統計與概率易錯題分析與辨別

康海芯

同學們在學習統計與概率時，由于認知水平、理解水平的不同，解題過程中往往會出現這樣或者那樣的錯誤.本文將結合同學們在統計與概率中出現的一些錯誤來進行分析，以達到正本清源的目的.

易錯點一：混淆了全面調查與抽樣調查

例1指出下列調查運用哪種調查方式合適.

（1）為了了解全班學生中觀看《全家總動員》這一節目的人數作的調查；

（2）為了了解中學生的身體發育情況，對全國八年級男生的身高情況作的調查；

（3）為了了解一批藥物的藥效持續時間作的調查；

（4）為了了解全國的“禽流感”疫情作的調查.

【錯解展示】（2）、（3）、（4）用抽樣調查的方式合適，（1）用全面調查的方式合適.

【錯因剖析】要調查全班學生中觀看《全家總動員》這一節目的人數，由于調查范圍很小，因此，用全面調查的方式合適；要調查全國八年級男生的身高情況，由于調查范圍太大，實現的可能性極小，加之對調查結果的精確度要求并不是太高，因此，用抽樣調查的方式合適；要了解一批藥物的藥效持續時間，全面調查具有破壞性，因此，適合抽樣調查；全國的“禽流感”疫情關系到國計民生，即使調查代價很大，也要采取全面調查的方式.

【正解】（1）、（4）用全面調查的方式合適，（2）、（3）用抽樣調查的方式合適.

易錯點二：樣本的抽取缺乏代表性

例2制訂本市七、八、九年級學生校服的生產計劃，有關部門準備對200名初中男生的身高作調查，現有三種方案：

（1）測量體校中200名男子籃球、排球隊員的身高；

（2）查閱有關外地200名男生身高的統計資料；

（3）在本市的市區和郊區各任選三所初級中學，在這六所學校所有的年級（1）班中，用抽簽的方法分別選出15名男生，然后測量他們的身高.

【錯解展示】方案（2）比較合理.

【錯因剖析】在統計中，收集數據時采用隨機抽樣的方法所抽取的數據才具有代表性.（1）體校運動員身高可能高于一般學生，樣本選取比較特殊，所以這樣的樣本不具有代表性；（2）外地學生的身高不能準確反映本地學生身高的實際情況；（3）中的抽樣方法符合隨機抽樣，而且樣本的代表性很強.

【正解】方案（3）比較合理.

易錯點三：不能正確理解總體和樣本的概念

例3為了了解一批電視機的壽命，從中抽取100臺電視機進行試驗.這個問題的樣本是（ ）.

A.這批電視機

B.這批電視機的壽命

C.抽取的100臺電視機

D.抽取的100臺電視機的壽命

【錯解】選C.

【剖析】在表達總體和樣本時，不僅要指出調查對象的數量，而且還要指出調查對象的屬性.錯解中只指出了樣本的數量，而沒有指出樣本的屬性，即電視機的壽命.

【正解】選D.

易錯點四：獲取統計圖信息時發生錯誤

例4 甲、乙兩家汽車銷售公司根據近幾年的銷售量，分別制作如下統計圖.

從2013年到2017年，這兩家公司中銷售量增長較快的是________.

【錯解】乙公司.

【剖析】這道題若從統計圖上直接觀察，很容易得到乙公司銷售量增長較快的結論，但實際上不是這樣，仔細觀察統計圖中的數據可以發現，甲公司從2013年到2017年銷售量大約從200輛增加到520輛；而乙公司從2013年到2017年銷售量從200輛增加到400輛，由此可以判斷甲公司銷售量增長較快.

【正解】甲公司.

易錯點五：混淆加權平均數與算術平均數

例5商店有兩種蘋果，一種單價為3.6元/千克，另一種單價為4元/千克.如果媽媽買了第一種蘋果2千克，買了第二種蘋果3千克，那么媽媽所買蘋果的平均價格是多少元？

【錯解】所買蘋果的平均價格是（3.6+4）÷2=3.8（元）.

【剖析】由于購買蘋果的單價不同，數量也不同，即每個數據的“權“也不同，所以不能通過直接求單價的平均數的方法計算所買蘋果的均價.而應用買兩種蘋果的總價錢除以所買蘋果總質量.即把購買的不同價格的蘋果數量作為權，利用加權平均數來計算平均價格.

【正解】所買蘋果的平均價格為

易錯點六：求眾數，誤將次數當作眾數

例6隨機抽取某城市2017年中30天的日平均氣溫狀況統計如下，求該組數據的眾數.

31 4溫度/℃__天數/天___12__2___15__3___17__3___24__5___26__7___30 6

【錯解】日平均氣溫為26℃出現了7天，出現的次數最多，所以這組數據的眾數是7.

【剖析】眾數是一組數據中出現次數最多的數據，是一組數據中的原數據，而不是相應的次數.本題抽查是氣溫的狀況，所以原數據應是溫度，而不是天數.

【正解】因為這組數據中，26℃出現了7天，出現的次數最多，所以這組數據的眾數為26℃.

易錯點七：求中位數忘記排序

例7求一組數據2，3，1，4，3，3，4，8的中位數.

【錯解】這組數據共8個，處于中間的兩個數據是4，3，它們的平均數是3.5，所以這組數據的中位數是3.5.

【剖析】中位數的計算方法是：將一組數據按從小到大（或從大到小）的順序排列，如果數據的個數是奇數，則處于最中間位置的數據就是這組數據的中位數；如果數據的個數是偶數，則處于最中間位置的兩個數據的平均數就是這組數據的中位數.錯解沒有將數據按從小到大的順序排列.

【正解】將這組數據按從小到大的順序排列為：1，2，3，3，3，4，4，8.處于最中間位置的兩個數為3，3，它們的平均數為3，所以這組數據的中位數為3.

易錯點八：不能理解方差的意義

例8 從甲、乙兩位車工加工的零件中，各抽取了8件，量得直徑尺寸如下：（單位：mm）

甲：35.01 35.03 35.05 34.98 34.96 35.00 35.02 34.95

乙：35.04 34.99 34.97 35.00 35.03 35.01 34.99 35.01

問：誰加工的零件更接近35mm？

【錯解】經計算可求得35.005mm，所以甲加工的零件更接近35mm.

【剖析】錯解沒有正確理解平均數和方差的意義，誤認為誰的平均數接近35mm，誰的零件尺寸就接近35mm.事實上，他們的平均數與35mm相差非常小，這時應該比較他們的方差，方差越小，數據波動也越小，說明零件尺寸越接近其平均數.

【正解】經計算可求得35.005mm，s甲2=0.00105，s乙2=0.00045.因為他們的平均數相差非常小，且S甲2＞S乙2，所以乙加工的零件更接近35mm.

易錯點九：混淆“不可能”“必然”和“可能”事件

例9買一張福利彩票，中了特等獎，這個事件是________事件（填“可能發生”或“不可能發生”）.

【錯解】不可能發生.

【剖析】錯解產生的原因是不能正確地區分“不可能”和“可能”，把發生機會很小的不太可能發生的事件認為是不可能事件.事實上雖然買一張福利彩票中特等獎的機會很小，但它也是可能發生的，屬于隨機事件.

【正解】可能發生.

易錯點十：對概率的概念理解不透徹

例10買彩票中獎的概率是買100張彩票是否能中獎？

【錯解】一定會中獎.

【剖析】中獎的概率為1%并不是指每購買100張就一定有1張能中獎.如果是每100張就有1張中獎，那買100張就一定中獎是沒錯；如果是每1000張有10張中獎，則中獎的概率也是1%，但此時不能中獎的還有990張，所以買的100張可能是沒有獎的這990張中的100張.因此，即使買990張也不能保證一定能中獎，因為買的每一張彩票是否中獎仍然是不確定事件.

【正解】不一定會中獎.

易錯點十一：對問題思考不全面

例11任意擲一枚均勻的硬幣兩次，求兩次都是正面的概率.

【錯解】擲硬幣兩次的所有可能的結果為（正，正），（正，反）和（反，反）三種情況，所以兩次都是正面的概率是

【剖析】本題的錯誤在于遺漏了事件所有可能出現的結果數，注意（正，反）和（反，正）是等可能出現的，是兩種不同的情況，而不是一種情況.

【正解】擲硬幣兩次的所有可能的結果為（正，正），（正，反），（反，正）和（反，反）四種情況，所以兩次都是正面的概率是

易錯點十二：對事物發生的概率理解不透

例12小明和小強做游戲，袋子中有3個乒乓球，3個壘球，兩人任意摸出一球.（摸出后將球放回）摸到乒乓球則小明勝，摸到壘球則小強勝，這個游戲對雙方公平嗎？

【錯解】由于袋子中有3個乒乓球、3個壘球共6個球，則P（摸到乒乓球）P（摸到壘球），所以游戲公平.

【剖析】此游戲對雙方不公平.乒乓球和壘球本身質地、手感、大小都是不同的，這就不能保證摸球結果的隨機性.

【正解】游戲不公平.