含鉸間隙平面連桿機(jī)構(gòu)動力學(xué)建模與仿真向量鍵合圖法

王中雙，徐長順，楊 韜

(齊齊哈爾大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，黑龍江 齊齊哈爾 161006)

在機(jī)械系統(tǒng)中,運(yùn)動副所起的作用是連接相鄰的構(gòu)件，使構(gòu)件間具有不同形式的相對運(yùn)動。由于機(jī)械構(gòu)件的相對運(yùn)動要求、加工誤差、裝配誤差及磨損等原因，不可避免地導(dǎo)致運(yùn)動副間隙的產(chǎn)生。從而使得機(jī)構(gòu)的運(yùn)動學(xué)、動力學(xué)性能有所改變。對于高速運(yùn)行的機(jī)械裝備，運(yùn)動副間隙會帶來較明顯的振動、噪聲問題，同時也會相當(dāng)程度地降低設(shè)備的運(yùn)動精度。因此，研究考慮運(yùn)動副間隙的機(jī)械動力學(xué)問題具有重要的實(shí)際意義。目前，含鉸間隙機(jī)構(gòu)動力學(xué)建模方法主要分為三大類[1]：① “接觸分離”二狀態(tài)模型；②“接觸-分離-碰撞”三狀態(tài)模型；③“連續(xù)接觸”模型。由此構(gòu)成了具有不同特點(diǎn)的含間隙機(jī)構(gòu)動力學(xué)的建模與分析方法，這些方法主要以牛頓-歐拉法(Newnton-Euler Method)、拉格朗日法(Lagrange method)、凱恩法(Kane method)等分析力學(xué)方法[2]為基礎(chǔ)，僅適用于單一機(jī)械能域系統(tǒng)的局部動力學(xué)，無法用統(tǒng)一的方式處理機(jī)、電、液、氣等多種能量形式并存系統(tǒng)的動力學(xué)建模與仿真問題。鍵合圖法[3]對于解決該類問題優(yōu)勢明顯，在實(shí)際工程中的應(yīng)用日益廣泛[4]。文獻(xiàn)[5-6]基于標(biāo)量鍵合圖，分別給出了含不同“接觸-分離-碰撞”運(yùn)動副間隙模型的槽輪機(jī)構(gòu)、齒輪機(jī)構(gòu)的動力學(xué)建模與分析方法。與傳統(tǒng)標(biāo)量鍵合圖相比較，向量鍵合圖[7]每根鍵上所對應(yīng)的勢變量和流變量皆為向量形式，這使其包含信息量較大，可以用更加緊湊、簡明的圖形方式，表述含間隙平面連桿機(jī)構(gòu)的運(yùn)動學(xué)及動力學(xué)特征，應(yīng)用更加簡單、便利。文獻(xiàn)[8]基于二狀態(tài)非連續(xù)接觸模型，建立了含鉸間隙平面四桿機(jī)構(gòu)的向量鍵合圖，實(shí)現(xiàn)了其動力學(xué)建模與仿真。但在處理貯能元件的微分因果關(guān)系及建立系統(tǒng)動力學(xué)方程方面，在方法上還局限于手工處理。

目前，應(yīng)用向量鍵合圖法進(jìn)行含鉸間隙平面連桿機(jī)構(gòu)動力學(xué)建模與仿真研究工作的文獻(xiàn)報道較少，其研究工作還不夠全面、深入。MLSD(massless-link/spring-damper)鉸間隙模型是在無質(zhì)量桿模型的基礎(chǔ)上，引入了剛度與阻尼的影響，屬于“連續(xù)接觸”模型[9]。與無質(zhì)量桿模型相比較，其精度較高。本文建立了MLSD鉸間隙的向量鍵合圖模型，具有模塊化、嵌入式及簡單實(shí)用的特點(diǎn)，適用于含多個鉸間隙機(jī)構(gòu)的動力學(xué)建模與分析。在此基礎(chǔ)上，給出了相應(yīng)的含鉸間隙平面連桿機(jī)向量鍵合圖模型的建立方法。針對該類機(jī)構(gòu)構(gòu)件間非線性幾何約束所導(dǎo)致的微分因果環(huán)問題，提出了兩種有效的解決方法，克服了其給該類機(jī)構(gòu)自動建模與仿真所帶來的代數(shù)困難。應(yīng)用文獻(xiàn)[10]所提出的算法，以統(tǒng)一的方式實(shí)現(xiàn)了含鉸間隙機(jī)電耦合系統(tǒng)計算機(jī)輔助動力學(xué)建模與仿真。結(jié)合實(shí)際算例，驗(yàn)證了所述方法的可靠性及有效性。

1 含鉸間隙平面連桿機(jī)構(gòu)向量鍵合圖模型

為更準(zhǔn)確地描述含間隙旋轉(zhuǎn)鉸的特性，文獻(xiàn)[9]在無質(zhì)量桿模型的基礎(chǔ)上介紹了MLSD模型(massless-link/spring-damper)，如圖1所示。設(shè)C1、C2分別為構(gòu)件Bβ、Bα的兩個鉸接點(diǎn)，rC為運(yùn)動副間隙矢量，kC和μC分別表示運(yùn)動副元素接觸剛度和阻尼系數(shù)，這里采用線性彈性力和線性阻尼力來計算運(yùn)動副約束反力FC。設(shè)rC1、rC2分別為鉸接點(diǎn)、在全局坐標(biāo)系OXY中的位置矢量，則

rC=rC2-rC1

(1)

對式(1)兩邊求導(dǎo)得

(2)

圖1 無質(zhì)量桿-彈簧阻尼模型Fig.1 The model of massless-link/spring-damper

(3)

這與文獻(xiàn)[9]所闡述的MLSD模型所包含的動力學(xué)方程是一致的。

文獻(xiàn)[7]根據(jù)平面運(yùn)動構(gòu)件質(zhì)心速度矢量、鉸接點(diǎn)速度矢量及角速度間的非線性關(guān)系，建立了單一平面運(yùn)動構(gòu)件的向量鍵合圖模型。對于含鉸間隙的平面連桿機(jī)構(gòu)，可以將單一平面運(yùn)動構(gòu)件的向量鍵合圖模型及含間隙鉸向量鍵合圖模型按照機(jī)構(gòu)的構(gòu)成方式組合起來，建立完整的含鉸間隙平面連桿機(jī)構(gòu)向量鍵合圖模型。將其與驅(qū)動電機(jī)的向量鍵合圖組合起來，可以建立完整的含鉸間隙機(jī)電耦合系統(tǒng)向量鍵合圖模型，為實(shí)現(xiàn)該類系統(tǒng)的自動建模與仿真奠定重要的基礎(chǔ)。

圖2 無質(zhì)量桿-彈簧阻尼模型向量鍵合圖Fig.2 The vector bond graph of massless-link/spring-damper model

2 實(shí)際算例

該例是典型的含運(yùn)動副間隙機(jī)電耦合系統(tǒng)，其向量鍵合圖模型如圖4所示。為闡述方便，本文僅考慮了鉸接點(diǎn)C存在間隙。對于鉸接點(diǎn)A、B、D存在間隙的情況，可以采用相同的方法來建模。其中，圖4Ⅰ為永磁式直流電動機(jī)的鍵合圖模型[10]，圖4Ⅱ?yàn)榍鷵u桿機(jī)構(gòu)的向量鍵合圖模型，由單一平面運(yùn)動構(gòu)件的向量鍵合圖、無間隙旋轉(zhuǎn)鉸向量鍵合圖[7]及含間隙旋轉(zhuǎn)鉸向量鍵合圖組合而成；圖4Ⅲ為基于無質(zhì)量桿-彈簧阻尼模型的含間隙旋轉(zhuǎn)鉸向量鍵合圖。圖4中，MAB=diag(mABmAB)，MBC1=diag(mBC1mBC1)，MDC2=diag(mDC2mDC2)。各構(gòu)件質(zhì)心速度矢分別為VCAB=[VCABxVCABy]T，VCBC1=[VCBC1xVCBC1y]T，VCDC2=[VCD2xVCDC2y]T。

文獻(xiàn)[10]將系統(tǒng)的鍵合圖模型劃分為源場、貯能場、耗散場及結(jié)型結(jié)構(gòu)。在此基礎(chǔ)上，推導(dǎo)出系統(tǒng)狀態(tài)方程及運(yùn)動副約束反力的統(tǒng)一公式，具有程式化的特點(diǎn)，便于計算機(jī)自動建模與仿真。但是，在建立含旋轉(zhuǎn)鉸間隙的平面連桿機(jī)構(gòu)向量鍵合圖模型的過程中，構(gòu)件間的鉸約束使其向量鍵合圖模型的多數(shù)貯能元件具有微分因果關(guān)系。另外，運(yùn)動構(gòu)件質(zhì)心速度矢量、鉸接點(diǎn)速度矢量及角速度的非線性關(guān)系，使機(jī)構(gòu)向量鍵合圖具有較復(fù)雜的非線性結(jié)型結(jié)構(gòu)。由文獻(xiàn)[3,10]可知，具有微分因果關(guān)系的貯能元件所對應(yīng)的能量變量是非獨(dú)立，需要用具有積分因果關(guān)系的貯能元件所對應(yīng)的能量變量(系統(tǒng)狀態(tài)變量)來表示，這一過程較復(fù)雜且不規(guī)則，直接用現(xiàn)有的方法實(shí)現(xiàn)機(jī)構(gòu)自動建模與仿真比較困難。為此，將各運(yùn)動副約束反力向量Se12(旋轉(zhuǎn)鉸A)、Se18(旋轉(zhuǎn)鉸B)、Se43(旋轉(zhuǎn)鉸D)作為未知勢源向量添加在該機(jī)構(gòu)向量鍵合圖模型相應(yīng)的0-結(jié)處，可以完全消除其微分因果關(guān)系，使所有貯能元件皆具有積分因果關(guān)系，如圖4所示。經(jīng)過如此處理后，可以直接應(yīng)用文獻(xiàn)[10]所述方法進(jìn)行機(jī)構(gòu)的計算機(jī)自動建模與仿真。

圖3 電機(jī)驅(qū)動含間隙四桿機(jī)構(gòu)Fig.3 The four bar mechanism driven by electric motor

圖4 系統(tǒng)向量鍵合圖模型Fig.4 The vector bond graph model of system

值得說明的是，當(dāng)考慮該機(jī)構(gòu)的4個鉸接點(diǎn)A、B、C、D均具有間隙時，將圖2所示向量鍵合圖模型直接嵌入到機(jī)構(gòu)向量鍵合圖表示約束反力矢量的0-結(jié)處，可以完全消除機(jī)構(gòu)向量鍵合圖模型貯能元件的微分因果關(guān)系，直接應(yīng)用文獻(xiàn)[10]所給出的方法進(jìn)行機(jī)構(gòu)的自動建模與仿真。

由文獻(xiàn)[10]所述方法知，與圖4所示系統(tǒng)向量鍵合圖相對應(yīng)的系統(tǒng)獨(dú)立貯能場獨(dú)立運(yùn)動的能量變量向量(系統(tǒng)狀態(tài)變量)為

式中，pi(i=2,6,20,34)表示圖4中相應(yīng)慣性元件的廣義動量，q31表示圖4中相應(yīng)容性元件的廣義位移。

系統(tǒng)獨(dú)立貯能場非獨(dú)立運(yùn)動的能量變量向量

式中，pix、piy(i=16,28,42)表示圖4中相應(yīng)慣性元件的廣義動量向量在X軸及Y軸方向的投影，VCABx、VCABy、VBC1x、VBC1y、VDC2x、VDC2y分別表示相應(yīng)構(gòu)件質(zhì)心速度向量在X軸及Y軸方向的投影。

相應(yīng)的共能量變量向量

式中：fi(i=2,6,20,34)表示圖4中相應(yīng)慣性元件的流變量，e31表示圖4中相應(yīng)容性元件的勢變量，fix、fiy(i=16,28,42)表示圖4中相應(yīng)慣性元件的流向量在X軸及Y軸方向的投影。

耗散場輸入、輸出向量分別為

式中，ei、fi(i=4,7)分別表示圖4中相應(yīng)阻性元件的勢變量和流變量，e32x、e32y、f32x、f32y分別表示圖4中相應(yīng)阻性元件的勢向量和流向量在X軸及Y軸方向的投影。

系統(tǒng)已知勢源向量

式中：Seix、Seiy(i=15,27,41)分別表示圖4中相應(yīng)勢源向量在X軸及Y軸方向的投影。

系統(tǒng)未知勢源向量

結(jié)合系統(tǒng)貯能場方程、阻性場方程、結(jié)型結(jié)構(gòu)方程各系數(shù)矩陣，在MATLAB軟件環(huán)境下進(jìn)行編程求解，其中仿真參數(shù)設(shè)定如下：求解器為Ode45、積分步長設(shè)為自適應(yīng)變步長、積分誤差為10-4，仿真結(jié)果如圖5～10所示。值得說明的是：無間隙時，圖3中的C1、C2點(diǎn)重合為一點(diǎn)C，有間隙時，C1、C2點(diǎn)對應(yīng)的約束反力值相同。為闡述方便，該處約束反力統(tǒng)稱為C處約束反力。

用牛頓-歐拉動力學(xué)方法[2]得到該例機(jī)械部分的動力學(xué)方程，將其降階轉(zhuǎn)換成一階非線性微分方程組形式，并與驅(qū)動電機(jī)的動力學(xué)方程[10]聯(lián)立，可以得到該系統(tǒng)狀態(tài)方程形式的動力學(xué)方程。在MATLAB軟件環(huán)境下，選用同樣的求解器，設(shè)定相同的仿真參數(shù)進(jìn)行編程求解，部分計算結(jié)果如表1所示。

表1所列的計算結(jié)果與用本文方法所得結(jié)果完全一致，其原因如下：針對圖4所示的機(jī)構(gòu)向量鍵合圖，對與各剛體角速度及質(zhì)心速度矢量相對應(yīng)的1-結(jié)求勢和，所得結(jié)果與相應(yīng)構(gòu)件的牛頓-歐拉動力方程完全相同，這說明兩種方法的力學(xué)原理及本質(zhì)是一致的。因此，所得到的系統(tǒng)狀態(tài)方程在形式上也完全一致。這一驗(yàn)證工作手工處理量較大，過程比較繁瑣，這也進(jìn)一步體現(xiàn)了本文所述方法的優(yōu)勢。

圖5 無間隙鉸接點(diǎn)C約束反力合力曲線Fig.5 Resultant constraint force curve of joint C without clearance

圖6 有間隙鉸接點(diǎn)C約束反力合力曲線Fig.6 Resultant constraint force curve of joint C with clearance

圖7 無間隙時連桿質(zhì)心Y方向加速度曲線Fig.7 Acceleration curve of Y-axis of coupler centroid without clearance

圖8 有間隙時連桿質(zhì)心Y方向加速度曲線Fig.8 Acceleration curve of Y-axis of coupler centroid with clearance

圖9 無間隙時連桿角加速度曲線Fig.9 Angular acceleration curve of coupler without clearance

圖10 有間隙時連桿角加速度曲線Fig.10 Angular acceleration curve of coupler with clearance

表1 牛頓—?dú)W拉動力學(xué)方法驗(yàn)證的部分結(jié)果Tab.1

在0～1 s時間段，由圖5、圖6知：鉸接點(diǎn)C的間隙對其約束反力影響較大，盡管間隙鉸約束反力與無間隙鉸約束反力曲線變化的總體趨勢相近，但理想鉸約束反力曲線較光滑。與理想鉸約束反力相比較，間隙鉸約束反力合力的最大值顯著增大，t=0.279 3 s時，理想鉸約束反力合力最大值為1557 N，t=0.281 5 s時, 間隙鉸約束反力合力最大值為2 940 N。兩者達(dá)到最大值的時間差僅為0.002 2 s，最大值增加了88.82%。另外，間隙鉸約束反力合力的波動峰值及其變化頻率均明顯增大。當(dāng)t=0.205 3 s、t=0.281 5 s、t=0.353 4 s、t=0.428 3 s、t=0.509 3 s、t=0.595 6 s、t=0.684 3 s、t=0.770 7 s、t=0.855 9 s、t=0.941 s時，間隙鉸約束反力曲線產(chǎn)生急劇突變，快速達(dá)到峰值。由于在上述時刻附近間隙鉸約束反力合力FC均大于零，表明運(yùn)動副元素尚未發(fā)生分離，但此時運(yùn)動副元素的沖擊較大。由圖7、圖8知：理想機(jī)構(gòu)連桿BC質(zhì)心Y方向加速度曲線較光滑。相比理想機(jī)構(gòu)而言，有間隙時連桿BC質(zhì)心Y方向加速度總體變化趨勢相近，但其幅值及波動頻率均明顯增大。t=0.323 6 s時，理想機(jī)構(gòu)連桿BC質(zhì)心Y方向加速度最大值為563.5 m/s2；t=0.323 1 s時，有間隙機(jī)構(gòu)連桿BC質(zhì)心Y方向加速度最大值為843.75 m/s2，兩者達(dá)到最大值的時間極為相近，但最大值增加了49.73%。由圖9、圖10知：理想機(jī)構(gòu)連桿BC角加速度曲線較光滑。相比理想機(jī)構(gòu)而言，有間隙時連桿BC角加速度總體變化趨勢相近，但其幅值及波動頻率明顯增大。t=0.330 4 s時，理想機(jī)構(gòu)連桿BC角加速度最小值為-1 797.5 rad/s2；t=0.334 9 s時，有間隙機(jī)構(gòu)連桿BC角加速度最小值為-2 734 rad/s2。兩者達(dá)到最小值的時間極為相近，但角加速度絕對值增加了52.1%。上述現(xiàn)象發(fā)生的根本原因是鉸接點(diǎn)C的間隙，該間隙導(dǎo)致了運(yùn)動副約束反力的急劇變化。這會加劇機(jī)構(gòu)系統(tǒng)運(yùn)行的振動與沖擊，直接使機(jī)構(gòu)連桿的動態(tài)性能有所惡化。

3 結(jié) 論

(1)基于無質(zhì)量桿-彈簧阻尼模型，建立了含間隙旋轉(zhuǎn)鉸向量鍵合圖。具有模塊化、嵌入式的特點(diǎn)，簡單、實(shí)用，適用于含多個鉸間隙的平面連桿機(jī)構(gòu)動力學(xué)建模與仿真。

(2)結(jié)合一般平面運(yùn)動構(gòu)件的向量鍵合圖，給出了建立含旋轉(zhuǎn)鉸間隙的平面連桿機(jī)構(gòu)向量鍵合圖模型的一般方法。所建立的該類系統(tǒng)向量鍵合圖模型，力學(xué)概念簡明、直觀。

(3)針對該類機(jī)構(gòu)向量鍵合圖中貯能元件的微分因果關(guān)系，給出了兩種有效的消除方法，解決了其給機(jī)構(gòu)動力學(xué)自動建模與仿真所帶來的代數(shù)困難。

(4)應(yīng)用現(xiàn)有的算法，以統(tǒng)一的方式實(shí)現(xiàn)了含旋轉(zhuǎn)鉸間隙機(jī)電耦合系統(tǒng)的動力學(xué)自動建模與仿真，一定程度上提高了該類工作的計算效率及可靠性。通過具體算例，分析了運(yùn)動副間隙對于運(yùn)動副約束反力及連桿動態(tài)特性的影響，對于機(jī)電系統(tǒng)中連桿機(jī)構(gòu)的研究及設(shè)計有一定的價值。

(5)本文工作既是對含間隙平面連桿機(jī)構(gòu)動力學(xué)建模方法研究的有益補(bǔ)充，也是對向量鍵合圖理論及應(yīng)用必要的擴(kuò)展。

參 考 文 獻(xiàn)

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