設交點坐標解反比例函數

陳志勇

反比例函數與幾何圖形的綜合題常常出現在中考試卷中，這類題目難度往往屬于中等，但有時候反比例函數與幾何圖形的綜合題難度挺大的，怎么解決這類題目呢？

例1如圖1，A、M是反比例函數圖像上的兩點，過點M作直線MB∥x軸，交y軸于點B；過點A作直線AC∥y軸交x軸于點C，交直線MB于點D.BM∶DM=8∶9，當四邊形OADM的面積為時，k=________.

圖1

【思路分析】四邊形OADM的面積=矩形OCDB的面積-△BOM的面積-△OAC的面積，△BOM的面積和△OAC的面積都是所以只要能表示出矩形OCDB的面積即可.

由于BM∶DM=8∶9，可設M點的坐標為則D點橫坐標為17m，所以A點的坐標為（

由于四邊形OADM的面積為，點D的坐標為可列方程解得k=6.

【方法點撥】要表示一個四邊形的面積，首先要求出四個頂點的坐標或設出點的坐標.在雙曲線與幾何圖形的綜合題中，常常設雙曲線上的點的坐標，特別是雙曲線與直線的交點的坐標.這樣這個坐標既在雙曲線上，又在直線上，為問題的解決提供便利.

例2（2017·南通）如圖2，四邊形OABC是平行四邊形，點C在x軸上，反比例函數y=的圖像經過點A（5，12），且與邊BC交于點D，若AB=BD，則點D的坐標為_______.

圖2

圖3

【思路分析】如圖3，延長BA交y軸于點M，過點B作BN⊥x軸，過點D作DN⊥y軸，BN與DN相交于點N，由于點A（5，12），可得k=60.

易證△AOM∽△DBN，所以DN∶BN∶BD=5∶12∶13.設DN=5m，BN=12m，BD=13m，則可以表示出D點坐標為（5+8m，12-12m）.

根據k=60，可得（5+8m）（12-12m）=60，解得，則

例3如圖4，直線與雙曲線（x＞0）交于點A.將直線向右平移個單位后，與雙曲線交于點B，與x軸交于點C，若則k=________.

圖4

【方法一】分別過點A、B作AD⊥x軸于點D，BE⊥x軸于點E，由于點A是直線上一點，可設A點坐標為，由于△AOD∽△BCE，可知AD=2BE，所以B點的縱坐標為（根據相似，求出B點縱坐標.）

直線BC是由直線向右平移個單位后得到的，因此BC的解析式為即所以點B坐標為（根據BC解析式，求出B點坐標.）

由于點A、B都在雙曲線上，所以，解得a=3.所以點A（3，4），所以k=12.（根據雙曲線上所有的橫縱坐標為一個常數，求出字母a的值.）

【方法二】設點A的坐標為利用前面的思路，可得B點縱坐標為，所以點B坐標為

因為經過點A，所以

因為BC：經過點B，所以

①代入②得：，解得a=3，將a=3代入①，可求得k=12.

【方法點撥】解決函數圖像中的幾何圖形問題，常考慮設點的坐標，選擇設哪個點的坐標呢？一些關鍵位置的點，如函數圖像的交點，或函數與幾何圖形的交點，常被我們作為待設對象.