初中幾何教學中“中點”問題的解題策略及案例

張鳳琴

（寧波市鄞州區橫溪鎮中學）

當我們解決幾何問題時，構造輔助線，找到中點、中心、重心的位置，分析線段比例等，都能夠幫助我們很好地分析和解決問題。運用好“中點”這一要素，可以幫助我們快速地抓住要點，更快更準地完成答題任務。

一、見“中點”，要分析

（一）考慮中位線

在三角形中解決幾何問題時，如果已知一邊中點，第一步要考慮找到另一條邊的中點，將兩點連線，這條線便是該三角形的中位線。中位線的特點是，平行并等于第三條邊的一半。

比如下面這道例題：

已知三角形ABC中，點D是線段AB的中點，點E是線段AC的中點，證明

（分析：由題可知點D和點E分別是線段AB和線段AC的中點，所以線段DE是三角形ABC的中位線，所以線段BC的長度等于兩倍線段DE的長度。）

解：∵D和E分別是AB和AC的中點

且∠DAE=∠BAC

∴△ABC∽△ADE

綜上

圖1

（二）特殊三角形首先考慮中線

當結題時遇到特殊的三角形，如直角三角形、等腰三角形、等邊三角形、等腰直角三角形等圖形時，首先找到特殊邊的中點。例如：找到直角三角形斜邊中點，將這個中點與直角的頂點相連，這條線為斜邊中線，長度為斜邊的一半。

圖2

例題：如圖2所示，△ABC為直角三角形，D為AB的中點，AC長為3cm，DC長2.5cm，求BC長度。

（分析：首先證明出直角三角形斜邊中線為斜邊的一半，再利用勾股定理求出BC長度。）

方法一：

圖3

解：如圖3所示，延長CD，使DE=CD。連接AE，EB

∵D是AB中點，CD是AB上的中線

∴AD=DB

∵CD=DE

∴四邊形ACBE是平行四邊形

∵∠ACB=90°

∴平行四邊形ACBE是矩形

∴AB=CE，AD=BD，CD=DE

∴AD=BD=CD=DE

∴AB=2CD=5cm

∵AC2＋BC2=AB（2勾股定理）

∴BC2=52-32

BC=4cm

答：BC長為4厘米。

方法二：（分析：利用三角形全等定理證明CD=1AB，再通過

2勾股定理算出邊長。）

圖4

解：如圖4，過B點做一條垂直于BC的直線與CD延長線交于E點

∵∠ACB=∠EBC=90°

∴AC∥BE（同旁內角互補，兩直線平行）

∴∠CAB=∠ABE

在△ACD和△BDE中

∠CAB=∠ABE

D是AB中點

∴AD=DB

∠ADC=∠EDB

∴△ACD≌△BED（ASA）

∴AC=EB，CD=ED

∴在△ACB和△EBC中

AC=EB

∠ACB=∠EBC

CB=BC

∴△ACB≌△EBC（SAS）

∴∠DCB=∠ABC

∴CD=BD=AD

∵AB=2CD=5cm

∵AC2＋BC2=AB2（勾股定理）

∴BC2=52-32

BC=4cm

答：BC長為4厘米。

特殊的三角形：等腰三角形的三線合一定理

（分析：利用三角形的全等知識，證明出等腰三角形的三線合一定理，從而解決相關問題。）

圖5

例題：如圖5所示，△ACB為等腰三角形，P為CB中點，AB＝5cm，AP＝4cm，求BC的長度。

解：∵P是CB中點

∴CP＝PB

∵△ACB是等腰三角形

∴AC＝AB

∠C＝∠B

AP是△ACP和△APB的公共邊

∴△APB≌△ACP

∠CAP＝∠PAB

∴AP⊥CB（三線合一定理）

∠APB＝90°

∴△ACP和△APB是直角三角形

根據勾股定理可知，

PB2＋AP2＝AB2

∵AB＝5cm，AP＝4cm

∴PB＝3

∵P是CB中點

BC＝6cm

答：綜上，BC邊長為6厘米。

（三）做出以此中點為對稱中心的對稱圖形。

圖6

例題：如圖6，△ACB為直角三角形，D為AB邊上的中點，以D為中心，做△ABC的中心對稱圖形ABE。連接DE。因為中心對稱，所以△ABC≌△ABE。由此可知 AC＝EB，AE＝CB，AD＝DB＝CD＝

綜合上述條件可以得出邊長關系，以便解決其他問題。

（四）一般的四邊形中點問題，可以轉化為三角形中線，中位線定理的應用，也就是連接一條對角線并找到它的中點。

二、創新型幾何教育教學工作的開展

教師在課堂教學時就要努力引導學生的思維，將那些學習有困難的學生拉入課堂討論中，提高他們的課堂參與感，從而激發他們學習的熱情。課下，也可以針對不同學習程度的學生進行有針對性的指導，在家庭作業方面可以對基礎較薄弱的學生進行單獨的講解，并留一些適合他們練習的題目。因材施教的方法讓不同程度的學生都能根據自己的理解能力，掌握幾何學習的節奏，從而幫助他們理解記憶，以便更好地提高成績。

在幾何教學中要注重幾何語言的應用。圖形語言、文字語言及符號語言是幾何語言的三種存在形式。老師不僅要鍛煉學生建立三種幾何語言的能力，還要培養其將三種語言相互轉化，并且適當運用的能力。因為三種語言的特點不盡相同，所以在幾何教學中也都各自發揮著不同的作用。例如圖形語言比較直觀，其形象生動的特質能幫助學生更好地認識和理解相關問題；文字語言就比較抽象，不是那么容易理解，但是其概括性很強，可以對圖形本身和其中蘊含的條件進行準確的描述與解釋，并且對幾何的定理、公式、定義等內容進行精確的表達，使學生能充分理解題目，加快做題進度，節省時間。符號語言是文字語言的又一次簡化，更加抽象，因此符號語言也是三種語言中最難掌握的一種。它對于幾何學習的初學者的邏輯推理能力要求相對較高。因此教育工作者在教學過程中，要抓住時機針對學生對這三種語言相互轉化方面的意識和能力進行訓練和提升。

在幾何學習中什么是證明？經過分析推理出一個命題的正確性，這個邏輯推理的過程也就是我們所說的證明。那“推理過程”又是什么呢？解決具體問題時我們又該如何引導學生進行“推理”呢？

正所謂“授之以魚，不如授之以漁”，教師所能教授的只是理論，只有學生自己擁有清晰的解題思路，掌握解題方法，才能做到舉一反三，游刃有余地解決問題。因此教師要講解尋找證明思路的方法。幾何學習中比較常用的解題方法是分析綜合法。也就是把所學證明方法進行綜合運用來論證命題的一種思維方式。從不同角度出發考慮問題，在解決較難問題時，會收到事半功倍的效果。

幾何作為一門嚴謹的學科。首先在學習態度上就要端正。幾何推理證明能力的養成是很漫長、很艱難的過程。不論是老師或是學生都不要操之過急，要有計劃性、有針對性地去學習。從簡單到復雜，由淺入深，使學生由被動學習變成主動學習。針對一些重難點，例如中點、重心、中位線等，要更加注重教學模式的改革，為學生打好基礎。

參考文獻：

張順燕.數學的源與流［M］.北京：高等教育出版社，2004.