積分上限函數(shù)的研究與應(yīng)用

高吉　賈文太

摘要：積分上限函數(shù)是高等數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要概念，本文通過(guò)推導(dǎo)給出幾類(lèi)積分上限函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，并通過(guò)例子說(shuō)明其應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：積分上限函數(shù)；導(dǎo)數(shù)；應(yīng)用

在一元函數(shù)積分學(xué)中，為證明原函數(shù)存在定理及牛頓—萊布尼茲公式，引進(jìn)積分上限函數(shù)的概念。下面我們?cè)诮o出積分上限函數(shù)的基礎(chǔ)上，討論它的應(yīng)用。

一、積分上限函數(shù)的定義

定義：設(shè)函數(shù)f（x）在區(qū)間[a，b]可積，則對(duì)于每一個(gè)取定的x∈[a，b]，對(duì)應(yīng)唯一一個(gè)積分值，即Φ（x）=∫xaf（t）dt，x∈[a，b]稱(chēng)為函數(shù)f（x）的積分上限函數(shù)。積分上限函數(shù)有明顯的幾何意義：設(shè)x∈[a，b]有f（x）0，則積分上限函數(shù)Φx=∫xaftdt是區(qū)間a，x上的區(qū)邊梯形的面積。

二、積分上限函數(shù)在求導(dǎo)數(shù)中的應(yīng)用

定理1如果函數(shù)f（x）在區(qū)間[a，b]上連續(xù)，則積分上限的函數(shù) φ（x）=∫xaf（t）dt在[a，b]上具有導(dǎo)數(shù)，且它的導(dǎo)數(shù)是φ′（x）=ddx∫xaf（t）dt=f（x）（a≤x≤b）.

證給自變量x以增量Δx，且使x+Δx在連續(xù)區(qū)間內(nèi)，則

φ（x+Δx）=∫x+Δxaf（t）dt，函數(shù)φ（x）在x處的增量為Δφ（x），則

Δφ（x）=φ（x+Δx）-φ（x）

=∫x+Δxaf（t）dt-∫xaf（t）dt

=∫x+Δxxf（t）dt.

應(yīng)用積分中值定理，Δφ（x）=f（ξ）·Δx（ξ在x與x+Δx之間），所以Δφ（x）Δx=f（ξ）（Δx≠0）.

令Δx→0，由于f（x）是連續(xù)函數(shù)，因此，當(dāng)Δx→0時(shí)，ξ→x，則limΔx→0Δφ（x）Δx=limξ→xf（ξ）=f（x）.

即φ′（x）=ddx∫xaf（t）dt=f（x）.

定理2 ddx∫g（x）af（t）dt=f[g（x）]·g′（x），其中g(shù)（x）是可導(dǎo)函數(shù).

例1求ddx∫πxsint2dt.

解∫πxsint2dt=-∫xπsint2dt，

ddx∫πxsint2dt=-ddx∫xπsint2dt=-sinx2.

例2求ddx∫x20sintdt（x>0）.

解首先要搞清楚函數(shù)關(guān)系，定積分∫x20sintdt是上限x2的函數(shù)，而上限x2又是x的函數(shù)，因此，對(duì)x求導(dǎo)要按復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則進(jìn)行。

ddx∫x20sintdt=（∫x20sintdt）′x2·（x2）′x=sinx2·2x=2xsinx.

三、 積分上限函數(shù)在極限中的應(yīng)用

例3求limx→1∫x1（t2-1）dtln2x.

解limx→1∫x1（t2-1）dtln2x=00limx→1x2-12lnx·1x=limx→1x（x2-1）2lnx

=limx→1x3-x2lnx=00limx→13x2-12x=1.

例3求ddx∫x20sintdt（x>0）.

解首先要搞清楚函數(shù)關(guān)系，定積分∫x20sintdt是上限x2的函數(shù)，而上限x2又是x的函數(shù)，因此，對(duì)x求導(dǎo)要按復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則進(jìn)行。

ddx∫x20sintdt=（∫x20sintdt）′x2·（x2）′x=sinx2·2x=2xsinx.

四、積分上限函數(shù)在單調(diào)性的應(yīng)用

例4.設(shè)f（x）∈（0，+ 并且x∈[0，+

SymboleB@ ）時(shí)，f（x）0，

證明：函數(shù)F（x）=∫x0tf（t）dt∫x0f（t）dt在（0，+

內(nèi)有定義（∵f（x）>0，x>0∫x0tf（t）dt>0）

由定理1.4得，當(dāng)x>0時(shí)

ddx∫x0tf（t）dt=xf（x）；ddx∫x0f（t）dt=f（x）.

故F′（x）=xf（x）∫x0f（t）dt-f（x）∫x0tf（t）dt（∫x0f（t）dt）2=f（x）∫x0（x-t）f（t）dt（∫x0f（t）dt）2

∵f（x）>0，t∈（0，x），（x-t）>0

∴ f（x）∫x0（x-t）f（t）dt>0，即F′（x）>0

從而F（x）在（0，+內(nèi)為增函數(shù)。

作者簡(jiǎn)介：高吉（1985），2007年參加工作，現(xiàn)包頭職業(yè)技術(shù)學(xué)院數(shù)學(xué)教師；賈文太（1985），2007年參加工作，現(xiàn)任職北方重工業(yè)集團(tuán)公司。