淺析導(dǎo)數(shù)在高考數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

黃超

一、導(dǎo)數(shù)基礎(chǔ)知識

（一）導(dǎo)數(shù)定義

設(shè) 在點 有定義，在 自變數(shù)x的改變量是 相應(yīng)函數(shù)的改變量是 ，若極限 = 存在，稱函數(shù) 在 可導(dǎo)（或存在導(dǎo)數(shù)），此極限稱為函數(shù) 在 的導(dǎo)數(shù)（或微商），表示為 或 ，即 或 。若極限不存在，稱函數(shù) 在 不可導(dǎo)。

（二）導(dǎo)數(shù)的幾何意義

函數(shù) 在點a處的導(dǎo)數(shù) ，就是曲線 在點 處的切線斜率，即 。相應(yīng)地，切線方程為 。

二、導(dǎo)數(shù)的基本公式

1.和、差、積、商的求導(dǎo)法則

，

，

。

2.反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

如果函數(shù) 在 內(nèi)嚴(yán)格單調(diào)、可導(dǎo)，則它有反函數(shù) ，當(dāng) 時， 可導(dǎo)，且有 。

3.復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

如果函數(shù) 在點 可導(dǎo)，而 在 可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù) 在點 可導(dǎo)，且其導(dǎo)數(shù)為： 。

三、導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用

1.利用導(dǎo)數(shù)圖像分析函數(shù)的圖像

分析函數(shù)的圖像是高中階段重要的學(xué)習(xí)內(nèi)容，也是解決數(shù)學(xué)問題的一種重要方法。

例1，設(shè) 是 的導(dǎo)函數(shù)， 的圖像如圖1所示，則 的圖像可能是（ ）

例1利用導(dǎo)數(shù)圖像分析出原函數(shù)的圖像。 的圖像在 或 的區(qū)域上 ，那么在 或 的定義域上 是增函數(shù)；在 上函數(shù) 是減函數(shù)。從而可以排除ABD選項得到此題的答案C選項。通過這個例子我們可以發(fā)現(xiàn)利用導(dǎo)數(shù)的知識來判斷一些題目的圖像是非常好用的。

2.利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

在高中階段，函數(shù)的單調(diào)性一直是一個重點。利用導(dǎo)數(shù)不僅可以確定函數(shù)的單調(diào)性，還可以求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。一般方法難以解決的題目，利用求導(dǎo)的方法可以輕松解答。

例2，設(shè) ，求函數(shù) 的單調(diào)區(qū)間。

解：

當(dāng) 時為增函數(shù)

即： 解得： 為增區(qū)間。

當(dāng) 時為減函數(shù) 同理可得： 為減區(qū)間。

例2利用定義法確定該函數(shù)的單調(diào)性容易，然而要確定該函數(shù)的單調(diào)區(qū)間就比較困難。用求導(dǎo)的方法確定該函數(shù)的單調(diào)區(qū)間就比較簡便。令函數(shù)的導(dǎo)數(shù) ，則求出的解為原函數(shù)的減區(qū)間；令 ，則求出的解為函數(shù)的增區(qū)間。

3.導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值和最值的關(guān)系

在高考數(shù)學(xué)中，極值和最值問題一直都是重難點。在解決這一類問題的時候，要求學(xué)生具備較高的解題能力。許多解決此類問題的方法都有一定的局限性，這里可以用導(dǎo)數(shù)，使得解題過程變得簡單有序，也能使學(xué)生的解題過程具有嚴(yán)密的邏輯性。

例3，求函數(shù) 的極值及在 上的最值。

解：極值：

令 解得： （駐點）

當(dāng) 時 當(dāng) 時

是函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間 是單調(diào)遞減區(qū)間

所以：原函數(shù)在 處取得極大值

原函數(shù)在 處取得極小值

最值：

當(dāng) 時 當(dāng) 時

是函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間

是單調(diào)遞減區(qū)間

為函數(shù)的最大值 為函數(shù)的最小值

例3為一道較為復(fù)雜的極值問題，此題用導(dǎo)數(shù)的方法，可以很快得出正確答案。學(xué)生只需要對該函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，然后找到其駐點，利用草圖進(jìn)行分析，從而確定該函數(shù)的極值點，再求出該函數(shù)的極值。許多類似的題目，用同樣的方法可以確定該函數(shù)的極值以及最值。

4.利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)奇偶性

利用導(dǎo)數(shù)不僅可以分析函數(shù)的單調(diào)性，也能分析函數(shù)的圖像，同時還可以利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的奇偶性。在高考數(shù)學(xué)中，主要運用定理：“已知函數(shù) 在定義域內(nèi)可導(dǎo)，若函數(shù) 為奇函數(shù)，則 為偶函數(shù)；若函數(shù) 為偶函數(shù)，則 為奇函數(shù)[5]。”來判斷。許多題目用定義法判斷其奇偶性比較困難，就可以利用該定理來解決。

例4：設(shè)函數(shù) ，其中 ，則函數(shù) 是偶函數(shù)的充分必要條件是（ ）

本題用常規(guī)方法很難判斷出函數(shù) 是偶函數(shù)的充要條件。由題知 ，因為函數(shù) 是偶函數(shù)，則 為奇函數(shù)，∴ ，又當(dāng) 時，即 ，此時有 ，代入 有 或 ，此時函數(shù) 是偶函數(shù)。

四、導(dǎo)數(shù)在不等式恒等問題中的應(yīng)用

利用導(dǎo)數(shù)不僅可以將一些不常見的不等式問題轉(zhuǎn)化成我們常見的函數(shù)問題，而且利用導(dǎo)數(shù)可以確定函數(shù)單調(diào)性從而比較嚴(yán)密地得出結(jié)果。不僅解決了需要解決的問題，而且體現(xiàn)了嚴(yán)密的數(shù)學(xué)思維與邏輯性。

五、利用導(dǎo)數(shù)研究方程的根

利用導(dǎo)數(shù)研究方程的根，就是將原函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，轉(zhuǎn)化成二次方程，然后分析其極值，確定原函數(shù)的單調(diào)性以及單調(diào)區(qū)間，再結(jié)合圖像來分析判斷原方程根的情況。

六、導(dǎo)數(shù)在解析幾何中的應(yīng)用

導(dǎo)數(shù)不僅可以解決許多代數(shù)問題，導(dǎo)數(shù)還可以應(yīng)用到解析幾何中解決一些關(guān)于圖像切線的問題。這體現(xiàn)了導(dǎo)數(shù)在高考數(shù)學(xué)中應(yīng)用廣泛，更體現(xiàn)了導(dǎo)數(shù)在高考數(shù)學(xué)中充當(dāng)有力的工具。

七、導(dǎo)數(shù)在數(shù)列中的應(yīng)用

導(dǎo)數(shù)在數(shù)列中也有一定的應(yīng)用。利用導(dǎo)數(shù)能很好地解決一些特殊問題，既能避免了錯綜復(fù)雜的計算，還能提高了運算結(jié)果的準(zhǔn)確性。

八、導(dǎo)數(shù)在實際問題中的應(yīng)用

在日常生產(chǎn)和生活中，有很多優(yōu)化問題。比如，在一定條件下的用料最省、利潤最大、強度最大、效率最高等問題。利用導(dǎo)數(shù)解決問題就更加重要了，導(dǎo)數(shù)是求最值的有力工具。

在高考數(shù)學(xué)中，導(dǎo)數(shù)始終充當(dāng)著解決問題的有力工具，它從根本意義上體現(xiàn)了導(dǎo)數(shù)的數(shù)學(xué)價值。它既為學(xué)生提供了解決高考數(shù)學(xué)的新方法，也培養(yǎng)了學(xué)生在高考數(shù)學(xué)中辯證的思維能力。

通過本論文，可以讓學(xué)生更好地了解導(dǎo)數(shù)在高考數(shù)學(xué)中的應(yīng)用，不難發(fā)現(xiàn)，雖然導(dǎo)數(shù)可以解決很多類型的題目，但其運用方法都萬變不離其宗。“導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用”這個知識點，具有重要的意義，而其中的奧秘和精髓依然值得更深更廣的挖掘。