立足數學實驗 指向核心素養
——“展開與折疊”教學設計與思考

■劉春陽

一、理論支撐

1.數學實驗活動。數學活動經驗的積累是提高學生數學素養的重要標志。幫助學生積累數學活動經驗是數學教學的重要目標，是學生不斷經歷、體驗各種數學活動過程的結果。

2.數學核心素養。數學核心素養是數學學習者在學習數學某一個領域所表達出的綜合性能力。初中數學課程應該培養學生需要具備的核心素養有數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算、數據分析等。

二、教學目標

通過展開、折疊，感受立體圖形與平面圖形之間的關系；有些立體圖形按照不同方式展開成平面圖形,有些平面圖形也可以折疊成立體圖形；能想象并畫出簡單幾何體的表面展開圖,能根據表面展開圖判斷、制作簡單幾何體；經歷、體驗圖形的變化過程,發展空間觀念,養成研究性學習的良好習慣。

三、教學重、難點

1.教學重點。通過展開、折疊，感受立體圖形與平面圖形之間的關系，體驗圖形的變化過程，發展空間觀念。

2.教學難點。能想象并畫出簡單幾何體的表面展開圖，能根據表面展開圖判斷、制作簡單幾何體。

四、教學設計

活動一：圓柱的側面展開圖。

1.圖片展示，引導學生觀察圖片中的建筑物，探尋學過的幾何圖形——圓柱體。

引導學生結合圓柱體模型，分組討論下列問題：

問題1：怎么求圓柱體的側面積？

問題2：圓柱體側面展開會是什么圖形？

討論結束后，先請一位學生演示：沿圖1的虛線剪開，展開，觀察所得圖形，再探究它與立體圖形之間存在的數量關系。

圖1

圖2

設計意圖：從建筑物著手，抽象出幾何圖形，作為新知識的生長點，提出問題，引導學生思考。學生能真切感受到數學來源于生活，又服務于生活。培養學生應用數學的意識。圓柱體的側面是曲面，其面積不容易計算，采取的策略是將曲面平面化，把不能直接解決的問題，通過轉化，變成可以用已有的知識或經驗來解決的問題，培養學生的轉化思想。

2.教師引導學生思考。

問題3：將圓柱體的側面沿不同的路線剪開，展開，所得到的平面圖形是否相同？

問題4：這些平面圖形之間有什么關系？

學生按照自己設計的路線（如圖2）剪開，并展開成平面圖形，在小組內討論，得出結論：將圓柱體的側面沿不同的路線剪開，展開所得到的平面圖形不相同，但是這些圖形經過變換后，都可以得到第一種圖形——長方形。得出圓柱的側面展開圖之間的關系：

立體圖形（側面）平面圖形

數量：1.圓柱底面圓的周長等于長方形的長；

2.圓柱的高等于長方形的寬；

3.圓柱側面積等于長方形的面積。

思想方法：轉化思想。

設計意圖：讓學生經歷展開與折疊的全過程，體會立體圖與平面圖形之間的關系，增強空間想象能力；讓學生明白展開與折疊都是解決問題的辦法，體會轉化思想；讓學生設計出不同的路線，剪開，展開，有助于培養學生設計問題的能力和創新意識，同時又能增強學生做數學實驗的操作能力。先從“數量”角度探究剪的圖形與長方形之間存在相等關系，進而啟發學生思考：從“形”的角度看，它們之間會不會存在著某種必然的聯系？體現了“數形結合”的數學思想。多樣化的展開方式有較強的創新性，同時也體現了圖形的內在統一性。創新意識是學生核心素養中的核心，培養學生的創新意識，數學教學有不可替代的作用和價值。

活動二：圓錐的側面展開圖。

實物展示：在日常生活中，有些建筑物可以抽象成圓錐體。仿照研究圓柱體側面展開圖的方法，探究圓錐的側面展開圖。

圖3

圖4

問題5：怎么計算圓錐的側面積?圓錐體側面展開又會是怎樣的圖形呢？

操作：請一名學生演示，將圓錐側面沿如圖4的虛線剪開，展開，然后，其他同學各自將課桌上的圓錐側面沿虛線剪開，展開，再將其卷起作為圓錐的側面，反復操作。

探究它們之間的數量關系：

立體圖形（側面）平面圖形

數量：1.圓錐底面圓的周長等于扇形的弧長；

2.圓錐的側面積等于扇形的面積；

3.圓錐母線等于扇形的半徑。

思想方法：轉化思想

設計意圖：數學教學的實質就是教會學生提出問題、思考問題和探究解決問題的方法。因為圓柱體和圓錐的側面都是曲面，所以探究圓錐的側面和扇形之間的“數”與“形”的關系就完全可以借助探究圓柱體側面的方法，放手讓學生自主完成。用類比的方法去學習新知識，發現新結論，是數學學習中重要的方法。學會學習是學生核心素養的重要組成部分。這部分教學設計是為了進一步增強學生對圓柱體與扇形的空間意識和實踐操作能力，引導學生勤思考、善歸納、會總結，提升學生數學學習素養。

活動三：正方體的側面展開圖。

實物展示：如果一個幾何體的表面是平面，它的表面展開圖會是什么樣呢？我們以正方體為例，探究正方體沿部分棱剪開、展開所得到的圖形。

問題6:將一個正方體紙盒沿部分棱剪開，展開，會得到什么樣的平面圖形呢?

問題7:將一個正方體紙盒沿部分棱剪開并展開得到平面圖形，至少需要剪開幾條棱?

（要求:正方體表面展開成的6個正方形要相連，即其中每個正方形至少要有一條邊與其他的正方形的邊重合。）

設計意圖：正方體的6個面都是平面，通過動手操作，讓學生感悟到同一個正方體紙盒的表面沿不同的棱剪開，展開成的平面圖形不相同。讓學生經歷從獨立操作到交流分享的過程，培養其合作學習的習慣和意識。

教師在學生剪出的圖形中任選一種引導學生思考：

問題8：你怎樣得到如圖所示的平面圖形？

圖5

學生分組討論并解釋如何操作，對于難點問題，可展開討論。

設計意圖：根據要求展開正方體紙盒，目的是要求學生將操作與思考結合起來。如何剪？這樣剪行嗎？下一步又怎么剪？定向剪裁的展開方式是本課的難點，對學生的空間想象能力要求較高。動手操作和動畫演示相結合，可以較好地培養學生的空間想象能力，有助于培養學生的空間觀念，把數學核心素養的養成落實到每一節課上。

在問題8的基礎上，教師利用幾何畫板把剛才的動畫逆向演示，將其折疊可以得到正方體，提出下面問題：

問題9：下面圖形能折疊成正方體嗎?若能，請指出相對面。

設計意圖：“先想一想，再折一折”是一個觀察、思考、實踐的過程，其中“想一想”是理性的思考，有助于提高學生的空間想象能力，“折一折”是操作活動，可以讓學生直接感受平面圖形與立體圖形之間的關系，并驗證“猜想”是否正確，有助于培養學生的空間觀念。

問題10：下面圖形能折疊成正方體嗎？若不能,怎樣改變其中一個正方形的位置，使它與其余5個小正方形重新拼接后能折疊成正方體？

教師可讓一個學生到講臺前操作，并思考：可移動的正方形有幾個？移動一個正方形后，將其擺放的位置有幾處？

設計意圖：通過觀察、思考，學生能夠發現，圖示的平面圖形不能沿虛線折疊成一個正方體，通過平移可以改變形狀，使之可以折成一個正方體。這樣既鍛煉學生的實際操作能力，又發展學生的空間想象能力。可移動的正方形有3個，移動一個正方形后將其擺放的位置有4處，又強化學生的分類思想。提醒學生要從多角度思考問題，考慮問題要全面。

思考：把下列圖形沿虛線折疊，觀察其圍成的幾何體。

設計意圖：把所給的圖形沿虛線折疊，并加以判斷，這一過程突出了學生的自主操作，引導學生再次感知：平面圖形和立體圖形可以通過折疊和展開相互轉化，并解決有關實際問題和數學問題，進一步滲透轉化思想，提高學生解決問題的能力。

五、教學反思

1.數學活動經驗是提升數學思維的支撐。

《全日制義務教育數學課程標準（2011年版）》特別強調，數學活動經驗的積累是提高學生數學素養的重要標志。幫助學生積累數學活動經驗是數學教學的重要目標，是學生不斷經歷、體驗各種數學活動的結果。“數學活動經驗”是在“做”中積累起來的，因此在教學中，我讓學生親身參與了“剪一剪”“展一展”“折一折”“拼一拼”等活動，讓學生在獲得豐富的活動經驗的同時，又經歷了探究、思考、抽象、歸納等數學思維的全過程，既達到對展開與折疊的過程體會，又讓學生真正明白展開與折疊是解決數學問題的有效辦法。這樣既能增強學生的數學直觀能力，又能讓學生感悟到數學的理性思維。數學活動經驗是學生思考和創新的起點，是核心素養形成的有效支撐。

2.高質量問題是數學教學的核心。

一個高質量的數學問題要能夠激發學生的好奇心，引起學生思考，激發學生創造性的思維，啟迪學生的智慧。問題3和問題4既可以引導學生從邊長、面積這樣的數量角度思考，也可以引導學生從“圖形”本身的角度思考。當一連串的問題得到解決,學生才恍然大悟，圓柱體側面沿不同的路線剪開，展開，得到的平面圖形都可以經過變換得到長方形，因此我們在研究圓柱體的側面展開圖時，只需沿母線剪開，展開即可。在教學過程中，教師考慮到學情和數學本身的特點，不急于求成，而是緊緊抓住學生思維的閃光點追問，既突破了難點，又作為新知識的生成點，“生成”一些新的教學資源,體現了數學的實質。教師能夠及時把握，因勢利導,有意識地培養學生創新意識，可謂彰顯了智慧，啟迪了思維。

3.數學思想方法是數學核心素養的精髓。

數學思想方法是數學學科的特質，是數學區別于其他學科的重要標志。數學思想方法的掌握是提高數學思維能力的必經之路，是數學學科的核心素養，需要在教學中不斷挖掘和滲透。本節課的核心數學思想方法有：轉化思想、分類思想、數形結合思想。

總之，一節數學實驗課只有以提升學生數學核心素養為認知目標，才是有效的、高效的、實效的課堂。