素超代數的廣義超導子和局部廣義超導子

袁鶴

(吉林師范大學數學學院,吉林四平 136000)

1 引言

設A是代數,若A上的線性映射d滿足對于任意a∈A存在導子da:A→A使得d(a)=da(a),則稱d是A上的局部導子.Kadison[1]與Larson和Sourour[2]最先開始研究局部導子,他們得到一些特殊的代數上的局部導子是導子.Bre?ar[3]證明了含有非平凡冪等元的素環上的局部導子是導子.Fo?ner[4]將Bre?ar[3]的結果推廣到了超代數上.1991年,Bre?ar[5]給出了環上廣義導子的定義:若對于環R上的加法映射g存在R上導子d滿足g(xy)=g(x)y+xd(y),x,y∈R,則稱g是R上的廣義導子.王宇[6]研究了含有非平凡冪等元的素環上的Bre?ar意義下的局部廣義導子.2015年,趙延霞等[7]研究了可換環上上三角矩陣李代數的局部自同構和局部導子.

Nakajima在文獻[8]中還引入了另一種廣義導子.設A是代數,m∈A,g:A→A是線性映射,如果

則稱(g,m)是A上的廣義導子.特別地,若A含有單位元1,則m=?g(1).Fo?ner[9]研究了由冪等元生成的代數上的Nakajima意義下的局部廣義(α,β)-導子.

根據Nakajima意義下的廣義導子的定義,我們給出了廣義超導子和局部廣義超導子的定義.證明了具有非平凡冪等元的素超代數上的局部廣義超導子均為廣義超導子,還給出了廣義超導子的一個刻畫.

定義1.1設A是超代數且i∈{0,1}.若m∈Ai與i階線性映射g:A→A滿足

則稱(g,m)是A上i階的廣義超導子.一個0階廣義超導子與一個1階廣義超導子之和稱為A上的廣義超導子.

若A含有單位元1,則上述定義中的m=?g(1).顯然,g(xy)=g(x0y0)+g(x0y1)+g(x1y0)+g(x1y1),其中x=x0+x1,y=y0+y1.根據環上Bre?ar意義下的廣義導子的定義,本文作者[10]給出了超代數上Bre?ar意義下的廣義超導子的定義.

定義1.2設A是超代數,g:A→A是i階線性映射,若存在A上i階的超導子d滿足

則稱g是A 上i階的Bre?ar型廣義超導子.若g=g0+g1,其中gi是A上i階的Bre?ar型廣義超導子,則稱g是A上的Bre?ar型廣義超導子,稱d=d0+d1是g的相伴超導子.

實際上,Nakajima型廣義超導子均為Bre?ar型廣義超導子.定義映射d=g+λa,其中λa(x)=mx,所以d(s)=g(s)+ms,s∈H(A).因此對于任意s,t∈H(A),

所以g(st)=g(s)t+(?1)i|s|sd(t).又因為

所以d是A上i階的超導子.

定義1.3設A是超代數且i∈{0,1}.若i階線性映射g:A→A滿足對于任意x∈A存在i階的廣義超導子(gx,m):A→A使得g(x)=gx(x),則稱g是A上i階的局部廣義超導子.一個0階局部廣義超導子與一個1階局部廣義超導子之和稱為A上的局部廣義超導子.

設A=A0⊕A1是超代數,定義集合E=E0⊕E1,其中E0={e∈A0|e2=e}(E0是A0中所有冪等元構成的集合),E1={e∈A1|存在e′∈E0滿足(e′+e)2=e′+e}.因為(e′+e)2=e′+e,e′∈ E0,e ∈ E1,所以 e2=0,e′e+ee′=e.用 R=R0⊕R1來表示由 E 生成的A 的子超代數,用I=I0⊕I1來表示由[E0,A]生成的A 的分次理想,其中[·,·]表示換位子.由文獻[4,引理1.2],I?R.如無特殊說明,本文中的A是指含有單位元和非平凡冪等元的素超代數.顯然,I0.對于A的元素,我們將用帶下標的同一字母表示該元素的齊次分量,例如若x∈A,則其0次和1次齊次分量分別記作x0和x1.

2 局部廣義超導子

本節將證明A上的局部廣義超導子是廣義超導子.

引理2.1設g是A上i階的局部廣義超導子,則

證因為g是A上i階的局部廣義超導子,i∈{0,1},所以對于任意y∈A,x∈H(A),z∈A,存在i階的廣義超導子(gy,m)滿足

現在斷言,對于任意x,y∈A,若xy=yz=0,則必有(x0+(?1)ix1)g(y)z=0.實際上,由可得x0y0+x1y1=x0y1+x1y0=0,從而

設e,f是A中的冪等元,則對于任意a∈A均有

因此,對于e0∈E0,f0∈E0,根據上面的斷言可得

因此

對于e0∈E0,f=f0+f1∈E,f0∈E0,f1∈E1,再由上面的斷言可得

因此

再由(2.1)式有

類似地,對于任意f0∈E0,e1,f1∈E1,a∈A,有

因此g滿足

引理2.2設g是A上i階的局部廣義超導子,則

證只需證明對于任意e1,···,em,f1,···,fn∈ H(E)均有

先假設m=1.現在對n用數學歸納法.顯然當n=1時,(2.2)式成立.假設(2.2)式對于n成立.那么

因此當m=1時,(2.2)式對于任意n都成立.下面對m用數學歸納法.已經證明當m=1時,(2.2)式成立.現在假設(2.2)式對于m成立.那么因此(2.2)式對于任意m,n都成立.

引理2.3設A是含有單位元和非平凡冪等元的素超代數,若g是A上i階的局部廣義超導子,則(g,g(1))是A上i階的廣義超導子.

證在引理2.2中,取a=1有

因為I?R,所以

又因為

所以上面兩式相減有

因為p∈H(I),所以

因為A是素超代數,所以

用兩種不同的方式展開g(abq),對于任意q∈H(I),a,b∈H(A),有

兩式相減有

因此

整理有

因為q∈H(I),所以

因為A是素超代數,所以

因此(g,g(1))是A上i階的廣義超導子.

由上面這個引理有

定理2.4設A是含有單位元和非平凡冪等元的素超代數,A上的局部廣義超導子是廣義超導子.

3 廣義超導子

定理3.1設A是具有非平凡冪等元的素超代數,g:A→A是i階線性映射,m∈Ai,則(g,m)是i階的廣義超導子的充分必要條件是對于任意的x,y∈A,當xy=0時,

顯然,A上i階的廣義超導子滿足上式.本節主要是證明充分性.為了方便,設

引理3.2G(xr,z)=G(x,rz), x,z∈H(A),r∈H(R).

證設e是A中的冪等元,任取x,z∈H(A),因為

所以對于e0∈E0,由(3.1)式可得

兩式相減有

即G(x,e0z)=G(xe0,z).再由(3.1)式,對于任意x,z∈H(A),有

其中e=e0+e1.兩式相減有

即G(x,e1z)=G(xe1,z).因此對于任意e∈H(E)有G(x,ez)=G(xe,z).設T={r∈H(A)|G(xr,z)=G(x,rz),x,z∈H(A)}.因為對于任意r,r′∈T,x,z∈H(A),有

所以rr′∈T.因為H(E)?T,所以H(R)?T,即對于任意r∈H(R),有G(xr,z)=G(x,rz).

引理3.3映射g滿足對于任意t∈H(A2I),x,y,z,w∈H(A),有

證設 u ∈ H(I),x,y,z,w,w′,w′′∈ H(A),則 uzx,w′′uz,w′w′′u ∈ H(I)? H(R). 由引理3.2,有

設t=w′w′′u,顯然t∈H(A2I).因此對于任意x,y,z,w∈H(A)有

引理3.4設g是A上滿足(3.1)式的0階線性映射,則(g,m)是A上0階的廣義超導子.

證顯然A2I0.取w∈H(A),t∈H(A2I)滿足wt0.由引理3.3,有

由文獻[11,引理3.2],存在μ∈C0滿足μwt=g(wt)?g(w)t?wg(t)?wm′t.由引理3.3,有

因為A是素超代數,所以

顯然,m′+μ∈A0.令m=m′+μ,則(g,m)是A上0階的廣義超導子.

引理3.5設g是A上滿足(3.1)式的1階線性映射,則(g,m)是A上1階的廣義超導子.

證取w∈H(A),t∈H(A2I)滿足wt0.

當C1=0時,由引理3.3和文獻[11,定理3.5(i)],有

因為A是素超代數,所以

因此(g,m)是A上1階的廣義超導子.

當C10時,由引理3.3,對于任意x,y∈H(A),z0∈A0,有

由文獻[11,定理3.5(ii)],對于任意z1∈A1上式也成立,即

再由引理3.3,對于任意x,y∈H(A),z1∈A1,有

兩式相減有

類似地,對于任意z0∈A0,有

兩式相加有

因為A是素超代數,所以g(xy)=g(x)y+(?1)|x|xg(y)+(?1)|x|xmy,x,y∈H(A).因此(g,m)是A上1階的廣義超導子.

參考文獻

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