極小值原理及應用

劉海燕 麻芮

摘要：本文主要由偏微分方程的極大值原理推廣到偏微分方程的極小值原理以及極小值原理的應用。

關鍵詞：極大值原理；一致橢圓方程

假設Ω是一個在Rn中的有界連通域，在Ω中考慮算子L

[JZ]Lu=aij（x）Diju+bi（x）Diu+c（x）u

對于u∈C2（Ω）IC（Ω[TX-]），我們總假設aij，bi，c是連續的，因此在Ω[TX-]上有界，L是Ω中的一致橢圓方程有下面情況：

[JZ]aij（x）ξiξj≥λ|ξ|2x∈Ω，ξ∈Rn

〖KH*2〗對于存在正常數λ。

引理1.1假設u∈C2（Ω）IC（Ω[TX-]）滿足Lu>0且c（x）≤0，如果u在Ω[TX-]上有非負極大值，則u在Ω中不能達到極大值。

由此推出當Lu<0時，如果u在Ω[TX-]上有負的極小值，則u在Ω中不能達到極小值。

推廣1.1假設u∈C2（Ω）IC（Ω[TX-]）滿足Lu<0且c（x）≤0如果u在Ω[TX-]上有負的極小值，則u在Ω中不能達到極小值。

證明 假設u在x0∈Ω上獲得Ω[TX-]上的負極小值，則Diu（x0）=0且矩陣B=（Diju（x0））是半正定的，通過橢圓率矩陣A=（aij（x0））是正定的，因此矩陣AB是半正定的，所以aij（x0）Dij（x0）≥0，所以Lu≥0，與假設矛盾，所以u在Ω中不能達到極小值。

定理1.2（極小值原理）假設u∈C2（Ω）IC（Ω[TX-]）滿足Lu≤0且在Ω中c（x）≤0則u在Ω上有Ω[TX-]上的負極小值。

證明：對于ε>0，考慮w（x）=u（x）εecα1且α有待確定，則我們有

[JZ]Lw=Luεecα1（a11α2+b1α+c）

因為b1，c有界，又因為a11（x）≥λ>0，對于xΩ，通過選擇α>0足夠大，我們有

[JZ]a11（x）α2+b1（x）α+c（x）>0

對于xΩ，意味著Lw<0在Ω中，通過引理1.1，w在Ω上獲得負極小值，即

[JZ]su[DD（X]Ω[DD）]pw≥sup[DD（X]Ω[DD）]w

則

[JZ][XCimage88.tif；%95%95，JZ]

通過ε→0得證。

極小值原理的應用

命題1 假設uC2（Ω）∩C（Ω[TX-]）滿足

[JZ][JB（{]Lu=finΩ[SX（]u[]n[SX）]+α（x）u=φonΩ[JB）]

這里n[TX-]是指向Ω的外向法向量，如果在Ω中c（x）≤0且在a（x）≥α0>0則有

[JZ][XCimage97.tif；%60%60]

這里c是正常數僅依賴與λ，Λ，α0和diam（Ω）。

證明：特殊情況：c（x）≤c0<0我，我們將得到

[JZ][XCimage101.tif；%50%50]

定義[XCimage102.tif；%50%50，JZ]則有

[JZ][XCimage103.tif；%50%50]

如果u在Ω[TX-]中有負的極小值，則通過定理1.2v在Ω上獲得負的極小值，也就是說x0εΩ。這意味著對于n[TX-]=n[TX-]（x0）在x0處的外法向量有[SX（]v[]n[SX）]（x0）≤0，因此可得

[JZ][XCimage112.tif；%50%50]

這是矛盾的，因此我們有在Ω[TX-]中v≥0。特別的

[JZ][XCimage115.tif；%50%50]

對于特殊的情況c0，α0比依賴于λ，Λ

一般情況：對于xΩ有c（x）≤0。

考慮輔助函數u（x）=z（x）w（x），這里z在Ω[TX-]中是一個正函數且有待確定，直接計算w滿足

[JZ][XCimage123.tif；%50%50]

[JZ][XCimage124.tif；%50%50]

這里[XCimage125.tif；%50%50，JZ]，我們需要在Ω[TX-]中z>0使得有

[JZ][XCimage127.tif；%50%50]

[JZ][XCimage128.tif；%50%50]

或

[JZ][XCimage129.tif；%50%50，JZ]

[JZ][XCimage130.tif；%50%50]

成立

假設領域Ω取決于{0

[JZ][XCimage135.tif；%50%50]

如果選擇β使得β2a11+βb1≥1，則我們有

[JZ][XCimage138.tif；%50%50]

如果選擇A足夠大，有歸結到了特殊情況。

參考文獻：

[1]保繼光，朱汝金.偏微分方程[M].北京：北京師范大學出版社，2011：120.

[2]普勞特，溫伯格.微分方程最大值原理[M].北京：科學出版社，1985：194.

[3]O.A.奧列尼克，郭思旭譯.偏微分方程講義（第3版）[M].北京：高等教育出版社，2008.1.

作者簡介：劉海燕（1993），女，漢族，新疆烏魯木齊人，碩士，研究方向：基礎數學。