中學數學教學中換元法思想的培養

楊建奇 朱雯婷

摘要：論文針對如何在教學中培養換元法思維進行研究。為更好的讓學生認知和接受換元法，教師在數學教學中應當以簡單明了的方式去引入換元法。要通過啟發性、典型性、和創造性的范例教學引導學生掌握換元法的基本步驟和規律，要始終把換元法與化歸思想的作為一個整體進行教學。

關鍵詞：換元法;范例教學;化歸思想

新課標明確了數學教學的總目標是通過數學學習，學生應能夠獲得適應未來社會生活和進一步發展所必需的重要數學知識、基本的思想方法以及一些必要的數學應用技能。在眾多重要的數學方法中，換元法是其中重要的一種換元法是其中重要的一種，它在中學數學解題中應用普遍，不易掌握。在中高考中，考察換元法的考題也層出不窮。在中學數學教學中采取何種教學方法和收到來達到這個目標，教會學生熟練掌握換元法？換元法從本質上講就是轉化思想在解決問題中的一種具體表現。通過換元將未知問題轉化為熟知問題，將復雜問題簡單化，從而使問題得到解決。

換元法在中學數學中無處不在，是一種非常實用的解題方法。因此，在中學數學教學中應該很好地加以培養轉化和化歸思想，讓學生熟練地加以掌握換元法，進而提高學生的學習興趣和綜合思維能力。筆者認為，應該從以下幾個方面注意培養學生換元法的理解與運用。

1 明確基本要求，滲透“層次”培養，以簡單明了的方式引入換元法

《數學大綱》將中學數學中滲透的數學思想、方法劃分為 “了解”、“理解”和“會應用”三個層次。換元法所體現的化歸思想，沒有明確提出，卻滲透在學習新知問題解決的過程中，應歸屬于“了解”這一層次。但對其要求卻是“理解”和“會應用”。因此，在教學中，要認真把握好這三個層次的不同要求，不能隨意提高思想與方法的所處層次。否則，由于數學思想和方法的抽象性和理論性，過高的要求會導致學生失去學習信心，從而喪失學習興趣。在教學中，教師應牢牢地把握住 “度”，不能隨意提高知識學習要求。否則，學生的效果將是事倍工半、得不償失。教學中教師的作用往往是通過簡單易懂的例題教學來體現數學思想和數學方法，讓學生在不知不覺中體味數學方法，領會數學思想。如分式方程是學習整式方程后的一個后繼學習內容，是整式方程解法的運用和延伸，學生容易理解這些類型的方程，作為教師一定要抓住這一契機，訓練學生的換元思維，以培養學生的數學興趣。

例1 解方程 x2=6x2-x+x-1。

本題如直接去分母，將出現四次方程，由學生現有知識顯鐵飯碗無法解答，如果引導學生變形成x2-x+1=6x2-x，發現x2-x是整體出現的，可用換元法設x2-x=y，則這個方程化為整式方程y2+y+1=0，學生很容易解出結果，也就容易掌握這種換元的方法。盡管題目簡單，但卻使學生發現還原法的重要作用，掌握了換元的基本思路，領會了換元的思想。

從這一例子還可以看出，對于較復雜的式子，需要學生冷靜思考、認真分析抓住問題的特征，而換元有時能使問題的關系明朗化、簡單化，很容易讓學生體會到解題的樂趣。因此，只要明確教學的基本要求，從“了解”、“理解”到“會應用”這三個層次逐漸滲透，就會讓學生慢慢體會到這一方法的重要作用，進而注意學習和應用。下面列舉兩例，以說明掌握換元法的重要性。

例2設x=5-12，求1+x1+x+1-x+1-x1+x2-1+x的值。

本題直接化簡求值十分繁瑣，如果注意于1-x，1+x，1-x2，1-x這些式子間的關系，換元后化簡求值就簡便得多。

解：設1+x=A，1-x=B，則

原式AA+B+B2AB-B2=AA+B+BA-B=A2+B2A2-B2=1x。故，原式=-1-52。

2 通過范例和解題教學，引導學生掌握換元法步驟和規律

在教學中要通過例題講解和練習及其反思活動，從解題教學和習題寫作中總結歸納解題方法;從換元法教學角度上講，教學中應充分發揮換元方法在發現解題方向和方法選擇、聯想和轉化功能，觸類旁通，舉一反三，以靈活運用各種數學知識和方法去分析解決問題。范例教學中所選擇的例題和練習要具有一定的啟發性、典型性和創造性。同時范例的設計和選擇要注意探索性要求，要能夠體現一般規律和特殊規律。在分析和思考的過程中展示問題轉化思想和換元方法，提高學生的發散思維能力。例如，對某些問題，要尋求一題多解，要引導學生盡可能運用多種換元方法，從各條途徑尋求答案，找出最優方法，培養學生的換元變通性;對某些問題可以進行由簡到繁、由特殊到一般的推論，讓學生大膽聯系和猜想，培養其思維的廣闊性;對某些特殊問題可以分析其條件和結論的特殊性，跳出慣性思維的影響和束縛，培養學生思維的靈活性;對一些條件、因素較多的問題，要從總體上把握問題和結論，要引導學生全面、系統的綜合各個條件，培養其橫向思維，拓展思路解決問題等等。此外，還要引導學生通過例題學習、自主練習后進行反思，優化解題過程，總結換元規律和經驗，養成問題轉化思想。

例3解方程（x2+1）2=x2+3

應該先從基本的方法的入手，把方程展開成標準的雙二次方程，再對x2進行換元。

然后可以引入思路2：以x2+1為一個整體進行換元，因此要對方程右邊進行變形使其含有x2+1。然后對x2+1進行整體換元。

由此，可以從易到難，采用多種換元方法，拓展學生的換元思路。換元法的解題關鍵是根據題目結構形式及相關數學性質恰當選擇新變量，發現或構造新元，在“等量代換”的轉換中把復雜的問題應刃而解。

3 通過“換元方法”去了解“化歸思想”，利用“化歸思想”來指導利用“換元方法”

中學數學中的數學思想和方法的內涵與外延，目前尚無明確的界定。其實，在中學數學中，許多數學思想和方法相輔相成，又相互蘊涵，他們是一致的，兩者之間很難分割。思想是屬于數學觀念一類的東西，比較抽象，而數學方法較具體，是實施有關思想的技術手段。在中學數學教學中，加強學生對數學方法的理解和應用，以達到對數學思想的了解，是使數學思想與方法有效融合的一種有效方法。換元法所體現的化歸思想，貫穿于整個中學數學的學習之中，具體表現為從未知到已知、一般到特殊、局部與整體的轉化等。在教學中，通過對換元法的學習和應用，使學生逐步領略內含于這一方法之中的化歸思想，同時，在相互轉換的化歸思想指導下，又可以進一步深化學生對換元方法的理解和運用。這種“方法”與“思想”的珠聯璧合，互聯互通，將創新思維和創新精神融合于日常的教學之中，一定能取得較好的教學效果。如簡單高次方程是在學習一元二次方程后的一個后續內容，既是一元二次方程解法的運用，也是培養學生轉化與化歸思想的重要教學內容，而其中換元法是轉化與化歸的重要手段。通過換元、降次將高次方程化歸為一元二次方程，從而總是問題易解。

例4 解方程（x2+5x+4）（x2+5x+6）8=0

解：設x2+5x+4=y， 則原方程可化為y（y+2）-8=0。從而可以簡單求解。

4 總結

綜合以上思考，筆者認為，在教學中教師應該更全面地重視換元法這一基本知識和基本技能，它不應該僅限于現成的公式和知識的直接套用。公式和知識的套用是最低的、普通的層次。在很長一段時間以來，我們的數學解題實際上是流于形式的演算和形式推理，基本上形成讓學生記住知識點，然后單純運用知識點訓練解各種類型習題的模式。而從換元法的熟練運用中，可以看出，這種具體的數學操作方法是將問題轉化后，得以快速解決的，這個化歸和轉換的過程，就是思維創新的過程，是培養學生創新意識和創新能力的一種有效途徑。因此要根據課程教學大綱和課程教學計劃，以數學知識為載體，按照啟發—吸收—消化—發展的認知發展規律有步驟地培養學生對于換元法的熟練運用，并在內容組織和設計上不斷豐富和完善數學思想的理念和觀點，在知識、技能與數學思想方法之間建立一個有機的結合，形成一個完整的學習認知和應用系統。換元法不僅存在于數學學習中，它在其他學科和解決實際問題時也處處可見。換元轉化的思想就是辯證唯物主義“事物在一定條件下可以相互轉化”的思想的一種具體體現。將轉化、換元的思想方法的教育滲透到解題教學中，培養學生分析解決問題的能力及學生的核心素養中，是達到素質教育的重要手段之一。

參考文獻：

[1]羅杰.例談“換元法”解題思想的培養[J].當代中小學教育文刊，2011，（6）.

[2]韓建芳.新課標下中學數學思想教學芻議[J].素質教育論壇，2009，（1）.

[3]曾俊.如何在課堂教學中滲透數學思想[J].數字化用戶，2017，（34）.

[4]張力瓊.初中數學教學中滲透數學思想方法的教學策略研究[D].西北師范大學，2007.

項目資助：湖南科技學院教改項目（XKYJ2017002）;湖南省教育廳重點研究項目（17A080）;2016年湖南科技學院轉型發展試點專業——數學與應用數學專業（XKYJ2016005）

作者簡介：楊建奇（1971），邵陽人，博士，副教授，現從事概率統計的教學與研究工作。