斜拉橋的多重內共振及其耦合過程研究

孫測世，趙珧冰，康厚軍，趙躍宇

(1.重慶交通大學 土木工程學院, 重慶 400074； 2.華僑大學 土木工程學院, 福建 廈門 361021；3.湖南大學 土木工程學院, 長沙 410082)

工程柔性結構的非線性動力學一直是研究的重點熱點問題[1-3]。索、索-梁結構和斜拉橋是其中的典型代表，具有豐富的非線性動力學特性[4]，由此誘發的拉索大幅振動問題也已備受關注[5-6]。國內外學者從力學建模、有限元分析和實驗研究多方面展開了大量研究[7-8]。目前，對斜拉索的研究較多[9-10]，而單獨研究斜拉索無法考慮其與主梁或主塔間的耦合作用。因此，近年來也有許多學者研究索-梁結構非線性動力學。Xia等[11]研究了隨機振動下索-梁結構的自激振動。Gattulli等[12-13]采用有限元、實驗和數值分析研究了索-梁結構全局-局部模態的1∶2內共振。陳水生等[14]建立了考慮拉索與橋面耦合振動的非線性參數振動模型。趙躍宇等[15]也對索-梁結構內共振做了大量研究。王濤等[16]以有限元法研究了索梁耦合振動。Fung等[17]研究了時變斜拉索索力下索-梁結構的動力響應。Wei等[18]研究了索-梁結構的主參數共振、亞諧波共振等效應。實際結構往往具有多根拉索，因此，需建立更為復雜的動力學模型。Kang等[19]建立了雙索單梁斜拉橋的模型。Song等[20-21]研究了具有4根拉索的雙塔三跨式斜拉橋建模及渦激振動特性。Konstantakopoulos和Michaltsos建立了一座較簡單的斜拉索懸索協作體系橋的非線性動力學模型[22]。盡管如此，對于擁有數十根甚至上百根拉索的斜拉橋的非線性動力學建模、求解等仍存在諸多困難。因此，對斜拉橋非線性動力學行為的研究主要是利用有限元進行模態分析得到各振動模態；然后根據頻率間的倍數關系確定可能的非線性耦合振動；再結合現場或實驗測試識別模態，從而研究索-梁-塔非線性耦合振動[23]。El Ouni[24]通過模型實驗研究了雙懸臂狀態下的斜拉橋參數振動與控制。Caetano等[25-26]制作了Jindo橋縮尺模型，分析了各階局部模態、全局模態和混合模態，并通過振動臺實驗觀察到了索-梁-塔非線性耦合振動。之后，Caetano等[27]又對Guadiana橋進行現場測試，觀測到不同模態間的內共振及斜拉索“拍振”。Wu等[28]對Megami橋的非線性耦合振動進行了測試。

以上研究雖不同程度的觀測到了索-梁-塔非線性耦合振動，但斜拉橋模態頻率分布密集，結構(特別是拉索)動力響應通常是多種模態間的多重內共振的結果。多模態究竟如何相互耦合，如何由一種模態激發其它模態，僅僅憑借頻率間的倍數關系去研究顯然是不夠的。因此，有必要研究各模態的相互耦合過程。筆者曾開展了具有44根拉索的斜拉橋模型實驗[29]，在模型的主梁跨中處施加激勵，觀測到多重內共振及其導致的全橋大幅振動；發現當外激勵頻率約為長索固有頻率2倍時，該單頻激勵能同時激發拉索兩個相近的響應頻率(“拍振”)，且兩者之和恰好等于激勵頻率。然而，對于以上現象，雖竭力思索仍未曾有合理解釋。鑒于此，本文在文獻[29]的基礎上開展進一步研究。通過無相移濾波分離的振動信號和整體振動曲線研究了多模態耦合過程，揭示了該現象的機理。研究表明：該振動現象是斜拉橋多重內共振及其模態相互作用的表現，是強迫振動、局部-混合模態耦合振動和組合內共振共同存在的結果。本文是經進一步研究后的重新認識，是對文獻[29]的補充和完善。

1 實驗方案

1.1 實驗設計

本實驗的原型基于象山港大橋，大橋主橋為主跨688 m的半漂浮體系斜拉橋。斜拉索采用7 mm直徑高強度、低松馳鍍鋅平行鋼絲拉索，梁上標準索距15 m。抗拉強度為1 670 MPa，全橋共4×22×2=176根斜拉索。主梁為扁平流線形封閉鋼箱梁，梁高3.5 m(橋梁中心線內輪廓)，其上翼緣為橋面板，采用正交異性板結構。主梁鋼箱梁鋼板采用Q345D鋼。含風嘴全寬34.0 m，不含風嘴頂板寬26.4 m。主塔為鉆石型塔，高225.5 m，采用C50混凝土。根據存放模型的房間大小，采用縮尺比1∶250進行設計。因縮尺后構件尺寸和間距太小，制作加工很困難，配重和斜拉索位置也有沖突。不得不做出適當調整：不考慮主梁扭轉振動，將雙索面改為單索面，再將原立面布置的斜拉索兩兩合并，減少斜拉索根數，然后重新調整索力，調整原則為：保證結構靜態構型和原設計一致。調整后的斜拉索主要參數見表1(僅示出一岸，另一岸與之對稱)。

表1 斜拉索參數表Tab.1 Parameters of stay cables

實驗模型跨徑布置為(1 375 + 2 750+ 1 375) mm，主梁采用(100×5) mm矩形鋁合金板，保證抗彎剛度滿足相似關系，忽略軸向剛度相似關系。每個主塔均采用兩根(38×25×0.8) mm矩形鋁合金管分立于主梁兩側，也保證抗彎剛度滿足相似關系。模型與原型參數的相似關系見表2。斜拉索采用?0.5 mm不銹鋼絲繩，在跨中和L/4截面處布置2片相互垂直的(25×10×0.2) mm薄鋁片作為面內和面外振動的測點。斜拉索上設置?10×16 mm圓柱體鐵質配重，利用配重間距調整拉索單位長度重量。為便于配重安裝，同時保證配重重心和斜拉索重心重合，以減小重心偏離對拉索振動的影響，采用線切割沿直徑方向割開寬0.5 mm，深5.3 mm槽口。全橋共44根斜拉索，其主梁和主塔上標準間距分別為120 mm和30 mm。本橋為半漂浮體系，主梁和主塔連接處設置圓鋼，并涂抹潤滑油以釋放主梁縱向約束。為保證精度，所有構件均采用精加工制作。實驗模型整體布置和斜拉索編號見圖1。

表2 模型相似參數匯總Tab.2 Summary of model similarity parameters

圖1 斜拉橋實驗模型 (mm)Fig.1 Experimental model of cable-stayed bridge (mm)

1.2 測點布置

各測點布置如下：在中跨和邊跨的各個L/4及L/2截面設置差動變位式位移傳感器(LVDT)觀測豎向位移；在主梁端部布置LVDT觀測主梁的縱向漂移振動；在主塔塔頂處布置LVDT記錄其水平向振動位移；斜拉索振動是重點觀測對象，選取具有代表性的長索進行研究，在索A11跨中截面布置激光位移傳感器觀測面內振動；在索J11跨中和下L/4截面均布置激光位移傳感器觀測面內振動。在主梁跨中截面下方放置激振器激勵梁體，在上方設置高精度電渦流傳感器同步記錄激勵信號。全橋測點布置和編號見圖2，圖中數字為傳感器的編號(后文以“Sensorx”表示編號為“x”的傳感器)，箭頭表示該傳感器測試的振動方向。

圖2 測點布置圖Fig.2 Layout of measurement points

2 基本動力特性

斜拉索實測頻率見表3。表中部分短索因振動模態較難被激發以及周圍干擾影響過大未測得具體頻率值。

對斜拉橋模型進行模態識別，得到5階整體振動頻率及阻尼比；同時，采用有限元對比(見表4)。除部分模態沒有識別到外，有限元結果與實驗值較為接近。

表3 斜拉索頻率匯總表Tab.3 Frequencies of stay cables

表4 整體振動頻率及阻尼比Tab.4 Frequencies and damping ratios of global vibration

3 索-梁-塔非線性耦合振動及其過程

3.1 實驗現象

當激勵頻率f1=10.25 Hz時觀察到主梁、主塔和斜拉索均出現大幅振動。由表3可知，該激勵頻率約為最長索(A11、J11、A11’和J11’)固有頻率的2倍。各通道時程曲線及頻譜圖見圖3。由于時程曲線類似，本文僅示出全橋一半測點的數據，圖中縱坐標傳感器編號及其測試振動的方向見圖2。可以看到結構振動經歷了三個階段：①在5～20 s時(激振器在第5 s時啟動)，所有構件振動均非常小；②約第20 s后，結構振幅開始急劇增大，并在隨后的25 s時間內增大幾倍甚至幾十倍；③約第45 s后各測點振動均處于大幅穩態振動。由圖3(a)可知，全過程中激勵幅值基本保持不變，這說明結構后期的大幅振動蘊含著強烈的內共振。

由圖3(b)和(c)可知，斜拉索A11和J11的響應頻率組成中幾乎沒有激勵頻率f1，而是出現了兩個相近的頻率f2=4.662 Hz和f3=5.585 Hz，即：一個激勵頻率激發出兩個響應頻率。值得一提的是，三者間正好存在關系：f2+f3=f1(FFT分析存在一定誤差)。從形式上看，這與主共振、亞/超諧波共振、組合共振和聯合共振不同[30]。三者的關系類似于組合共振，不同的是組合共振是兩個外激勵頻率的線性組合等于結構的一個響應頻率，而該共振是結構的兩個響應頻率之和等于一個外激勵頻率。

由圖3(d)～圖3(i)可知，主梁豎向振動響應頻率主要組成是f1和f2，而f3的貢獻很小。主梁縱向漂浮振動幅值較小，僅約為豎向的1/5，且其存在多個主頻。主塔振幅比主梁稍小，其主頻僅為f2。

圖3 振動時程曲線及頻譜圖Fig.3 Vibration time histories and their spectrums

3.2 分段分析

為進一步探究該共振發生和變化的過程，對主梁跨中豎向(激勵處)、斜拉索J11跨中面內和邊跨跨中豎向振動的時程曲線局部放大。取振動開始的前幾秒和穩態振動的后幾秒繪制局部時程曲線及頻譜圖見圖4，圖中縱坐標傳感器編號及其測試振動的方向見圖2。需要說明的是，圖3和圖4中的頻譜圖在做FFT分析的時候數據點數不一樣，故得到的頻率值存在一定誤差。可以看到：振動初期主梁、主塔和斜拉索振動均很小，且此時激勵及主梁振動均為小幅單模態振動。之后，主梁、主塔和長索的振幅均迅速增大，出現穩態的“拍振”。由頻譜圖可知：激勵頻率在振動剛開始時僅有10.243 Hz這一成分(對應圖3中的10.25 Hz)，但后期穩態振動又出現2個較小的頻率成分。斜拉索J11在振動初期的主頻率為10.243 Hz，并伴隨有2個其它頻率成分，而后期穩態振動時10.243 Hz主頻幾乎消失，并激發出4.659 Hz和5.579 Hz兩個主頻。邊跨跨中振動起初也僅有與激勵頻率相同的成分，之后激發出4.659 Hz的成分并占據主導。

事實上，數據采集過程中也實時觀察到了各通道頻率的變化情況：主梁和主塔剛開始僅有頻率f1=10.25 Hz，之后逐漸出現f2=4.662 Hz的頻率成分，且對應幅值也逐漸增大。斜拉索起初僅有f1=10.25 Hz的頻率成分，之后同時出現f2=4.662 Hz和f3=5.585 Hz兩個頻率成分并逐漸增大占絕對主導。

圖4 時程曲線局部放大及頻譜圖Fig.4 Enlarged time histories and their spectrums

3.3 分離的振動信號與斜拉橋整體振動曲線

本實驗斜拉橋僅在主梁跨中承受頻率為10.25 Hz的單頻激勵，而斜拉索穩態響應竟出現4.662 Hz和5.585 Hz兩種主頻的“拍振”，且三者不是倍數關系，而是f2+f3=f1。

為進一步研究非線性耦合振動發生的過程，將各通道的實測振動信號進行無相移濾波，分別分離出4.662 Hz、5.585 Hz和10.25 Hz附近頻率成分，得到各頻率對應的振動時程曲線與頻譜圖見圖5，圖中縱坐標傳感器編號及其測試振動的方向見圖2。限于篇幅，僅給出中跨跨中(激勵處)、J11跨中面內振動、邊跨跨中豎向振動和1#主塔塔頂水平向振動的圖像。同時，利用分離后的數據，繪制主梁和主塔各測點在4.662 Hz、5.585 Hz和10.25 Hz主頻下的斜拉橋整體振動曲線如圖6。圖6中選取了振動初期(第20 s)和振動達到穩態大幅振動時(第60.02 s)兩種狀態進行對比。

由圖5(d)～圖5(f)可知：4.662 Hz和5.585 Hz是斜拉索J11的主導頻率，但兩者是由其它振動激發的。由圖5(j)～圖5(l)也可知：主塔振動以4.662 Hz為主導頻率，但其也是由其它振動激發的。結合圖4～圖6可知：振動初期，在10.25 Hz激勵的直接作用下，主梁僅發生頻率為10.25 Hz的振動，且主塔和斜拉索振動均很微小，是一種主梁的局部振動。從圖6的振動曲線可知，10.25 Hz的振動為主梁一階對稱彎曲振動。

隨著時間的推移，主梁一階對稱彎曲振動逐漸激發出主梁的4.662 Hz振動(圖5(g))，這可以從圖5(g)和圖5(i)振幅變化得到印證。不僅如此，該局部振動還同時激發出主塔和斜拉索4.662 Hz振動，從而出現全橋性大幅振動。圖6振動曲線表明該4.662 Hz頻率對應的振動形式為一階反對稱彎曲振動，是一種混合模態(如圖3(c))。根據模態測試結果(表1)，一階反對稱彎曲振動頻率為4.77 Hz，兩者之比為0.977。這說明處于非線性大幅振動的斜拉橋其非線性模態頻率將小于線性模態頻率。這與文獻[27]對Guadiana大橋現場測試的結果一致。

以上分析可知：雖然斜拉橋整體結構僅承受來自跨中的單頻外激勵(10.25 Hz)，但是，其內共振使結構出現了新的頻率(4.662 Hz)，故而，此時斜拉索承受著多種頻率的端部激勵。斜拉索J11在主梁一階對稱彎曲振動(10.25 Hz)和全橋一階反對稱彎曲振動(4.662 Hz)兩種端部激勵共同作用下，發生組合內共振，激發出5.585 Hz的頻率。這就是本橋在單頻外激勵作用下能激發出拉索兩個響應頻率，且f2+f3=f1的根本原因。與此同時，J11的大幅振動反作用于主梁和主塔的振動，使兩者出現5.585 Hz的弱振動(圖5(b)、圖5(h)和圖5(k))。

圖5 分離的振動信號及頻譜圖Fig.5 Separated vibration signals and their spectrums

圖6 各頻率對應的振動曲線Fig.6 Vibration curves of different frequencies

4 結 語

在斜拉橋的非線性動力學模型實驗中，觀測到單頻激勵作用下，多重內共振及其導致的大幅全橋振動。當該激勵頻率約為長斜拉索固有頻率2倍時，拉索發生大幅“拍振”，且兩個拍頻之和正好等于外激勵的頻率。通過對耦合振動過程的研究，得到如下認識：

(1) 非線性效應使斜拉橋非線性模態頻率比按模態識別確定的線性模態頻率低。

(2) 斜拉橋多重內共振需一定時間才能達到穩態振動，即：需要積蓄足夠的能量方能激發索-梁-塔的大幅振動。

(3) 對耦合過程的分析，是弄清多模態相互激發關系的有效手段。本實驗中10.25 Hz的外激勵先激發主梁10.25 Hz主梁局部振動(強迫振動)，再激發4.662 Hz混合模態(局部-混合模態耦合振動)；同時，由該混合模態與主梁局部振動組合激發出斜拉索的5.585 Hz振動(組合內共振)。這是單頻激勵能激發斜拉索“拍振”，且兩“拍頻”之和恰好等于該激勵頻率的根本原因。

參 考 文 獻

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