級數在近似計算中的應用

覃小玉

1.利用函數的冪級數的展開式求函數近似值

冪級數是無窮級數的一種，它是以某個冪級數展開式為基礎，把所需要求的量表達成無數級數的和，并依據要求，選取部分和作這個量的近似值，誤差用余項 估計。比如許多初等函數如 ， ， ， ， ， ， 在一定的實區間上都可以進行冪級數展開，進行近似計算，通過控制取冪級數項數的多少來達到我們需要的精確度。

例1：計算 的值，精確到小數第四位。

利用對數的冪級數展開式，作對數的近似計算.根據對數的特征，只要計算出正整數的特征，那么由對數的運算，其它有理數的對數也就知道了.

以 的邁克勞林級數發點

解：如果利用 的展開式：當 時， .所以 ，理論上可計算 ，但這是一種“內耗”很大的交錯級數，其誤差不超過第 項的值 .欲使 ， 至少要取9999項，這太麻煩了，需要去掉帶負號的項，下面用一個收斂較快的冪級數來計算 .用 減去

其差是 .令 ，解出 代入上式，得 ，其誤差

.

如要精確到小數第四位，則取 ，這時

故得出

最終求得對數 的精確到小數第四位為0.6931。

2.利用函數的冪級數的展開式求定積分的近似值

利用冪級數不僅可以計算一些函數的近似值，而且還可以計算一些定積分的近似值，具體地說，如果被積函數在積分區間上能展開成冪級數，那么把這個冪級數逐項積分，用積分后的級數就可計算出定積分的近似值。

例2：計算 的近似值，精確到 。

由于 ，因此所給積分不是廣義積分，如果定義 在 處的值為1，那么它在積分區間 上連續.由于 的原函數不能用初等函數表示，因此需要通過冪級數展開式來計算.

解：利用正弦函數的展開式 ，兩邊同除以 ，得到

再逐項積分

這是收斂的交錯級數，其誤差 ，取 ，有 ，

故

3.利用泰勒級數計算函數值的近似值

目前解決非線性問題的一種有效工具是泰勒級數，即利用泰勒展開式一階近似，將非線性問題線性化，達到近似求解的目的。如若一階近似達不到近似精度標準的話，還可以在泰勒級數展開式中取更高的階，在實際問題中我們經常會使用級數的二階多項式求復雜問題的近似解。

例3：在我們日常生活中的路面結構中，路面結構是在不斷遭受載荷的重壓而產生振動，以致遭受破壞的，研究發現其振動是以非線性的形式進行的.

我們已知的線性振動形式為： 對于非線性振動負荷和變形的關系為： ，因為這里的 未知，所以我們可以借助于泰勒級數，將上式展開為： ，使其成為線性函數，進而分析出符合硬彈簧特性，經驗證擬合水泥振動特性，達到了令人滿意的效果。

5.交錯級數在近似計算中是應用

給定項數，求近似值并估計精度，通過估計余項，確定精度或項數，若余項是交錯級數，則可用余和的首項來解決。

例4：利用 計算 的近似值，并估計誤差.

解：

其誤差不超過 。

6.幾何級數的某些應用

利用幾何級數，我們也可以把一些函數級數和定積分級數變換成另一種形式，然后再利用冪級數或者泰勒公式來對這個級數進行求解，從而算出這個級數的近似計算。如：

在幾何級數 中，我們把 代替 得 ，再逐項積分得

7.調和級數的近似計算

自然數的倒數組成的數列，稱為調和數列，即通項為 的級數： 。因為這數組是發散的，所以沒有求和公式，只有一個求近似值的求解方法： （ 一個無理數，稱作歐拉初始，專為調和級數所用）。

其中0.57721566490153286060651209叫做歐拉常數。

8.總結

級數理論和微積分學兩個分支共同組成是分析學的，這兩個分支一起作為基礎知識和工具出現在其余各分支中。本文是對級數在近似計算中應用的研究，主要通過各類級數在近似計算中的應用做研究，首先是對級數的定義、性質做出論述，然后分別從冪級數的展開式、泰勒級數、傅里葉級數、無窮級數、正項級數、交錯級數等對函數、定積分求近似值。在求解的過程中證明級數在近似計算中有廣泛的作用。