數(shù)學(xué)教材中統(tǒng)計與概率螺旋式內(nèi)容探析

摘 要：通過對比人教版和北師版數(shù)學(xué)教材中統(tǒng)計與概率螺旋內(nèi)容，發(fā)現(xiàn)兩版教材的相同點(diǎn)是部分知識點(diǎn)都采用了螺旋式編排。而人教版螺旋內(nèi)容基本上遵循差異性原則，北師版螺旋知識點(diǎn)及螺旋內(nèi)容重復(fù)現(xiàn)象比較多。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)教材；統(tǒng)計與概率；螺旋式內(nèi)容

對教材內(nèi)容的編排采取螺旋式上升，即是根據(jù)學(xué)生表征系統(tǒng)發(fā)展的特征和認(rèn)知水平發(fā)展的階段性，按照由簡到繁、由易到難、由淺入深的順序編排教材，使某些重要的概念、思想方法反復(fù)出現(xiàn)，逐漸遞進(jìn)，螺旋上升。

螺旋指的是學(xué)習(xí)主題相同而內(nèi)容的深度、廣度不同，上升指的是層次的提升，以及內(nèi)容的深度、廣度的加深，廣度指的是內(nèi)容所涉及的范圍和領(lǐng)域的廣泛程度，通?？梢杂弥R點(diǎn)的多少進(jìn)行量化。螺旋上升是指在深度、廣度等方面都要有實(shí)質(zhì)性的變化，并不是簡單地再現(xiàn)與重復(fù)，即體現(xiàn)出明顯的階段性要求。

本文嘗試對人教版和北師版數(shù)學(xué)教材中統(tǒng)計與概率的螺旋式內(nèi)容進(jìn)行探析。其中教材分析的對象是小學(xué)、初中及高中必修正文部分。

一、 螺旋式內(nèi)容的量化分析

螺旋式內(nèi)容指在教材中出現(xiàn)次數(shù)至少2次的知識點(diǎn)。通過對人教版和北師版中小學(xué)數(shù)學(xué)教材中統(tǒng)計與概率螺旋內(nèi)容的統(tǒng)計，得出人教版共有13個知識點(diǎn)螺旋，北師版共有17個知識點(diǎn)螺旋，在螺旋內(nèi)容上，北師版比人教版多4個知識點(diǎn)。人教版和北師版共有10個相同的螺旋知識點(diǎn)是整理，平均數(shù)，條形統(tǒng)計圖，折線統(tǒng)計圖，扇形統(tǒng)計圖，分布直方圖，中位數(shù)，眾數(shù)，方差，概率。除此之外，人教版還有3個知識點(diǎn)是簡單隨機(jī)抽樣，頻數(shù)，隨機(jī)事件，北師版還有7個知識點(diǎn)是調(diào)查，普查，總體，抽樣調(diào)查，極差，標(biāo)準(zhǔn)差，頻率。

二、 螺旋式內(nèi)容的質(zhì)性描述

數(shù)學(xué)教材中螺旋式內(nèi)容隨著年級也即是冊別數(shù)的升高，在深度或廣度上明顯增加。

（1）整理，人教版：整理的表格項(xiàng)目數(shù)增多，統(tǒng)計方法也增加，除了用數(shù)字統(tǒng)計外，加入了“正”字記錄和百分比。北師版：整理的方法從逐個記錄，到采用“正”字記錄，再到簡單的象形統(tǒng)計圖，整理記錄方法上有了進(jìn)步。

（2）平均數(shù)，人教版：四下是算術(shù)平均數(shù)，八下是加權(quán)平均數(shù)，從小學(xué)到初中平均數(shù)的計算梯度上升比較明顯。初中強(qiáng)調(diào)運(yùn)用加權(quán)平均數(shù)來代表數(shù)據(jù)，高中則強(qiáng)調(diào)運(yùn)用樣本的平均數(shù)來估計總體的這些數(shù)字特征，且用樣本估計總體是借助頻率分布直方圖來實(shí)現(xiàn)的，螺旋上升比較明顯。北師版：小學(xué)就初步接觸了簡單的算術(shù)平均數(shù)，從四下到五下針對打分計算平均分的方法有所改變，到初中后強(qiáng)調(diào)了加權(quán)平均數(shù)。從小學(xué)到初中平均數(shù)的計算梯度上升比較明顯。

（3）條形統(tǒng)計圖，（4）折線統(tǒng)計圖，人教版：從四上到四下條形統(tǒng)計圖從單式條形統(tǒng)計圖上升到復(fù)式條形統(tǒng)計圖，到七下的時候條形統(tǒng)計圖重復(fù)出現(xiàn)，但沒有明顯的上升。折線統(tǒng)計圖和復(fù)式折線統(tǒng)計圖都出現(xiàn)在了五上這一冊書中，到了必修三就加深到了頻率分布折線圖。北師版：從四下到五下條形統(tǒng)計圖從單式條形統(tǒng)計圖上升到復(fù)式條形統(tǒng)計圖，折線統(tǒng)計圖從單式折線統(tǒng)計圖上升到復(fù)式折線統(tǒng)計圖，到必修三的時候條形統(tǒng)計圖、折線統(tǒng)計圖重復(fù)出現(xiàn)，但沒有明顯的上升。

（5）扇形統(tǒng)計圖，人教版：小學(xué)扇形統(tǒng)計圖表示各部分?jǐn)?shù)量與總數(shù)之間的關(guān)系，初中是通過扇形的大小來反映各個部分占總體的百分比，且初中加入了計算各圓心角度數(shù)畫出各個扇形，比較之前是有所上升。北師版：小學(xué)和初中都表示每部分占總體的百分比，從小學(xué)到初中扇形統(tǒng)計圖加入了圓心角的計算，到高中的時候扇形統(tǒng)計圖重復(fù)出現(xiàn)，但沒有明顯的上升。

（6）分布直方圖，人教版與北師版一樣：分布直方圖在初中是頻數(shù)分布直方圖，到了高中是頻率分布直方圖，圖形的縱坐標(biāo)變了。

（7）中位數(shù)，（8）眾數(shù)，（9）方差，人教版：初中強(qiáng)調(diào)運(yùn)用中位數(shù)、眾數(shù)來代表數(shù)據(jù)，高中則強(qiáng)調(diào)運(yùn)用樣本的中位數(shù)、眾數(shù)來估計總體的這些數(shù)字特征，且用樣本估計總體是借助頻率分布直方圖來實(shí)現(xiàn)的，可見初中到高中對此的設(shè)計有明顯的深度加深。初中強(qiáng)調(diào)用方差來刻畫一組數(shù)據(jù)波動的大小，高中則強(qiáng)調(diào)運(yùn)用方差作為測量樣本數(shù)據(jù)分散程度的工具。北師版：初中對中位數(shù)、眾數(shù)、方差的概念定義做了說明，到高中就沒有再重復(fù)，高中是結(jié)合一些案例進(jìn)一步對數(shù)字特征的特點(diǎn)加以具體分析，從例題中去求中位數(shù)、眾數(shù)、方差。

（10）概率，人教版與北師版一樣：初中強(qiáng)調(diào)是發(fā)生可能性大小的數(shù)值，高中則強(qiáng)調(diào)發(fā)生頻率穩(wěn)定在某個常數(shù)上。

（11）簡單隨機(jī)抽樣，（12）頻數(shù)，（13）隨機(jī)事件，人教版：在初中簡單隨機(jī)抽樣、頻數(shù)、隨機(jī)事件都用文字描述，而到了高中加入了代數(shù)符號，從文字語言抽象到包含數(shù)學(xué)符號，體現(xiàn)了概念的遞進(jìn)。

（14）調(diào)查，北師版：調(diào)查的方法不一樣，但沒有明顯的螺旋上升。（15）普查，北師版：從初中到高中普查的對象范圍上要更廣泛些，但都指的是全面的調(diào)查。（16）總體，北師版：初中和高中對總體的定義幾乎是一樣的，沒有明顯的差別。（17）抽樣調(diào)查，北師版：初中對抽樣調(diào)查的描述比較簡單，高中對抽樣調(diào)查的描述要詳細(xì)些，描述了抽樣調(diào)查的各個環(huán)節(jié)步驟。（18）極差，北師版：初中對極差的概念定義做了說明，到高中就沒有再重復(fù)，高中是結(jié)合一些案例進(jìn)一步對數(shù)字特征的特點(diǎn)加以具體分析，從例題中去求極差。（19）標(biāo)準(zhǔn)差，北師版：初中只是用了一句話對標(biāo)準(zhǔn)差進(jìn)行描述，說明標(biāo)準(zhǔn)差是方差的算術(shù)平方根，高中把標(biāo)準(zhǔn)差的計算公式表示了出來。（20）頻率，北師版：初中定義了頻率的概念，到高中簡單提及，頻率是隨機(jī)的，可作為概率的估計值。

三、 主要結(jié)論與啟示

數(shù)學(xué)教材螺旋式內(nèi)容編排需注意差異性原則，對于數(shù)學(xué)教材中統(tǒng)計與概率螺旋內(nèi)容，人教版和北師版部分知識點(diǎn)都采用了螺旋式編排，人教版基本上遵循差異性原則，北師版大多數(shù)內(nèi)容也體現(xiàn)了差異性原則。相對人教版，北師版螺旋知識點(diǎn)及螺旋內(nèi)容重復(fù)現(xiàn)象比較多。對于教材的編寫要注意螺旋間的銜接，對于教師教學(xué)及學(xué)生學(xué)習(xí)要注意螺旋內(nèi)容的遞進(jìn)程度。

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作者簡介：

孟繁云，貴州省貴陽市，貴州師范大學(xué)。