數(shù)學(xué)思想?解題的靈魂

潘懷善

綜合題是相對基礎(chǔ)而言的，所謂“綜合”，主要是試題既考查較多的知識，又考查基本數(shù)學(xué)思想方法。縱觀近幾年各省市的中考數(shù)學(xué)題中，常將代數(shù)與幾何的綜合題作為對學(xué)生能力的考查題目，復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)引起我們的重視。

《中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱》明確指出：要使學(xué)生逐步學(xué)會分析，綜合，歸納，演繹、概括、類比等重要的思想方法。“一道幾何、代數(shù)綜合題，經(jīng)常要現(xiàn)時(shí)考查多種數(shù)學(xué)思想，如轉(zhuǎn)化思想、方程思想，數(shù)形結(jié)合思想，分類討論思想等。下面以幾種數(shù)學(xué)思想方法應(yīng)用為線索據(jù)據(jù)探討一些綜合的解法。

一、方程思想

所謂“方程思想“就是先分析問題中的未知元素（未知量）的個數(shù)，再尋找關(guān)于這些未知量的相應(yīng)個數(shù)的方程，從而用方程（組）的方法探求解題途徑的思想。解題過程通常是：首先從整體上分析題意，確定未知量的個婁，其次選擇一或幾個未知量用x（y，z…）表示，并弄清它（它們）與其他未知量的關(guān)系，再根據(jù)題設(shè)中的條件（這類條件常常是隱含的），利用已有的知識，列出方程（組），并求解。

例1 如圖，AP是△ABC的高，點(diǎn)D、G分別在AB、AC上，點(diǎn)E、F在BC上，四邊形DEFG是矩形，AP=h，BC=a。

（1）設(shè)DG=X，S矩形DEFG=Y，求Y與X的函數(shù)關(guān)系式，并指出x的取值范圍。

（2）當(dāng)AP=b，BC=8時(shí)請你求出面積等于9的矩形DEFG的邊長DG。

（3）按題設(shè)要求得到的無數(shù)個矩形中，是否能夠找到兩個不同的矩形，使它的面積之和等于△ABC的面積？如果能找到，請你求出它們的邊長DG；如果找不到，請說明理由。

分析：求矩形面積的函數(shù)關(guān)系式，有條件DG=x，只要把另一邊DE用含x的代數(shù)式表示即可。顯然，利用相似三角形的成比例線段可建立關(guān)于DE（DE=MP）的方程。問題（2）只要利用（1）題中的函數(shù)關(guān)系式，并把題設(shè)條件代入方程即可。問題（3）是未給出結(jié)論的探索性命題，直接方法不易求解，不妨用反證法思想，便有思路可循。

解：因?yàn)锽C= a，高AP= h，DG=x，由DG∥BC，得△AOG∽△ABC故 = ，即 = 解得MP= ，又知MP=DE 所以y=- x2+hx （0

（2）由題意得- x2+6x=9即x2-8x+12=0解得X1=2，X2=6

故當(dāng)矩形面積為9時(shí)，邊長DG=2或DG=6。

（3）假設(shè)存在兩個不同的矩形面積之和等于△ABC的面積，可設(shè)邊長DG為x1和x2（x1≠x2），則

（- x12+hx1）+ （- x22+hx2）= ah

整理得2（（x12-ax1+ x22-x2）+a2=0

2[（x1- ）2+（x2- ）2- ]+a2=0

∴（x1- ）2+（x2- ）2=0

∴x1 =x2= 這個條件x1≠x2相矛盾

∴找不到兩個不同的矩形，使其面積之和等于的面積

說明：給出幾何圖形或?qū)嶋H問題，讓代數(shù)模型，即列出函數(shù)關(guān)系式，是代數(shù)與幾何綜合題的常見題型。函數(shù)關(guān)系式的關(guān)鍵是根據(jù)幾何圖形中等量關(guān)系列方程，然后根據(jù)函數(shù)關(guān)系用方程法求解或證明題目中其他問題。這類問題要特別注意函數(shù)的自變量取值范圍的確定。

二、數(shù)形結(jié)合思想

在研究數(shù)學(xué)問題時(shí)，有許多題目可以把數(shù)與形有機(jī)地結(jié)合起來。在解代數(shù)幾何綜合題時(shí)，我們應(yīng)學(xué)會題目中的數(shù)與形的結(jié)合點(diǎn)，通過數(shù)形結(jié)合，化難為易。

三、分?jǐn)?shù)討論思想

分類討論是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法。我們在學(xué)習(xí)實(shí)踐代數(shù)和幾何時(shí)，曾多次遇到過。例如，學(xué)習(xí)了字母表示數(shù)，考慮a的正負(fù)性時(shí)，一定要討論a=0，a=0，a<0三種情況；遇到平面上的三個點(diǎn)，就要分三點(diǎn)共線和三點(diǎn)不共線兩種情況等。像這樣對事物各種情況分別加以討論的思想，稱為分類討論思想。在運(yùn)用分類討論思想研究問題時(shí)，必須按照同樣的標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類，要做到“不重、不漏”。