自由磨料射流軸心磨料速度模型及分析

章文峰，盧義玉，湯積仁，陸曉輝，程玉剛

(1.重慶大學 煤礦災害動力學與控制國家重點實驗室，重慶 400030；2.重慶大學 復雜煤氣層瓦斯抽采國家地方聯合工程實驗室，重慶 400030)

磨料射流是由固體顆粒(金剛砂、石英砂、陶粒等)與高速流動的水流或高壓水流相互混合而形成的液固兩相流[1]。因其切割破碎作業效率高、作業過程無熱反應區、不發生化學反應等優點[2]，目前被廣泛應用于石油、煤炭、機械等行業，如磨料射流油井割縫增產技術[3]、高壓磨料射流割縫防突技術[4]、磨料射流拋光技術[5]等，另外磨料射流在輔助鉆進硬巖[6]以及減少隧道開挖爆破振動[7]方面也有巨大的應用潛力。

磨料射流的磨蝕能力幾乎全由磨料顆粒產生的，在磨料沖蝕過程中，磨料顆粒動能的大小決定著沖蝕對象是否產生塑性變形和形成裂縫，同時，材料侵蝕速率也完全取決于磨料速度[8-10]。

目前對前混合磨料射流切割深度的預測一直備受關注，如王瑞和[11]、董星[12]、周衛東[13]等提出的前混合磨料射流切割深度模型。但在他們的模型中，都沒有體現出磨料速度這一關鍵參數。已有研究表明，磨料射流沖蝕巖石或金屬材料時形成的沖蝕坑是一“V”形剖面，“V”形剖面最深處對應著磨料射流的軸心[14]。根據沈忠厚、李曉紅等[15-16]的研究，磨料射流軸心流體速度是最大，而磨料的速度是通過與流體進行動量交換之后獲得的。因此，在射流同一截面上，磨料射流軸心磨料速度最大。

為了確定前混合磨料射流切割最大深度，必須得出磨料在射流軸心處的速度。為此，筆者以自由磨料射流軸心磨料為研究對象，利用自由磨料射流軸心流體速度方程及磨料運動方程，建立自由磨料射流軸心磨料速度模型，基于等分法和迭代求解的數值求解方法，得出自由磨料射流軸心磨料速度，并利用PIV實驗對磨料速度模型進行驗證，為建立準確的磨料射流切割深度模型和實現磨料射流切割技術的定量控制提供可靠的理論支撐。

1 自由磨料射流軸心流體速度方程

根據Rajaratnam[17]和Boguslawski[18]等的研究，高壓水射流經過噴嘴加速之后，以一種勻速狀態通過噴嘴出口進入空氣中，純水射流進入空氣后，其結構可分為初始段和基本段。純水射流的具體結構如圖1所示。初始段是指從噴嘴出口到等速核末端之間的射流區域。在等速核內，流體的速度與噴嘴出口的速度相等，而且流體速度大小、方向均相同。基本段，又被稱為射流完全發展區域，是指等速核末端之后的區域。在基本段內，射流軸心速度與距離噴嘴出口距離成反比關系。

圖1 純水射流結構示意圖Fig.1 Structure of water-jet flow in free air

射流等速核的長度與噴嘴出口流體速度無關，和噴嘴直徑成正比,則射流等速核長度可以用以下公式表示：

S0=adN

(1)

根據不同學者的研究結論，射流等速核的長度介于4～9.22[19-22]倍的噴嘴直徑之間，所以a=4～9.22。

假設噴嘴出口的速度為Vw-exit,根據純水射流結構特性，射流軸心的流體速度沿著射流方向的速度分布可表示為：

(2)

在等速核末端，射流軸心的速度是相等的，于是有：

(3)

則公式(2)可簡化為

(4)

2 自由磨料射流軸心磨料運動方程

自由磨料射流屬于典型的湍流運動，因此可用BBO方程來描述磨料顆粒在自由磨料射流軸心的運動。自由磨料射流軸心磨料運動方程為

FD=Fg+Fp+Fa+FB+FS+FM+FL+FSm

(5)

方程左邊為慣性力FD；方程右邊分別為重力Fg、壓差力FP、附加質量力Fa、Basset力FB、Stokes阻力FS、Magnus力FM、顆粒受到的升力FL和Saffman力FSm。

根據王明波等[23]的研究，當磨料顆粒從噴嘴噴出后，磨料顆粒受到的Basset力可以忽略。由于在自由磨料射流中，流體黏性的存在限制了磨料顆粒的旋轉，磨料顆粒受到的Magnus力也可以忽略。由于流體速度梯度沿徑向變化較慢，磨料顆粒所受到的Saffman力也可以忽略。另外，假設磨料顆粒是球形的，所以磨料受到的升力為零。由于磨料粒徑較小，在計算過程暫時不考慮重力的影響。

所以自由磨料射流軸心磨料運動方程(5)可以簡化為

FD=Fp+FS+Fa

(6)

對自由流場中單個顆粒的受力情況進行分析，得出公式(6)中各種力的表達式為

其中

式中：mp和ap分別為磨料質量及磨料加速度；Vw和Vp分別表示流體和磨料速度，m/s；dp為磨料粒徑，m；ρw和ρp分別為流體和磨料的密度，kg/m3；CD為Stokes阻力系數,其值與雷諾數和兩相速度差(VW-VP)有關；Re為雷諾數；dP/dx為沿射流方向的壓強梯度，Pa·s；μ為流體的粘度Pa·s。

3 數值求解方法

將慣性力FD、壓強梯度力FP、附加質量力Fa以及Stokes阻力FS的公式代入式(6)可得

(7)

從式(7)可以看出，磨料的加速度不是一個定值，求出該方程的顯式解是非常困難的。為此提出了基于等分法和迭代算法的近似求解磨料速度的方法，即將磨料的運動距離等分為一定數量的線段，假設磨料在每一等分段內的運動過程中磨料加速度是一常數，利用在每一段內的終點速度又是下一分段內的起點速度這一特點，同時磨料在開始運動時的初始速度已知，利用迭代求解的方法，求出磨料整個運動距離的速度。

具體思路如下：假設磨料在噴嘴外流場軸心的運動位移為L，將磨料運動距離L等分為n段，s=L/n。在每一小段內，假設磨料的加速度是一定值，利用在每一段內的起點速度，即可求得在每一段的終點速度。假設，在第i段內，磨料的起始速度為Vpi，磨料在終點的速度為Vpi+1，磨料的加速度為api，那么他們之間滿足以下關系

(8)

當運動距離s，api，Vpi已知時，則第i段運動距離的終點速度Vpi+1為

(9)

從式(9)中可以看出，磨料加速度在迭代過程中的表達式對求解式(9)至關重要。

在求式(9)之前，首先對dP/dx這一關鍵參數進行轉換。圖2為自由磨料射流軸心壓強變化示意圖。

圖2 自由磨料射流軸心壓強變化示意圖Fig.2 Sketch map of pressure change of the centerline in free abrasive water jet

假設流體不可壓縮，且忽略自由磨料射流軸心液相的重力勢能，在第i段內，流體在起點時的速度為Vwi，壓力為Pi。流體在終點時速度為Vwi+1，壓力為Pi+1。根據質量守恒定律和伯努利方程可知

(10)

所以

(11)

由于假設流體在自由磨料射流中的流動屬于定常流動，因此水的速度可以用位置x的函數表示，于是有

(12)

在初始段內，由于在軸心處流體的速度是相同的。因此，對自由磨料射流軸心磨料運動過程可分為初始段和基本段兩個過程。結合式(7)、式(11)和式(12)，化簡得到初始段和基本段第i段內磨料加速度表達式

(13)

式中：Vw對應初始段內軸心流體速度，Vpi對應初始段內第i段起點磨料的初始速度。Vwi和Vwi+1分別對應基本段內第i段的起點流體速度和終點流體速度，Vpi對應基本段內第i段的起點磨料速度。

表1 雷諾數Re與阻力系數CD取值公式Tab.1 Drag coefficient equations

當流體速度和磨料速度變化時，雷諾數也會變化的，對應的阻力系數也會隨之變化。雷諾數與阻力系數之間的取值見表1[24]。

(14)

根據表1，當Re(i)時，即可確定CD(i)。

所以在迭代求解過程中，磨料加速度的表達式為

(15)

將式(15)代入式(9)即可得到磨料速度在迭代過程的表達式

(16)

利用參考文獻[25]的方法得到噴嘴出口磨料速度，作為初始段內磨料的初始速度，利用式(16)可以計算得到初始段內磨料的速度。而初始段末端的磨料速度又是基本段內磨料的初始速度，利用式(16)可以得出基本段內磨料的速度。因此，可以得出自由磨料射流軸心任意位置處的磨料速度。

4 算例分析

算例條件：Vw-eixt=100 m/s，dN=0.004 m，ρp=2.7×103kg/m3,ρw=1.0×103kg/m3,dp=0.65×10-3m，s0=0.024 8 m，μ=1.14×10-3kg·m-1·s-1,基本段內的計算長度為0.045 2 m，噴嘴出口磨料速度為80 m/s。將上述參數代入迭代算法中，即可得到自由磨料射流軸心磨料速度、加速度以及雷諾數和阻力系數等參數，如圖3～5所示的結果。

圖3 自由磨料射流軸心流體速度和磨料速度變化趨勢圖Fig.3 Trend chart of fluid velocity and particle velocity at the centerline of free abrasive water jet

圖3是自由磨料射流軸心流體速度與磨料速度隨磨料運動距離的變化趨勢圖，從圖中看出，流體從噴嘴噴出后，在初始段內，由于等速核的特性，流體速度保持不變，隨后流體進入基本段，流體速度隨著距離噴嘴出口距離的增大逐漸減小。而磨料從噴嘴噴出后，在初始段內磨料速度逐漸增大，在初始段末端，磨料速度未達到速度最大值。隨后磨料進入基本段，磨料速度先增加后減小，磨料速度最大值出現在基本段內。在本例中，磨料速度與流體速度相同出現在距離噴嘴出口26.96 mm處。磨料速度最大值約為95.18 m/s,出現在距離噴嘴出口32.67 mm處，約為等速核長度的1.32倍，為噴嘴直徑的8.17倍。

圖4為自由磨料射流軸心磨料加速度變化趨勢圖，從圖中可以發現，在初始段內，磨料的加速度隨著距離的增加逐漸減小，而且磨料的加速度的值為是正的，意味著磨料在初始段內一直處于加速狀態，這與圖3中初始段內磨料速度的變化趨勢是一致的。根據初始段內磨料加速度表達式，可知，流體速度保持不變，磨料速度在逐漸增加，同時由于流體速度比磨料速度大，所以流體速度與磨料速度之差在逐漸減小，而且流體速度與磨料速度之差為正。所以磨料的加速度隨著磨料運動距離的增加減小，而且為正值。

圖4 自由磨料射流軸心磨料加速度變化趨勢圖Fig.4 Trend chart of particle acceleration at the centerline of free abrasive water jet

在3.84 mm處的雷諾數等于10 002.90，而在3.85 mm處的雷諾數等于9 999.79，根據表1，可知這兩處的阻力系數分別為0.41、0.42，最終使得在3.85 mm處的加速度要大于3.84 mm處的加速度。

在基本段內，磨料加速度隨著磨料運動距離的增加出現了先減小后增大的過程。而且磨料加速度的值出現了正負值。根據磨料加速度表達式可知，基本段內磨料加速度由兩部分構成。在基本段內，流體速度是逐漸減小的，所以(Vwi-Vwi+1)大于零，所以Vwi與(Vwi-Vwi+1)的乘積大于零，而且兩者的乘積會隨著磨料運動距離的增大逐漸減小。在圖3中可看出，在24.8～26.96 mm之內流體速度比磨料速度大，流體速度與磨料速度之差仍然大于零。所以根據加速度的表達式可知，磨料的加速度大于零，而且加速度的值逐漸減小。因此在這段距離內，磨料速度逐漸在增加，但是增幅越來越小。

隨著磨料速度的增加，流體速度與磨料速度之差小于零，并且差值逐漸增大，同時Vwi與(Vwi-Vwi+1)的乘積又在逐漸減小，直到兩者之和等于零時，磨料速度達到最大值。在圖4中磨料加速度在32.67 mm處等于零，此處磨料速度達到最大值。磨料達到最大值后，磨料的加速度變成小于零，所以磨料速度逐漸減小。

根據力學分析以及流體速度在初始段軸心的特性，基本段的磨料加速度比初始段內的磨料加速度多出一項，所以在基本段內，出現了加速度躍遷的現象。

圖5 自由磨料射流軸心雷諾數與阻力系數變化圖Fig.5 The change of Reynolds number and drag coefficient at the centerline of free abrasive water jet

圖5是磨料沿著自由磨料射流軸心運動時的雷諾數Re和阻力系數CD的變化圖。初始段內，隨著磨料運動距離的增加，磨料速度增大，而流體速度不變，所以流體速度與磨料速度之差的絕對值隨之減小，因此雷諾數隨著磨料運動距離的增加而減小。而在基本段內一定距離內，由于流體速度在減小，磨料速度在增加，所以磨料速度與流體速度之差的絕對值隨之減小，雷諾數隨之減小。而后流體速度和磨料速度都在減小，兩者減小幅度不一致，從圖中可以看出，雷諾數隨著磨料運動距離的增加先增大而后逐漸減小。

從圖5中可以看出，在整個過程中，阻力系數的值是一個變化值。阻力系數基本上是隨著磨料運動距離的增加先增大后減小的規律。因此，在研究磨料的運動過程時，不可將阻力系數CD當做一個定值處理。

綜上分析，可知自由磨料射流軸心磨料速度變化規律，即在初始段內磨料速度逐漸增大，但是磨料速度未達到速度最大值。在基本段內，磨料速度再次增加，直到達到最大值，隨后，磨料速度開始逐漸減小。

5 實驗驗證

為了對該模型進行驗證，本文利用PIV系統對噴嘴出口的磨料射流進行拍攝實驗，并利用文獻[26]的方法，得到了自由磨料射流軸心不同軸向位置的磨料速度。利用PIV實驗測得的磨料速度與模型理論值進行對比，驗證模型的正確性。

本實驗是在煤礦災害動力學與控制國家重點實驗室完成的。圖6為磨料射流PIV實驗示意圖。實驗所用PIV系統由YAG New Wave雙脈沖固體激光發生器、TSI630057型工業CCD相機和TSI 610034型同步控制器組成，全部購自于美國TSI公司。其中，激光發生器輸出能量為240mJ/Pulse，脈沖頻率15 Hz ；CCD相機測速范圍為0～1 000 m/s，分辨率為1 600 ×1 000(2M)；鏡頭為Nikon 50 mm/F1.8，鏡頭尺寸：45×68×66 mm；同步器提供一對Flash Lamp和Q-switch信號，延時精度15 n。此PIV系統測速精度為±1.0%，能夠滿足實驗需要。

圖6 磨料射流PIV實驗示意圖Fig.6 Schematic diagram of PIV experiments on Abrasive Water Jet

在實驗中，分別對3.2 MPa下的不同噴嘴直徑(3.2 mm,3.8 mm,4.5 mm)的收斂型噴嘴的磨料射流進行了PIV實驗，以及對3.2 mm直徑的不同泵壓下(1.0 MPa,3.2 MPa,5.0 MPa)的收斂型噴嘴的磨料射流進行了PIV實驗。磨料射流噴嘴出口PIV實驗的實驗參數設置見表2。PIV實驗的拍攝范圍為從噴嘴出口到距離噴嘴出口約70 mm的范圍。

表2 實驗參數設置Tab.2 Parameter settings for the experiment

根據參考文獻[26]，計算得到噴嘴出口磨料速度的初始速度。同時等速核長度為噴嘴直徑的6.2倍[10]。噴嘴出口水的速度按照經驗公式(17)取值。

(17)

圖7～圖11為不同結構噴嘴在不同泵壓下自由磨料射流軸心磨料速度理論值與實測值對比圖。

圖7 1.0 MPa下3.2 mm噴嘴外流場軸心磨料速度理論值與實測值對比圖Fig.7 Comparison of the measured and calculated particle velocities at the jet centerline for 3.2 mm nozzle at 1.0 MPa

圖8 3.2 MPa下3.2 mm噴嘴外流場軸心磨料速度理論值與實測值對比圖Fig.8 Comparison of the measured and calculated particle velocities at the centerline for 3.2 mm nozzle at 3.2 MPa

圖9 5.0 MPa下3.2 mm噴嘴外流場軸心磨料速度理論值與實測值對比圖Fig.9 Comparison of the measured and calculated particle velocities at the jet centerline for 3.2 mm nozzle at 5.0 MPa

圖10 3.2 MPa下3.8 mm噴嘴外流場軸心磨料速度理論值與實測值對比圖Fig.10 Comparison of the measured and calculated particle velocities at the centerline for 3.8 mm nozzle at 3.2 MPa

圖11 3.2 MPa下4.5 mm噴嘴外流場軸心磨料速度理論值與實測值對比圖Fig.11 Comparison of the measured and calculated particle velocities at the centerline for 4.5 mm nozzle at 3.2 MPa

圖7～圖9對應的是3.2 mm噴嘴外流場軸心磨料速度理論值與實測值對比圖，從圖中可以看出，壓力為1.0 MPa、3.2 MPa以及5.0 MPa時，在磨料射流初始段內，即圖中0～19.84 mm范圍內，磨料速度實測值與理論值的變化趨勢一致，都呈現出增加趨勢。在基本段內，即圖中19.84～70 mm范圍內，磨料速度實測值與理論值的趨勢都是先增大后減小的趨勢。磨料速度的最大值出現在磨料射流的基本段內。

圖10和圖11對應的是3.2 MPa下，3.8 mm噴嘴與4.5 mm噴嘴外流場軸心磨料速度理論值與實測值對比圖。從圖中可以看出，對于3.8 mm噴嘴，磨料速度實測值與理論值在0～23.56 mm范圍內(對應磨料射流初始段)都在增加，在23.56～70 mm范圍內(對應磨料射流基本段)磨料速度實測值與理論值先增大后減小，磨料速度的最大值出現在磨料射流的基本段內。對于4.5 mm噴嘴，軸心磨料速度實測值與理論值與3.8 mm噴嘴的磨料速度變化趨勢一致，磨料速度在初始段內先增加，但是速度未達到最大值，隨后磨料速度在基本段內進一步增加，直至磨料速度達到最大值，而后開始減小。

從圖7～圖11可以看出，噴嘴外流場軸心磨料速度PIV實測值的變化趨勢與理論值的變化趨勢是一致的。

利用數學統計的方法對磨料速度實測值與理論值進行進一步的統計分析得到，磨料速度PIV實測值與理論值的平均百分比誤差分別為2.23%，2.56%，2.32%，2.13%和1.59%。磨料速度PIV實測值與理論值的標準偏差分別為0.84 m/s，1.39 m/s，1.64 m/s，1.09 m/s和1.05 m/s。說明，磨料速度PIV實測值與理論值的大小吻合度較高，進一步對模型的正確性和準確性進行了驗證。

6 結 論

(1)為了研究自由磨料射流磨料速度，本文以自由磨料射流軸心磨料為研究對象，利用自由磨料射流軸心流體速度方程及磨料運動方程，建立了自由磨料射流軸心磨料速度模型。

(2)為了求解該速度模型，提出了基于等分法和迭代算法的數值求解方法，即將磨料的運動距離等分為一定數量的線段，假設磨料在每一等分段內的運動過程中磨料加速度是一常數，利用迭代求解的方法，求出磨料的速度。

(3)自由磨料射流軸心磨料速度隨著磨料運動距離的增加先增大后減小。在初始段末端磨料速度未達到速度最大值，磨料速度最大值出現在基本段內。

(4)磨料速度PIV實測值和理論值的變化趨勢基本一致，實測值與理論值的平均百分比誤差和標準偏差分別小于3%和2 m/s，吻合較好，驗證了該速度模型的正確性和準確性。

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