘定義域的“顯隱功能”.

五、研究函數(shù)在實際問題應(yīng)用中“定義域”優(yōu)先

在用函數(shù)方法解決實際問題時，必須注意到函數(shù)定義域不僅要滿足函數(shù)關(guān)系式有意義，還要滿足實際問題本身有意義即實際問題對函數(shù)定義域的影響.比如函數(shù)自變量為人數(shù)時，就要考慮定義域為某個范圍內(nèi)的整數(shù)。

六、解對數(shù)不等式時“定義域”優(yōu)先

例9 解不等式log2（8-2x-x2）≤3.

錯解：∵log2（8-2x-x2）≤log28

∴8-2x-x2≤8，得不等式解集為（-∞，-2]∪[0，+∞）.

因忽略定義域，而容易導(dǎo)致以上錯解，解對數(shù)不等式應(yīng)在定義域的范圍內(nèi)求解即所求范圍與定義域取交集.因此在解對數(shù)不等式時，要有定義域優(yōu)先原則的應(yīng)用意識.

綜上，在求解函數(shù)的解析式、值域、單調(diào)性、奇偶性等有關(guān)問題中，要密切關(guān)注函數(shù)的定義域，牢固樹立“定義域優(yōu)先”意識.先研究挖掘隱含條件對函數(shù)定義域是否有影響，對解題過程是否有影響，有利于學(xué)生質(zhì)疑辨析能力的提升，有利于學(xué)生思維品質(zhì)的培養(yǎng)，逐步培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，最終實現(xiàn)學(xué)生思維的創(chuàng)造性培養(yǎng).