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設交點坐標解反比例函數

2018-05-23 02:43:04陳志勇
初中生世界 2018年19期

陳志勇

反比例函數與幾何圖形的綜合題常常出現在中考試卷中,這類題目難度往往屬于中等,但有時候反比例函數與幾何圖形的綜合題難度挺大的,怎么解決這類題目呢?

例1如圖1,A、M是反比例函數圖像上的兩點,過點M作直線MB∥x軸,交y軸于點B;過點A作直線AC∥y軸交x軸于點C,交直線MB于點D.BM∶DM=8∶9,當四邊形OADM的面積為時,k=________.

圖1

【思路分析】四邊形OADM的面積=矩形OCDB的面積-△BOM的面積-△OAC的面積,△BOM的面積和△OAC的面積都是所以只要能表示出矩形OCDB的面積即可.

由于BM∶DM=8∶9,可設M點的坐標為則D點橫坐標為17m,所以A點的坐標為(

由于四邊形OADM的面積為,點D的坐標為可列方程解得k=6.

【方法點撥】要表示一個四邊形的面積,首先要求出四個頂點的坐標或設出點的坐標.在雙曲線與幾何圖形的綜合題中,常常設雙曲線上的點的坐標,特別是雙曲線與直線的交點的坐標.這樣這個坐標既在雙曲線上,又在直線上,為問題的解決提供便利.

例2(2017·南通)如圖2,四邊形OABC是平行四邊形,點C在x軸上,反比例函數y=的圖像經過點A(5,12),且與邊BC交于點D,若AB=BD,則點D的坐標為_______.

圖2

圖3

【思路分析】如圖3,延長BA交y軸于點M,過點B作BN⊥x軸,過點D作DN⊥y軸,BN與DN相交于點N,由于點A(5,12),可得k=60.

易證△AOM∽△DBN,所以DN∶BN∶BD=5∶12∶13.設DN=5m,BN=12m,BD=13m,則可以表示出D點坐標為(5+8m,12-12m).

根據k=60,可得(5+8m)(12-12m)=60,解得,則

例3如圖4,直線與雙曲線(x>0)交于點A.將直線向右平移個單位后,與雙曲線交于點B,與x軸交于點C,若則k=________.

圖4

【方法一】分別過點A、B作AD⊥x軸于點D,BE⊥x軸于點E,由于點A是直線上一點,可設A點坐標為,由于△AOD∽△BCE,可知AD=2BE,所以B點的縱坐標為(根據相似,求出B點縱坐標.)

直線BC是由直線向右平移個單位后得到的,因此BC的解析式為即所以點B坐標為(根據BC解析式,求出B點坐標.)

由于點A、B都在雙曲線上,所以,解得a=3.所以點A(3,4),所以k=12.(根據雙曲線上所有的橫縱坐標為一個常數,求出字母a的值.)

【方法二】設點A的坐標為利用前面的思路,可得B點縱坐標為,所以點B坐標為

因為經過點A,所以

因為BC:經過點B,所以

①代入②得:,解得a=3,將a=3代入①,可求得k=12.

【方法點撥】解決函數圖像中的幾何圖形問題,常考慮設點的坐標,選擇設哪個點的坐標呢?一些關鍵位置的點,如函數圖像的交點,或函數與幾何圖形的交點,常被我們作為待設對象.

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