數學教學中有效滲透數學思想方法的探索

蔣賢

在數學教學中，只有有效地引導學生挖掘題目本身蘊含的數學思想方法，發現解題過程中的數學思想，并且有效地加以歸納和總結，靈活運用，才能使學生真正體會數學的奧妙，領會數學的真諦，抓住問題的本質，提高解題能力，從而有效提升學生的數學素養。

一、滲透轉化思想

轉化思想就是將不熟悉的數學問題轉化為熟悉的數學問題來解決的一種思想方法。在學習過程中，將未知的問題轉化為已知的問題，將復雜的問題轉化為簡單的問題，將抽象的問題轉化為具體的問題，將實際問題轉化為數學問題，可以說在解決數學問題時轉化思想幾乎是無處不在的。

案例1 如圖所示，兩個村子A、B在一條河CD的同側，A、B兩村到河邊的距離分別為AC=1千米，BD=3千米，CD=3千米.現要在河邊CD上建造一水廠，向A、B兩村送水，鋪設水管的工程費用為每千米2000元，請你在CD上選擇水廠位置，使鋪設水管的費用最省，并求出最省的鋪設水管的費用.

分析：要使鋪設管道的費用最省，由于鋪設管道每千米的費用一定，為2000元，即轉化為求鋪設管道的長度最短的值.運用軸對稱的性質，將點A轉化到點M，將求折線問題轉化為求線段問題，其說明最短的依據是三角形兩邊之和大于第三邊.

解：作點A關于河CD的對稱點M，連接MB，交CD與點P，則點P即為水廠位置，此時鋪設的管道長度為PA+PB.

∵點A與點AM關于CD對稱，

∴PM=PA，MC=AC=1，

∴PA+PB=PM+PB=MB.

過點M作MN⊥BN于N，則∠MNB=90°，MN=CD=3，BN=BD+DN=3+1=4，

∴在Rt△MNB中，根據勾股定理可得MB=5（千米），

∴2000×5=10000（元）.

答：鋪設管道的最省費用為10000元.

教學啟示：在勾股定理的運用中，直角三角形為前提條件，在求三角形的邊或角時，常常作垂線，構造直角三角形，將問題轉化為直角三角形問題來解決?？梢赞D化為用勾股定理解決實際問題的常見類型，包括：航海問題、折疊問題、梯子問題、最短路徑問題等等。

二.滲透方程思想

方程思想就是在求解數學問題時，從題中的已知量和未知量之間的關系入手，找出相等關系，運用數學語言將相等關系轉化為方程（組），再通過解方程（組），使問題獲得解決，方程思想是中學數學中非常重要的思想方法之一。

三、滲透函數思想

利用函數解決問題是用運動、變化、發展的觀點了分析問題中的數量關系，抽象出函數模型，進而解決有關問題.函數的實質是研究兩個變量之間的對應關系，靈活運用函數思想可以解決許多數學問題，尤其是實際問題。

四、滲透分類思想

分類討論思想就是按照一定的標準，把研究對象分成為數不多的幾個部分或幾種情況，然后逐個加以解決，最后予以總結得出結論的思想方法。其實質是化整為零，各個擊破的轉化策略.運用分類思想解決問題時，要做到“確定對象的全體，明確分類的標準，不重復、不遺漏”。

案例2 矩形一個內角的角平分線將它的一邊分成4cm和2cm的兩部分，則該矩形的周長是多少？

分析 此類題可分為兩種情況解答.一個角的平分線可以把邊分為4cm和2cm，也可把邊分為2cm以及4cm.進而得到矩形另一邊長為4cm或2cm.進而求得矩形周長即可.

解答 解：∵AE=4cm，DE=2cm.

∴AD=BC=6cm.

利用角平分線得到∠ABE=∠CBE，矩形對邊平行得到∠AEB=∠CBE.

∴∠ABE=∠AEB.

∴AB=AE=4cm.

∴矩形的周長為4+4+6+6=20cm；

第二種情況：AE=2cm，DE=4cm.

同理可得AB=AE=2cm.

所以矩形的周長為2+2+6+6=16cm.

故答案為：20cm或16cm.

教學啟示 在解決某些問題時，如果這些問題存在各種不同的情況，那么就要對這些問題進行分類討論。本題主要考查矩形的性質，出現角平分線，出現平行線時，一般出現等腰三角形，需注意等腰三角形相等邊的不同。

五、滲透數形結合思想

數學是研究數量關系與空間形式的學科，“數”與“形”以及它們的聯系與轉化，是數學的永恒主題。每個幾何圖形中都蘊藏著一定的數量關系，而數量關系常常又可以通過圖形的直觀性作出形象的描述。數形結合思想即是把代數、幾何知識相互轉化、相互利用的一種解題思想。

總之，數學思想是數學的核心。 因此，在中考復習教學中，教師要加強對數學思想方法的滲透，提高學生靈活應用數學的能力，進而有效提升學生的數學素養。