齒廓修形斜齒輪副嚙合剛度解析計算模型

魏 靜，賴育彬，秦大同，王剛強，林小燕

(重慶大學 機械傳動國家重點實驗室，重慶 400044)

在齒輪傳動系統中，齒輪的剛度激勵和誤差激勵等內部激勵是造成齒輪傳動系統振動和噪聲重要原因[1-2]。研究齒輪剛度激勵和誤差激勵的計算方法、建模和耦合機理對于齒輪系統動力學具有重要意義。

在剛度激勵方面，計算方法主要有材料力學方法、有限元方法、近似代替法等。根據對象不同，分為直齒輪和斜齒輪，在直齒輪嚙合剛度的計算方法中，目前主要用材料力學方法和有限元方法。Chaari等[3]利用材料力學方法，考慮直齒輪的彎曲變形、剪切變形、徑向壓縮變形、赫茲接觸變形和輪體變形計算直齒輪的嚙合剛度，并跟有限元方法作對比驗證，誤差在5%之內。由于材料力學方法比有限元法更加快速、高效，且計算的結果與有限元方法計算的結果相吻合，所以一般在齒輪系統動力學建模過程中，采用材料力學方法計算直齒輪的時變嚙合剛度。在斜齒輪嚙合剛度計算方法中，Liu等[4]采用近似代替法，采用斜齒輪嚙合線的時變性代替嚙合剛度的變化。由于近似代替法，存在較大誤差，Ajmi等[5]采用薄片法，將斜齒輪沿齒寬方向離散成一片片薄片斜齒輪，忽略薄片斜齒輪的軸向勢能，利用材料力學方法求得每片薄片斜齒輪的載荷分布，然后根據變形協調方程求得每片薄片斜齒輪的彈性變形和嚙合剛度，并跟有限元方法所得結果進行對比驗證。由于傳統的材料力學方法求解斜齒輪的嚙合剛度，忽略了斜齒輪的軸向變形，適用范圍并不廣泛。隨著計算機技術的發展，部分學者采用有限元方法求解斜齒輪的嚙合剛度。卜忠紅等[6]利用有限元方法，計算了螺旋角不同時一組內、外嚙合的斜齒輪嚙合剛度，研究了時變嚙合剛度的變化規律。常樂浩等[7]將有限元方法和彈性接觸理論相結合來計算斜齒輪的嚙合剛度。

齒輪的誤差激勵主要由齒輪加工、安裝等引起的。早期的齒輪動力學建模過程中，將誤差激勵和剛度激勵分別代入動力學模型中進行齒輪動力學分析[8]。馬輝等[9]利用有限元方法研究了不同齒頂修緣量對直齒輪嚙合剛度的影響，并將其代入齒輪系統動力學，分析了齒頂修緣對系統振動響應的影響。由于有限元方法計算效率低，計算點數有限，于是Chen等[10-11]基于材料力學方法提出了新型的綜合嚙合剛度與傳遞誤差耦合的非線性激勵解析計算模型，建立了考慮輪齒誤差影響的直齒輪嚙合剛度模型，研究分析了不同齒廓修形量對綜合嚙合剛度影響。王奇斌等[12]在Chen的基礎上，拓展了該模型，建立了考慮齒向修形的直齒輪嚙合剛度解析模型，并與有限元方法作對比，結果表明在不同修形量下兩種方法求解的嚙合剛度相對誤差不超過5%，而且計算效率遠大于有限元方法。

由于斜齒輪的輪齒誤差是一個三維空間問題，其齒廓修形后嚙合剛度的解析計算方法不同于直齒輪，而傳統的解析計算方法在計算斜齒輪嚙合剛度時沒有考慮斜齒輪嚙合線和嚙合位置的三維空間位置，所以不能計算齒廓修形后的斜齒輪的嚙合剛度。本文基于改進的斜齒輪嚙合線和嚙合位置三維空間的計算方法，考慮斜齒輪的軸向變形影響，提出了一種通用的斜齒輪嚙合剛度解析計算方法，建立了輪齒誤差和斜齒輪嚙合剛度相耦合的非線性激勵計算模型，驗證了該模型的準確性和快速性，展開了不同齒廓修形參數對斜齒輪嚙合剛度的影響規律的研究。

1 考慮齒廓修緣的斜齒輪嚙合剛度計算模型

1.1 斜齒輪嚙合線位置及長度改進算法

張亮等[13]提出了一種斜齒輪嚙合線位置及長度的計算方法，由于該計算方法需要求解方程組，在斜齒輪一個嚙合周期內，對主動輪轉角進行劃分，份數越多，求解效率越低，不能實現快速計算。

斜齒輪的嚙合面是漸開螺旋面，根據螺旋面嚙合原理，斜齒輪的嚙合面可以看成漸開線繞z軸做螺旋運動形成的。本文以左螺旋為基礎推出斜齒輪嚙合線的空間位置表達式。漸開線AB繞z軸向左螺旋到達漸開線A′B′，如圖1所示。

圖1 漸開線螺旋面的生成Fig.1 Generation of involute spiral surface

圖(1)中，半徑rb為斜齒輪的基圓半徑，點E為漸開線AB上的任意點，rE表示點E的向徑，θE表示點E的展角，其壓力角用αE表示。 點E′的空間位置表達式為

(1)

式中：(xE,yE,zE)表示漸開線上AB任意點E的空間坐標； (xE′,yE′,zE′)是漸開線A′B′上點E′的坐標；σ為參變數，它表示漸開線AB繞z軸到達漸開線A′B′轉過的角度;p為導程參數，p=pz/(2π)，pz為導程。

根據漸開線性質可得漸開線AB上任意點E空間坐標表達式為

(2)

式中：ωA為OA與軸x的夾角。 而tan(αE)=θE+αE，記tan(αE)為嚙合位置參數。

將式(2)代入式(1)，化簡可得

(3)

(4)

圖2 斜齒輪端面嚙合過程Fig.2 Meshing process of helical gear end surface

現將圖2中B2B1劃分為N等份，即將旋轉位置[ωB2,ωB1]和嚙合位置參數[tan(αB2),tan(αB1)]劃分為一一對應的N份。記第E份的旋轉位置和嚙合位置參數[ωE,tan(αE)]，(其中，E=1,2,…,N-1,N)有

(5)

化簡得

(6)

式(6)避免了文獻[13]方程組的求解。將式(6)得到的[ωE,tan(αE)]代入式(2)，可得到端面上漸開線AB上點K的位置坐標值[xE,yE,0]； 由式(3)可知，只要知道漸開線AB繞z軸偏轉的角度σ，即可求得漸開線A′B′上點E′空間坐標值[xE′,yE′,zE′]。

根據斜齒輪嚙合特點，當某一主動輪輪齒從ωB2轉到ωB1時，此時該輪齒并沒有結束嚙合狀態，當斜齒輪繼續轉動，即當某一主動輪輪齒從ωB1轉到ωB1-b/p(其中b為斜齒輪的齒寬)時，該輪齒結束嚙合。根據齒寬b的長度，從嚙合面ABB′A′看，斜齒輪嚙合過程中嚙合線出現圖3中兩種情況。當|ωB2-ωB1|≤b/p時，嚙合線的一端從A點開始到達B點，嚙合線的另一端還在AA′的點C上，如圖3(a)所示。 當(ωB2-ωB1)>b/p時，嚙合線的一端從A點開始到達B點，嚙合線的另一端從AA′上移到A′B′的C′上，如圖3(b)所示。

圖3 斜齒輪齒面嚙合過程Fig.3 Meshing process of helical gear tooth surface

斜齒輪可以看成一片片薄片斜齒輪組成，相鄰的薄片斜齒輪之間有一個偏轉角度，記為Δσ。將斜齒輪沿齒寬方向AA′劃分為M份薄片斜齒輪，可得式(7)。

Δσ=(b/p)/M

(7)

為計算方便，令Δσ=Δω。如圖3(a)所示，當斜齒輪對從ωB2轉到ωB1時，此時嚙合線為BC，BC被劃分為M=|ωB2-ωB1|/Δσ段，任取BC的一段cd，記嚙合點c,d的嚙合位置參數分別為tan(αc)、 tan(αd)，偏轉角度值分別為σc、σd，如式(8)所示。式(8)中，e表示嚙合點c投影到端面上的嚙合點位置。

(8)

在一個斜齒輪副從開始嚙入到嚙出周期內，根據圖3的嚙合線兩種邊界條件，可以確定任意旋轉位置時嚙合線上每個嚙合點的嚙合位置參數值和偏轉角度值。將式(8)代入式(3)可以得到嚙合線每個嚙合點的坐標值，此時嚙合線的長度表達式為

(9)

式中：i表示旋轉位置序號。

根據式(9)可以得到任意旋轉位置斜齒輪對的嚙合線長度，從而可以得到一個嚙合周期內總嚙合線長度。

1.2 斜齒輪嚙合剛度的計算

(10)

齒寬取嚙合點c,d的距離。根據式(1)～式(9)可得各參與嚙合的薄片直齒輪的嚙合位置參數和齒寬。然后根據材料力學理論考慮齒輪的彎曲變形，剪切變形，徑向壓縮變形，赫茲接觸變形，輪體變形，可以求得此旋轉位置時各薄片直齒輪對沿嚙合線上的等效剛度。將各薄片直齒輪的等效剛度相加得到此旋轉位置時斜齒輪對嚙合剛度。

利用傳統材料力學方法計算斜齒輪對嚙合剛度的方法并沒有考慮軸向力引起的軸向變形的影響。本文基于斜齒輪受力、變形分解，分析斜齒輪的法向變形與斜齒輪端面嚙合方向變形之間的關系，從而求得修正后的斜齒輪的嚙合剛度。斜齒輪受力和變形的分解，如圖4所示。

圖4 斜齒輪受力與變形分解圖Fig.4 The helical gear force and deformation decomposition diagram

圖4中Fn表示斜齒輪受到的法向載荷，將力Fn分解成沿軸向的分力Fz和沿端面嚙合線方向的分力Ft′，δn表示法向變形，δz和δt′表示法向變形δn沿軸向和端面嚙合線方向的分解。根據傳統計算方法，如果僅將一份薄片斜齒輪等效成薄片直齒輪，求其剛度時，只考慮了端面嚙合力Ft′的影響，并沒有考慮軸向力Fz的影響。 假設只考慮端面嚙合力Ft′影響所求的剛度為kt′，那么Fn/kt′表示斜齒輪沿端面嚙合方向的變形δt′等效到法向的變形，如圖4中的gh段所示。根據圖4中的幾何關系可以得到考慮軸向變形影響的斜齒輪嚙合剛度kn，表達式為

1/kn=(1/kt′)/cos2(β)

(11)

1.3 齒廓修緣的斜齒輪綜合嚙合剛度模型的建立

當斜齒輪為理想齒廓時，假設齒輪副之間不存在側隙，齒輪不受法向力F作用時，斜齒輪沿嚙合線方向的各對薄片斜齒輪副應該在理論位置接觸；而當齒輪受法向力F時，各薄片斜齒輪副沿法向齒輪變形量為Δj=δ是相等的，δ為斜齒輪副受法向力F時的傳動誤差，j為各薄片斜齒輪副的編號，(j≤1,…,M)，如圖5所示。

圖5 存在輪齒誤差時的斜齒輪嚙合過程Fig.5 The engagement of helical gear with tooth error

對斜齒輪進行齒廓修緣，從斜齒輪端面上看，同一個嚙合位置，齒廓修緣后的誤差是相同的，但是斜齒輪嚙合線上的每個嚙合點的嚙合位置是不同的，因而不同旋轉位置嚙合線不同，嚙合位置和嚙合誤差也是變化的。設某一時刻斜齒輪副沿嚙合線方向上，齒廓修緣后各薄片斜齒輪副的總的輪齒誤差為Ej(j≤1,…,M)，其中Eo，Ep，Eq表示其中3對薄片齒輪副的輪齒誤差，Emin表示此刻參與嚙合的n(n≤M)對薄片斜齒輪副中總的輪齒誤差最小的一對。結合前文斜齒輪嚙合剛度的計算方法，可得到任意時刻考慮齒廓修緣后的斜齒輪綜合嚙合剛度，表達式為

(12)

式中：F表示斜齒輪對所受到的法向力;n表示此旋轉位置時，有n對薄片斜齒輪參與嚙合;kj表示第j對薄片斜齒輪副嚙合剛度，并規定當輪齒沒有接觸時δj<0，kj=0，Ej表示第j對薄片斜齒輪副總的嚙合誤差，等于相嚙合的兩個薄片斜齒輪的誤差之和，i表示旋轉位置序號。

斜齒輪的綜合嚙合剛度計算流程圖，如圖6所示。

圖6 斜齒輪綜合嚙合剛度計算流程圖Fig.6 Flow chart of the total meshing stiffness calculation for helical gear

2 嚙合剛度計算結果

2.1 不考慮齒廓修緣的斜齒輪嚙合剛度計算結果

為了驗證本文方法的準確性和快速性，采用與文獻[7]相同的齒輪參數進行計算，如表1所示。

表1 齒輪參數Tab.1 Parameters of gear

齒輪單位齒寬載荷為300 N/mm，螺旋角β分別取5°，10°，15°，20°和25°，利用本文方法以及其它兩種方法得到的齒輪嚙合剛度均值Ka計算結果如表2所示，其中，文獻[7]采用的是有限元方法，HB法表示采用航空工業部標準HB/Z84.1—1984計算[7]。

表2 齒輪剛度計算結果Tab.2 Gear stiffness calculation results

由表2結果可知，本文方法所計算的嚙合剛度與其它兩種方法計算結果誤差在8%以內，文獻[7]中利用有限元方法求解斜齒輪嚙合剛度需要時間為約120 s，而采用本文方法計算時間僅約10 s，計算效率是有限元方法的12倍，且不受主動輪轉角劃分份數N的影響。如圖7所示，給出了考慮軸向變形和不考慮軸向變形時斜齒輪在不同螺旋角β的平均嚙合剛度Ka。 當β<15°時，考慮軸向變形的和不考慮軸向變形的斜齒輪平均嚙合剛度Ka相差不超過10%。隨著螺旋角的增加，不考慮軸向變形的斜齒輪平均嚙合剛度比考慮軸向變形斜齒輪平均嚙合剛度越來越大。兩者相差超過10%。所以傳統的材料力學方法求解斜齒輪的嚙合剛度只適用于螺旋角較小的范圍，當螺旋角較大時必須考慮斜齒輪的軸向變形對斜齒輪嚙合剛度的影響。

圖7 平均嚙合剛度曲線Fig.7 Average meshing stiffness curve

限于篇幅，本文僅給出螺旋角為5°、 15°和25°時綜合嚙合剛度Kγ與嚙合線總長度L的關系如圖8所示。 圖8中T表示無量綱時間，T表示一個輪齒從開始嚙合到對應位置所經歷的時間與嚙合周期的比值。

從圖8可知，斜齒輪輪嚙合線長度的變化跟綜合嚙合剛度的變化趨勢大致相同，當螺旋角β為15°時，此時斜齒輪多齒嚙合區域的嚙合剛度大于少齒嚙合區域的的嚙合剛度，直齒輪也是雙齒嚙合區域的嚙合剛度大于單齒嚙合區域的嚙合剛度。但是斜齒輪會出現跟直齒輪不同的情況，如圖8(a)和圖8(b)所示，當螺旋角β為5°和25°時，此時斜齒輪的的多齒嚙合區域的嚙合剛度反而小于少齒嚙合區域的嚙合剛度，這跟文獻[6-7]得出的結論一樣。

圖8 綜合嚙合剛度曲線Fig.8 Total meshing stiffness curve

對比圖8(a)、8(b)和8(c)可知，只用當螺旋角β為25°時，斜齒輪的嚙合線長度變化和綜合嚙合剛度的變化趨勢是一致的。現給出斜齒輪單齒對嚙合剛度Ks與單齒對嚙合線長度l的關系如圖9所示。

從圖9可知，隨著螺旋角β的增加，單齒對斜齒輪嚙合剛度變化趨勢跟單齒對的嚙合線長度的變化趨勢越來越接近，所以斜齒輪綜合嚙合剛度變化趨勢隨著螺旋角的增加也跟嚙合線的長度的變化趨勢越來越接近。根據斜齒輪嚙合線位置及長度的改進算法，結合圖3，可知，螺旋角β=5°, 15°時，有(ωB2-ωB1)>b/p，對應圖3(b)，斜齒輪嚙合線在A′C和C′B區間時，嚙合線長度處處相等，而斜齒輪的的單齒對的嚙合剛度并不是處處相等的，所以在斜齒輪動力學中，此時采用嚙合線長度的變化代替嚙合剛度的變化并不準確，誤差較大。當螺旋角β=25°時，有(ωB2-ωB1)

圖9 單齒對嚙合剛度曲線Fig.9 Meshing stiffness of single tooth curve

2.2 齒廓修形參數對斜齒輪綜合嚙合剛度影響

根據式(12)，只要知道齒廓修緣后任意時刻斜齒輪嚙合線上每個嚙合位置處的輪齒誤差，就能求得斜齒輪的一個嚙合周期內的綜合嚙合剛度。

根據表1的斜齒輪參數，對小齒輪和大齒輪同時進行齒頂修緣。根據ISO/DIS—1983給出的最大齒頂修形量Ca_max和最大修形長度La_max如式(13)所示。

(13)

式中：mt表示斜齒輪的端面模量。

根據式(13)，對齒輪進行齒頂修緣，小齒輪傳遞的扭矩為500 Nm，取修形長度La=0.5 mm為定值，修緣量Ca為5 μm、10 μm、15 μm、20 μm、25 μm時，修形曲線為直線，研究不同修緣量對斜齒輪嚙合剛度的影響。如圖10所示，給出5°、15°和25°時斜齒輪在不同修緣量下對綜合嚙合剛度的影響結果。

圖10 修緣量對齒輪綜合嚙合剛度影響Fig.10 Influence of profile modification mount on the total meshing stiffness of gear

圖(10)中，“0 μm”曲線表示未修形的斜齒輪嚙合剛度。圖(10)中T表示無量綱時間，T表示一個輪齒從開始嚙合到對應位置所經歷的時間與嚙合周期的比值。圖10(a)為螺旋角β=5°時斜齒輪綜合嚙合剛度隨齒廓修形量變化曲線，當齒廓修形量增加時，斜齒輪綜合嚙合剛度逐漸減少，且其變化量呈減小趨勢，這是因為當小齒輪傳遞的扭矩保持不變，斜齒輪嚙合剛度隨著齒廓修形量增大，逐漸趨于一個極限值。當斜齒輪未修形時，齒數交替區域，嚙合剛度會發生突變，當齒輪存在齒廓修緣時，齒數交替區域，齒輪嚙合剛度曲線變平滑。當齒廓修形量過大時，隨著齒廓修形量的繼續增加，齒輪嚙合剛度在齒數交替區域曲線變得更加陡峭。斜齒輪螺旋角β=5°時，斜齒輪嚙合過程對應著圖3(b)，所以當齒廓修形長度取得相對較小時，修形和未修形的斜齒輪綜合嚙合剛度曲線在二齒嚙合區域內仍然有著相同的嚙合剛度值，這也是造成齒輪嚙合剛度發生突變的主要原因。

當斜齒輪螺旋角β=15°時，斜齒輪嚙合過程對應著圖3(b)，相比于斜齒輪螺旋角β=5°時，此時所取得齒廓修形長度對于斜齒輪螺旋角β=15°的是合適的，因為此時斜齒輪在二齒嚙合區域內剛度曲線沒有重合部分。從圖10(b)中可知，當齒廓修形量Ca為20 μm時，此時斜齒輪修形效果最好，嚙合剛度曲線更加平滑；當齒廓修形量繼續增加時，由于斜齒輪嚙合剛度變小，齒廓修形量太大，齒數交替區域，斜齒輪嚙合剛度值跟未修形時的嚙合剛度值會發生突變。當β=25°時，斜齒輪嚙合過程對應著圖3(a)，斜齒輪嚙合剛度隨齒廓修形量變化曲線如圖10(c)所示。當齒廓修形量Ca為10 μm、20 μm時，嚙合剛度曲線在三齒和四齒交替區域比未修形的剛度曲線變的相對平緩，減少了嚙合沖擊。隨著齒廓修形量的繼續增加，嚙合剛度逐漸變小，跟螺旋角β=5°、β=15°不同的是此時少齒嚙合區域即三齒嚙合區域隨著齒廓修形量的增加而增加，齒廓修形量太大時，嚙合剛度曲線在齒數交替區域隨齒廓修形量增加而變得越陡峭。

圖11 斜齒輪嚙合齒面隨齒廓修形長度變化圖Fig.11 The sketch of helical gear meshing surface changing with profile modification length

圖12 齒廓修形長度對齒輪綜合嚙合剛度的影響Fig.12 Influence of profile modification length on the total meshing stiffness of gear

當螺旋角β=5°時，當齒廓修形長度La為0.3 mm、0.5 mm、0.7 mm時，斜齒輪嚙合剛度曲線跟未修形的嚙合剛度曲線，在二齒嚙合區域內有重合部分，隨著齒廓修形長度的增加，重合部分減少，當齒廓修形長度為0.9 mm和1.1 mm時，斜齒輪嚙合剛度曲線在二齒嚙合區域沒有重合部分，而且嚙合剛度曲線越來越平滑，不存在突變部分，如圖12(a)所示。

當螺旋角β=15°和β=25°時，隨著修形長度的增加，斜齒輪嚙合剛度值逐漸變小，而且嚙合剛度值越來越平滑，不同的是，當β=15°時，齒輪在多齒區域即三齒區域逐漸減少，在少齒區域即二齒區域逐漸增加，當β=25°時，齒輪在多齒區域即四齒區域逐漸增加，少齒區域即三齒區域逐漸減少。對比圖10(a)和圖12(a)，當β=5°時，選擇較長的齒廓修形長度可避免修形后剛度曲線與未修形的剛度曲線在二齒嚙合區域存在重合部分。因此隨著齒廓修形量的增加，當(ωB2-ωB1)>b/p時，斜齒輪的嚙合區域在多齒區域增加，在少齒區域減小。當(ωB2-ωB1)

所以當扭矩為500 Nm時，隨著修形長度的增加，不同螺旋角下的斜齒輪嚙合剛度值逐漸減小，嚙合剛度曲線也越來越平滑。當扭矩為3 000 Nm時，限于篇幅取螺旋角β=15°時，斜齒輪嚙合剛度值隨修形長度的變化如圖13所示。

圖13 β=25°齒廓修形長度對齒輪綜合嚙合剛度的影響Fig.13 Influence of profile modification length on the total meshing stiffness of gear when β=25°

當扭矩為3 000 Nm，β=25°時，隨著修形長度的增加，斜齒輪的嚙合剛度下降。嚙合剛度的下降趨勢是先增大然后再減小。當修形長度繼續增加時，斜齒輪的嚙合剛度值趨于一個定值。對比圖11(b)可知，當扭矩為500 Nm時，修形長度越長，嚙合剛度曲線越平滑，當扭矩為3 000 Nm時，隨著修形長度的增加，斜齒輪嚙合剛度值變小，變小趨勢先增大再減小，當修形長度繼續增加時，斜齒輪的嚙合剛度趨于一個定值。當修形長度為La=0.5 mm時，此時嚙合剛度曲線在三齒和二齒交替區域過渡較平緩。

3 結 論

(1) 結合螺旋面嚙合原理和斜齒輪端面嚙合性質，改進了斜齒輪三維空間嚙合線位置和長度計算方法，避免了方程組求解，實現了斜齒輪嚙合線位置及嚙合線長度快速計算；以此為基礎，根據力、變形分解原理和剛度/誤差耦合關系，提出了一種考慮軸向變形以及齒廓修緣的斜齒輪嚙合剛度解析計算模型。通過與航空標準和有限元計算結果進行對比，證明了該模型的可靠性和準確性。

(2) 齒輪參數符合(ωB2-ωB1)b/p條件下，更加準確，誤差更小。

(3) 利用本文建立的考慮軸向變形和齒廓修緣影響的斜齒輪嚙合剛度解析模型，能夠研究不同齒廓修形參數對斜齒輪嚙合剛度的影響規律，并能夠快速準確的確定最佳齒廓修形參數的范圍。

參 考 文 獻

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