自制密度計的兩個“細節”問題

王偉民 辛存良

(1. 安徽省太和縣宮集鎮中心學校, 安徽 太和 236652； 2. 山東省陽谷縣西湖中學，山東 陽谷 252311)

密度計是測量液體密度的儀器，其構造非常簡單——中空的柱狀玻璃管下端配一重物便構成了密度計構件的“全部”．因為結構簡單,所以多數人(特別是學生)利用身邊的生活材料,可以就地取材地進行密度計的手工制作．但是要制作出可以相對比較精準測量多種液體密度的“實用”密度計,密度計制作過程中的兩個“細節”問題就不得不認真考慮.這兩個“細節”問題分別是如何畫出密度計的刻度線,以及密度計下面的配重應如何選擇．

1 如何給密度計標刻度線

用密度計測量各種液體的密度,由于同一支密度計漂浮在密度不同液體的液面時所受浮力相等.由阿基米德原理可知,密度計排開各種液體的質量相等,所以,同一密度計排開不同液體的體積跟液體的密度成反比.如果密度計是一個“標準”的柱體,那么,密度計浸入液體中的長度與液體的密度成反比．因此,分度值一定時,柱狀密度計的刻度線是不均勻的——越往上刻度線越稀疏,越往下刻度線越密集．那么,柱狀密度計上這種不均勻的刻度線是如何精準標出的呢?不妨以一個具體實例為例進行分析說明．

圖1

例1.某學生采用在一根中空的柱狀細玻璃管下端拴一個螺絲帽的方法,自制了一支密度計．為了精確標上刻度,他先在玻璃管的內側固定一個紙條,并用一支精準密度計進行校正,發現當自制密度計放在純水中漂浮時(純水的密度1 g/cm3),水面在紙條的A處,當自制密度計置于密度為0.8 g/cm3的液體中漂浮時,液面在紙條的B處,如圖1所示．請利用直尺和圓規在紙條上畫出密度計的刻度線．要求刻度范圍(即密度計的量程)在0.6 g/cm3～2.0 g/cm3之間,且0.6 g/cm3～1.0 g/cm3范圍內的分度值是0.1 g/cm3,在1.0 g/cm3～2.0 g/cm3范圍內的分度值為0.2 g/cm3．

解析:考慮自制密度計下端栓著的螺絲帽,密度計浸入液體中的部分,作為整體已“演變”成了不規則的物體．為便于分析,我們將自制密度計的下端(連同螺絲帽)進行滿足一定條件的形變——形變成體積不變,重力不變,且截面積等于中空玻璃管截面積的“規則”柱體,如圖2所示．顯然,形變之后的密度計跟原來的密度計相比,當它們置于同一種液體中時,露出液面的體積是相同的,浸入液體中的體積也是相同的,因此,我們只需在圖2(b)中形變后的密度計上標刻度線即可．

圖2 自制密度計等積變形示意圖

圖3

再看其他刻度線位置的確定方法．

如圖4所示,過C作任意射線CR,從C點起用圓規在射線CR上順次截取10條相等的線段,SQ是其中的第7段,NM是其中的第10段.以A為端點分別作射線AS、AQ和AN,過M分別作MD∥AS,ME∥AQ,MF∥AN,分別交紙條的邊緣線于D、E和F,則過D、E、F3點作出的3條刻度線,分別為0.6 g/cm3、0.7 g/cm3、0.9 g/cm3的刻度線．

圖4 自制密度計刻度線作法示意圖

下面對這一結果進行證明．

在圖4的紙條上,用尺規作圖作線段中垂線的方法,分別作出線段CD、CE、CB、CF、CA的中點G、H、I、J、K,則過這5點所作刻度線對應液體的密度值,分別為D、E、B、F、A5刻度線對應數據的2倍,大小依次為1.2 g/cm3、1.4 g/cm3、1.6 g/cm3、1.8 g/cm3、2.0 g/cm3．

以上我們是利用尺規作圖的方法對自制密度計的刻度線進行標定．實際給自制密度計標刻度線,也可用特定的方法(例如借助量筒),或者根據測量的相關數據(例如測量出自制密度計的質量以及密度計漂浮在兩種已知密度液體表面時對應位置間的距離等),測量或計算出密度計柱體部分的橫截面積之后,通過計算的方法，算出密度計漂浮于各液體液面時不同液體密度對應刻度線的位置,再進行自制密度計刻度線的標注．

2 配重物體質量和體積大小的確定

掌握密度計刻度線的標定方法之后,我們關注的另一個問題自然是自制密度計的量程和分度值的確定．

密度計下面配重物體的作用,一方面可以降低密度計的重心(中空玻璃管的重心通常在玻璃管長度的中間位置,下面添加密度大、質量也大的配重之后,作為整體,密度計的重心會明顯降低),使密度計漂浮于液面時重心在浮心之下,可以“穩定”地直立漂浮于液面;另一方面,配重體體積大小和質量大小選擇的不同,會影響分度值確定的密度計刻度線間的距離,對長度一定的密度計而言,自制密度計刻度線間的距離過大或過小,會直接影響密度計的使用性能——若刻度線間距過小(這里的“間距”指的是分度值一定的兩刻度線間的距離),實際標刻度線時,就不得不增大密度計的分度值,則會降低自制密度計測量的精確度;若刻度線的間距過大,則自制密度計的測量范圍(量程)便會減小,很多液體的密度便無法測量．那么,應該如何確定自制密度計配重的質量和體積呢?我們依然以一個具體實例為例進行分析說明．

例2.某學生想利用手頭已有的一根一端封閉的中空柱狀玻璃管自制一支密度計(封閉端的截面是平面),經測量,這根玻璃管的長度為20 cm,質量為2 g,橫截面積是1 cm2,為測量精確而又方便,該學生想讓自制密度計的量程設定為0.6 g/cm3～2.0 g/cm3,有刻度線的部分長度為14 cm,玻璃管的上下方分別留出5 cm和1 cm沒有刻度的“機動”長度,如果在玻璃管的下端配一重物,試確定配重物體的體積大小和質量大小．

分析:漂浮于液面的物體,所受液體的浮力等于自身的重力,由阿基米德原理可知,物體所受液體的浮力等于物體排開液體的重力,所以,漂浮在液面的物體自身的重力等于它排開液體的重力,因此,漂浮物體的質量等于它排開液體的質量．利

圖5

用這一關系式,我們可以采用解方程的方法確定例2問題中配重物體的體積和質量．

解析:如圖5所示,設配重的質量為mg,體積是Vcm3,依題意則有

m+2=(V+1)×2,

m+2=(V+15)×0.6.

解得m=10 g,V=5 cm3.

對例2中的問題,當中空玻璃管的橫截面積、長度、體積和質量等物理量確定之后,配重體的體積和質量每取一對確定的數據,自制密度計上兩個確定密度對應刻度線之間的長度就會有唯一確定的值與其對應．所以,只有配重物體的質量和體積選擇合適大小的數據,才能夠使得自制密度計的量程和刻度間隔滿足事先設定的條件．