線性變換的矩陣

繆應(yīng)鐵

【摘要】線性變換里最有趣的奧妙，就蘊(yùn)含在其矩陣中。理解了這些內(nèi)容，線性代數(shù)里很多定理和規(guī)則會(huì)變得更加清晰、直覺(jué)。 【關(guān)鍵詞】線性變換 矩陣

【中圖分類號(hào)】O151.2 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2018）16-0116-01

“矩陣是線性空間里躍遷的描述”。可是這樣說(shuō)又太物理，也就是說(shuō)太具體，而不夠數(shù)學(xué)，也就是說(shuō)不夠抽象。因此用一個(gè)正牌的數(shù)學(xué)術(shù)語(yǔ)——變換，來(lái)描述這個(gè)事情。這樣一說(shuō)，大家就應(yīng)該明白了，所謂變換，其實(shí)就是空間里從一個(gè)點(diǎn)到另一個(gè)點(diǎn)的躍遷。比如說(shuō)，拓?fù)渥儞Q，就是在拓?fù)淇臻g里從一個(gè)點(diǎn)到另一個(gè)點(diǎn)的躍遷。再比如說(shuō)，仿射變換，就是在仿射空間里從一個(gè)點(diǎn)到另一個(gè)點(diǎn)的躍遷。盡管描述一個(gè)三維對(duì)象只需要三維向量，但所有的計(jì)算機(jī)圖形學(xué)變換矩陣都是4×4的。真正的原因，是因?yàn)樵谟?jì)算機(jī)圖形學(xué)里應(yīng)用的圖形變換，實(shí)際上是在仿射空間而不是向量空間中進(jìn)行的。想想看，在向量空間里相一個(gè)向量平行移動(dòng)以后仍是相同的那個(gè)向量，而現(xiàn)實(shí)世界等長(zhǎng)的兩個(gè)平行線段當(dāng)然不能被認(rèn)為同一個(gè)東西，所以計(jì)算機(jī)圖形學(xué)的生存空間實(shí)際上是仿射空間。而仿射變換的矩陣表示根本就是4×4的。一旦我們理解了“變換”這個(gè)概念，矩陣的定義就變成：“矩陣是線性空間里的變換的描述。”到這里為止，我們終于得到了一個(gè)看上去比較數(shù)學(xué)的定義。不過(guò)還要多說(shuō)幾句。教材上一般是這么說(shuō)的，在一個(gè)線性空間V里的一個(gè)線性變換T，當(dāng)選定一組基之后，就可以表示為矩陣。因此我們還要說(shuō)清楚到底什么是線性變換，什么是基，什么叫選定一組基。線性變換的定義是很簡(jiǎn)單的，設(shè)有一種變換T，使得對(duì)于線性空間V中間任何兩個(gè)不相同的對(duì)象x和y，以及任意實(shí)數(shù)a和b，有：T（ax + by）= aT（x） + bT（y），那么就稱T為線性變換。定義都是這么寫的，但是光看定義還得不到直覺(jué)的理解。線性變換究竟是一種什么樣的變換？變換是從空間的一個(gè)點(diǎn)躍遷到另一個(gè)點(diǎn)，而線性變換，就是從一個(gè)線性空間V的某一個(gè)點(diǎn)躍遷到另一個(gè)線性空間W的另一個(gè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)。這句話里蘊(yùn)含著一層意思，就是說(shuō)一個(gè)點(diǎn)不僅可以變換到同一個(gè)線性空間中的另一個(gè)點(diǎn)，而且可以變換到另一個(gè)線性空間中的另一個(gè)點(diǎn)去。不管你怎么變，只要變換前后都是線性空間中的對(duì)象，這個(gè)變換就一定是線性變換，也就一定可以用一個(gè)非奇異矩陣來(lái)描述。而你用一個(gè)非奇異矩陣去描述的一個(gè)變換，一定是一個(gè)線性變換。有的人可能要問(wèn)，這里為什么要強(qiáng)調(diào)非奇異矩陣？所謂非奇異，只對(duì)方陣有意義，那么非方陣的情況怎么樣？這個(gè)說(shuō)起來(lái)就會(huì)比較冗長(zhǎng)了，最后要把線性變換作為一種映射，并且討論其映射性質(zhì)，以及線性變換的核與像等概念才能徹底講清楚。我覺(jué)得這個(gè)不算是重點(diǎn)，如果確實(shí)有時(shí)間的話，以后寫一點(diǎn)。以下我們只探討最常用、最有用的一種變換，就是在同一個(gè)線性空間之內(nèi)的線性變換。也就是說(shuō)，下面所說(shuō)的矩陣，不作說(shuō)明的話，就是方陣，而且是非奇異方陣。什么是基呢？只要把基看成是線性空間里的坐標(biāo)系就可以了。注意是坐標(biāo)系，不是坐標(biāo)值，這兩者可是一個(gè)“對(duì)立矛盾統(tǒng)一體”。這樣一來(lái)，“選定一組基”就是說(shuō)在線性空間里選定一個(gè)坐標(biāo)系。就這意思。好，最后我們把矩陣的定義完善如下：“矩陣是線性空間中的線性變換的一個(gè)描述。在一個(gè)線性空間中，只要我們選定一組基，那么對(duì)于任何一個(gè)線性變換，都能夠用一個(gè)確定的矩陣來(lái)加以描述。”理解這句話的關(guān)鍵，在于把“線性變換”與“線性變換的一個(gè)描述”區(qū)別開(kāi)。一個(gè)是那個(gè)對(duì)象，一個(gè)是對(duì)那個(gè)對(duì)象的表述。就好像我們熟悉的面向?qū)ο缶幊讨校粋€(gè)對(duì)象可以有多個(gè)引用，每個(gè)引用可以叫不同的名字，但都是指的同一個(gè)對(duì)象。如果還不形象，那就干脆來(lái)個(gè)很俗的類比。同樣的，對(duì)于一個(gè)線性變換，只要你選定一組基，那么就可以找到一個(gè)矩陣來(lái)描述這個(gè)線性變換。換一組基，就得到一個(gè)不同的矩陣。所有這些矩陣都是這同一個(gè)線性變換的描述，但又都不是線性變換本身。同樣的，你給我兩個(gè)矩陣，我怎么知道這兩個(gè)矩陣是描述的同一個(gè)線性變換呢？如果是同一個(gè)線性變換的不同的矩陣描述，那就是本家兄弟了，見(jiàn)面不認(rèn)識(shí)，豈不成了笑話。好在，我們可以找到同一個(gè)線性變換的矩陣兄弟們的一個(gè)性質(zhì)，那就是：若矩陣A與B是同一個(gè)線性變換的兩個(gè)不同的描述，則一定能找到一個(gè)非奇異矩陣P，使得A、B之間滿足這樣的關(guān)系：B=P-1AP。線性代數(shù)稍微熟一點(diǎn)的讀者一下就看出來(lái)，這就是相似矩陣的定義。沒(méi)錯(cuò)，所謂相似矩陣，就是同一個(gè)線性變換的不同的描述矩陣。而在上面式子里那個(gè)矩陣P，其實(shí)就是A矩陣所基于的基與B矩陣所基于的基這兩組基之間的一個(gè)變換關(guān)系。關(guān)于這個(gè)結(jié)論，可以用一種非常直覺(jué)的方法來(lái)證明。這個(gè)發(fā)現(xiàn)太重要了。原來(lái)一族相似矩陣都是同一個(gè)線性變換的描述啊！工科研究生課程中有矩陣論、矩陣分析等課程，其中講了各種各樣的相似變換，比如什么相似標(biāo)準(zhǔn)型，對(duì)角化之類的內(nèi)容，都要求變換以后得到的那個(gè)矩陣與先前的那個(gè)矩陣式相似的，為什么這么要求？因?yàn)橹挥羞@樣要求，才能保證變換前后的兩個(gè)矩陣是描述同一個(gè)線性變換的。當(dāng)然，同一個(gè)線性變換的不同矩陣描述，從實(shí)際運(yùn)算性質(zhì)來(lái)看并不是不分好壞的。有些描述矩陣就比其他的矩陣性質(zhì)好得多。這很容易理解。所以矩陣的相似變換可以把一個(gè)比較丑的矩陣變成一個(gè)比較美的矩陣，而保證這兩個(gè)矩陣都是描述了同一個(gè)線性變換。這樣一來(lái)，矩陣作為線性變換描述的一面，基本上說(shuō)清楚了。但是，事情沒(méi)有那么簡(jiǎn)單，或者說(shuō)，線性代數(shù)還有比這更奇妙的性質(zhì)，那就是，矩陣不僅可以作為線性變換的描述，而且可以作為一組基的描述。而作為變換的矩陣，不但可以把線性空間中的一個(gè)點(diǎn)給變換到另一個(gè)點(diǎn)去，而且也能夠把線性空間中的一個(gè)坐標(biāo)系（基）表?yè)Q到另一個(gè)坐標(biāo)系（基）去。而且，變換點(diǎn)與變換坐標(biāo)系，具有異曲同工的效果。

參考文獻(xiàn)：

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