中美大學微積分教材比較研究

于千 高雪芬

[摘 要]文章選取中國同濟大學數學系主編的《高等數學》教材與美國培生教育出版集團出版的Varberg等人編寫的《微積分》進行比較研究。比較兩種教材的內容編排、結構特征與習題難度，利用綜合難度模型，分別從探究、背景、運算、推理、知識含量五個難度因素進行兩本教材習題綜合難度的量化分析比較，得出各個維度的難度差異，為我國微積分教材編寫提供借鑒。

[關鍵詞]微積分；教材比較；難度模型；習題

[中圖分類號] G40-059.3 [文獻標識碼] A [文章編號] 2095-3437（2018）03-0007-04

微積分（高等數學）是近代數學的基礎，是理工科各專業和經濟管理專業學生的必修課，微積分課程的教學質量直接關系到一所大學學生的培養質量，而微積分的教學質量與微積分教材密切相關。

近年來，各國對微積分教材與教學改革均比較重視。Torner等人[1]研究了歐洲國家的微積分課程，發現微積分課程內容逐漸減少，并且更多地以非形式化的語言呈現。在歐洲大多數國家，數字化工具的使用已經開始融入微積分教學。然而在另一些國家，微積分課程依然采用傳統教學模式，側重于運算方面的知識。Sofronas等人[2]研究了“近似思想”是否應該作為微積分的核心概念，Briana等人[3]強調了微積分教材中多重表征協調使用的重要性。

隨著國際化辦學的發展，越來越多的國內學者開始關注中美微積分教材的比較研究。相對來說，美國微積分教材起點低、入門快，淡化了技巧，強化了原理，但是加速度大，騰飛快，跨度大[4]；在概念引入方式上美國教材一方面揭示了新概念的思想實質，另一方面通過豐富的信息量給學生留下了進一步思考的空間[5]。

作為在美國大學中使用較廣泛的微積分教材，Varberg等人編寫的Pearson Education Inc.出版的《微積分》（第九版）[6]具有重視應用，便于自學，強調嚴謹性等特點，這一點與我國許多現行的理工科微積分教材比較類似，它在美國是一本風格獨特的教材。然而，目前國內還鮮有這本教材的研究，所以本文選取中國應用廣泛的同濟大學數學系主編的《高等數學》[7]與之進行比較，并以微分學為例，研究二者在內容編排、習題難度等方面的異同。

一、知識點結構比較

從整體結構來看，兩本教材的章節大致是對應的。《高等數學》微分學主要由“導數與微分”、“微分中值定理與導數的應用”及“多元函數微分法及其應用”三章構成；而《微積分》中微分學主要由“導數”、“導數的應用”、“超越函數”以及“多元函數的微分”四章構成。兩本教材都涉及從一元函數的導數、微分、導數的應用到二元及多元函數的應用情況，但在具體的知識單元內部卻有諸多不同。本文選取微分部分內容較為典型的三個知識單元進行知識點結構的比較分析。

（一）導數的運算法則

這一部分的不同在于，《高等數學》第2章中給出了初等函數的全部求導公式，而《微積分》在第2章中只研究了冪函數和三角函數的導數，對于其他初等函數如指數函數、對數函數以及反三角函數的導數及相關運算是在第6章超越函數進行介紹。《微積分》這種教學內容的安排有利于學習者更容易地接受導數的概念和相關計算方法，并快速入門。

（二）微分中值定理及導數的應用

《高等數學》第3章第1節微分中值定理部分，按照羅爾中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理的順序，詳細闡述了三個中值定理，層層遞進、由易到難，然后基于三個中值定理來介紹導數的應用。

而《微積分》第3章中先學習導數的單調性、凹凸性、極值等導數應用問題，之后才是微分中值定理，并且只講授了拉格朗日中值定理，同時用拉格朗日定理補證了單調性定理。而直到第8章第1節在證明未定式0/0型時才引入柯西中值定理。書中提到“洛必達法則的證明是柯西對微分中值定理的延伸……”，也就是說，在需要柯西中值定理的時候，它巧妙地出現了。

由此可以看出，《高等數學》更加注重數學知識的體系完整性，更加偏向于按照數學知識的邏輯性來編排教材。而作為對照，《微積分》則更加注重按照學生的認知特點和認知方式，循序漸進地安排教學內容，螺旋式地編排教材。

（三）多元函數的偏導數與極限部分

在多元函數部分，《高等數學》的編排先由多元函數的極限、連續再到偏導數的定義，而《微積分》則先講授多元函數偏導數的定義，然后才是函數在某點處極限存在和連續的概念。教材編者認為偏導數是一個相對簡單的概念，只需研究在某一鄰域內的兩個方向，而極限和連續概念則需考慮所有方向，所以對于學生來說，極限和連續的概念更難。這一點也體現了美國數學教材編寫中由易到難、從特殊到一般的原則。

二、習題綜合難度比較

本文采用綜合難度模型[8]，分別根據探究、背景、運算、推理、知識含量五個難度因素的不同水平對兩本微積分教材微分導數章節部分的習題進行統計分析，然后利用下列公式計算教材樣本題組的加權平均值：

di=（i=1，2，3，4，5；j=1，2，3…）

其中，di（i=1，2，3，4，5）表示在第i個難度因素上的加權平均值；dij表示第i個難度因素的第j個水平權重（即依水平分別取1，2，3，4）；nij則表示選取的樣本題組中第i個難度因素的第j個水平的習題數；n是選取的樣本題組的總數，且對于任意的i，有nij=n。

本文選取了兩本教材中第2章導數的全部習題作為樣本進行研究，統計《高等數學》與《微積分》第2章共2000多道習題在每個難度因素上的分值，據此分析兩本教材在五個難度因素上的綜合難度。

（一）探究因素

整體上，兩本教材的習題理解水平上的題目最多，其次是識記，之后是應用與探究，這是其共同點。而《高等數學》除了在理解水平上的題目多過《微積分》外，其余三個水平的題目百分比均少于美國教材，尤其是在應用和探究水平上。這說明《微積分》在不同水平上的題目更加均衡，更加重視培養學生的發散性思維、解決實際問題以及探究學習的能力。而且《微積分》教材在應用和探究水平上的習題絕對數量較大，為教學提供了豐富的題型案例。

（二）背景因素

兩本教材都是無背景的習題較多，純數學語言描述的題目占大多數，但是，兩本教材在背景因素的個人生活水平上具有較大差異，《微積分》在這個水平上的題目百分比更高，說明《微積分》更加重視習題與學生生活經歷的聯系，注重培養學生解決實際問題的能力。

（三）運算因素

兩本教材的題目百分比都按照無運算、數值運算、簡單符號運算的順序遞增，但是，到復雜符號運算部分，《微積分》卻陡降，說明美國教材中的習題大部分止步于簡單符號運算，而相對來說，《高等數學》的復雜符號運算水平的習題百分比高出《微積分》較多，說明中國習題運算難度更高，對學生運算能力要求更高，需要學生對公式、法則熟練掌握并靈活運用。同時，《微積分》有更多包含數值運算的題目，還有很多估算和近似計算題目，這說明《微積分》更加鼓勵和培養學生的“數感”[6]。而這一點在《高等數學》教材中體現得較少。

（四）推理因素

兩本教材習題在推理程度上差異不大。兩本教材中考察推理能力的習題數目（包括簡單推理水平和復雜推理水平）所占總題數的百分比較少。證明題是考察學生數學推理能力的主要題型，需要學生綜合運用數學概念、數學公式、數學定理，甚至需要一定的數學思想方法才能求解。數據表明《微積分》導數這一章所含有的證明題數目比《高等數學》更多，更加注重考察學生推理能力，而《高等數學》第2章的習題多集中于計算題，證明題較少。

（五）知識含量因素

從圖中可以看出一個很有趣的現象：《高等數學》知識點數目和相應的百分比是遞增的，也就是說，知識含量多的題目占比多；而《微積分》則是遞減的，并且更加平緩。這說明《微積分》兼顧微積分的入門與提高，為新手提供了大量題型豐富的習題來鞏固基礎，同時也設置了綜合性較強的習題供學生進一步提高，這種習題設置方式會使微積分學習新手更容易地入門、更快地上手，《高等數學》的大部分習題則需要學習者有相對較好的數學基礎。

（六）綜合難度的比較

上文對各因素進行了逐一比較，接下來根據各因素的加權平均值畫出雷達圖，來比較習題的綜合難度。可以看出，二者都比較注重運算能力，但《高等數學》教材中習題的運算難度和知識含量遠高于《微積分》；而在探究、背景和推理方面，《微積分》的百分比都略高于《高等數學》。

三、結論與啟示

（一） 《高等數學》更重視知識的邏輯性與系統性，而《微積分》更注重考慮學生的接受程度

在具體知識單元的編排順序上中美兩國教材差異較大。如中國教材將三個中值定理按照邏輯順序安排在同一節中，按照先理論后實踐的順序編排，而美國教材中卻將兩個中值定理分別放在第3章和第8章遙相呼應，因為美國教材中中值定理不是作為一個完整的節來呈現的，而是分別作為單調性定理和洛必達法則的兩個理論依據出現的。類似的還有導數的運算法則、多元函數連續性的定義等，都與中國教材的編排順序存在較大差異。

（二）《高等數學》習題運算程度和知識含量較高，而《微積分》在探究、背景、推理方面的百分比較高

《高等數學》在運算和知識含量因素方面要高于《微積分》習題。《微積分》需要數學運算的習題絕對數量較大，但是公式的復雜度和運用的靈活性不及《高等數學》。《微積分》的習題知識含量少的題目更多，而《高等數學》的習題知識含量高的占比更大。

但是《高等數學》在探究、背景、推理三個因素上水平低于《微積分》。《高等數學》無背景的純數學問題占絕大多數，而《微積分》和實際生活有聯系的習題比重比《高等數學》大。特別是，《微積分》的習題比較注重和個人生活的聯系。兩本教材都沒有設置太多證明題或推理題，相比較來說，《微積分》的證明題和推理題占比更大。

（三）中國教材可以適當增加習題量，尤其是應用、探究問題

總體來說，美國教材的習題量遠大于中國教材的習題量，《微積分》中有更多的應用、探究問題。而且，美國教材除了課后習題、章節總復習外，在每一章的開始，還有預習題目，這些題目來自于先修的章節或者是部分先修課程，如來源于高中的代數，或者是前面幾章所學的內容。這樣，學生在學新知識的時候，自然可以將其與以前所學知識建立起聯結。

[ 參 考 文 獻 ]

[1] Trner G.， PotariD.，Zachariades T.. Calculus in European classrooms： curriculum and teaching in different educational and cultural contexts[J]. ZDM Mathematics Education （2014） 46：549-560.

[2] Sofronas K.S.， Thomas C， Hariharan S. A Study of Calculus Instructors Perceptions of Approximation as a Unifying Thread of the First-Year Calculus[J]. Int.J.Res.Undergrad.Math.Ed， 2015.

[3] Briana L， Jennifer G. Coordinating Multiple Representations in a Reform Calculus Textbook[J]. International Journal of Science and Mathematics Education， 2016-12： 1475-1497.

[4] 平艷茹.中美大學微積分教材之比較[J].科技資訊（學術論壇），2012（6）：197-198.

[5] 張逸潔.中美高校微積分教材比較研究[D].南京：南京師范大學，2013.

[6] Varberg D.， Purcell EJ.， Rigdon Steven E.. Calculus（9th Edition）[M]. London：Pearson Education Inc.， 2007.

[7] 同濟大學數學系.高等數學（第七版）[M].北京：高等教育出版社，2004.

[8] 鮑建生.主要國家高中數學教材的綜合難度及其難度特征的比較研究[J].中學數學月刊， 2011（4）：35.

[責任編輯：鐘 嵐]